Einführung in die Tensorrechnung: Das Tensorellipsoid

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Das Tensorellipsoid

Tensoren vom Rang 0 (Skalare) lassen sich als Punkte auf der Zahlengeraden darstellen, Tensoren vom Rang 1 (Vektoren) durch Pfeile im Raum. Gibt es eine analoge Möglichkeit zur Darstellung von Tensoren vom Rang 2?

Die Komponenten eines Tensors in einer bestimmten kartesischen Basis {e₁, e₂, e₃} seien μ₁₁, μ₁₂, ... μ₃₃ (siehe Gleichung (4.5)).

Wir denken uns nun einen beliebigen, vom Ursprung O ausgehenden Strahl auf dem der Einheitsvektor e' ₁ liegt. Dieser Einheitsvektor sei der erste Basisvektor einer neuen Basis (von der wir jedoch nur diesen einen Vektor brauchen). Die Richtungskosinus dieses Vektors bezüglich des ersten Basissystems seien a₁, a₂, a₃ (siehe Gleichung (3.1)). Die erste Komponente μ' ₁₁ des Tensors in Bezug auf die neue Basis ist dann (siehe Gleichungen (4.15) und (4.18))

(5.1)

${\begin{matrix}\mu '_{11}=a_{1}^{2}\,\mu _{11}+a_{1}\,a_{2}\,\mu _{21}+a_{1}\,a_{3}\,\mu _{31}+a_{1}\,a_{2}\,\mu _{12}+a_{2}^{2}\,\mu _{22}\\+a_{2}\,a_{3}\,\mu _{32}+a_{1}\,a_{3}\,\mu _{13}+a_{2}\,a_{3}\,\mu _{23}+a_{3}^{2}\,\mu _{33}\\=a_{1}^{2}\,\mu _{11}+a_{2}^{2}\,\mu _{22}+a_{3}^{2}\,\mu _{33}+a_{1}\,a_{2}\,\left({\mu _{12}+\mu _{21}}\right)+a_{2}\,a_{3}\,\left({\mu _{23}+\mu _{32}}\right)\\+a_{3}\,a_{1}\,\left({\mu _{31}+\mu _{13}}\right).\end{matrix}}$

Wir denken uns nun auf dem Strahl von O aus eine Strecke der Länge l LE (LE steht für Längeneinheiten, sodass l der Zahlenwert der Strecke ist.) angetragen, deren Quadrat l² der Tensorkomponente μ' ₁₁ reziprok sei:

(5.2)

$l^{2}={\frac {1}{\mu '_{11}}}\,.$

Die Koordinaten des Endpunktes dieser Strecke seien ξ, η und ζ. Da die Strecke ebenfalls die Richtungskosinus a₁, a₂, a₃ hat, ist

$\xi =a_{1}\,l,\quad \eta =a_{2}\,l,\quad \zeta =a_{3}\,l\,.$

Wegen Gleichung (5.2) ist dann

$a_{1}^{2}=\mu '_{11}\,\xi ^{2},\quad a_{2}^{2}=\mu '_{11}\eta ^{2},\quad a_{3}^{2}=\mu '_{11}\,\zeta ^{2}\,.$

Die Gleichung (5.1) kann nach Division durch μ' ₁₁ dann wie folgt geschrieben werden:

(5.3)

${\begin{matrix}1=\xi ^{2}\mu _{11}+\eta ^{2}\mu _{22}+\zeta ^{2}\mu _{33}+\xi \eta \left({\mu _{12}+\mu _{21}}\right)+\eta \zeta \left({\mu _{23}+\mu _{32}}\right)\\+\zeta \xi \left({\mu _{31}+\mu _{13}}\right).\end{matrix}}$

In dieser Gleichung kommen die Richtungskosinus der Strecke nicht vor; also gilt sie für jede beliebige Gerade durch den Ursprung. Nimmt die Gerade nun alle möglichen Richtungen an, dann überstreicht der Endpunkt der Strecke dabei eine Fläche 2. Ordnung, die durch die Gleichung (5.3) mathematisch beschrieben wird. Die Gestalt dieser Fläche wird durch die Komponenten des Tensors (und zwar durch sämtliche) eindeutig bestimmt. Sie bildet daher den Tensor ebenso eindeutig ab, wie ein Pfeil einen Vektor eindeutig abbildet. Und sie ist – ebenso wie ein Vektorpfeil - vom benutzten Koordinatensystem unabhängig, weil der Tensor selbst vom Koordinatensystem unabhängig ist. Diese Fläche wird daher – nicht ganz korrekt – Tensorellipsoid genannt, obwohl sie ohne zusätzliche Annahmen über die Tensorkomponenten auch ein Hyperboloid sein kann.

Ein Ellipsoid hat drei durch seinen Mittelpunkt gehende Achsen:

• eine von der Richtung des größten Durchmessers,

• eine von der Richtung des kleinsten Durchmessers, der immer auf dem größten senkrecht steht,

• eine, die auf diesen beiden senkrecht steht.

Durch die drei Achsen des Ellipsoids sind drei Richtungen im Raum festgelegt. Diese heißen die Hauptachsen des Tensors.

Ist das Tensorellipsoid ein Rotationsellipsoid, so ist nur die Richtung einer Hauptachse bestimmt, nämlich die der Rotationsachse; eine zweite Achse ist (senkrecht zur ersten) frei wählbar, die dritte liegt dann fest.

Wählt man ein Koordinatensystem so, dass seine Achsen mit den Achsen des Tensorellipsoids (also mit den Hauptachsen des Tensors) zusammenfallen, dann wird die Gleichung des Ellipsoids rein quadratisch, d. h., die Variablen ξ, η, ζ treten nur in der zweiten Potenz auf.

Übungen

5.1 Wie muss ein Tensor beschaffen sein, damit seine Hauptachsen mit den Koordinatenachsen zusammenfallen?

5.2 Unter welchen zusätzlichen Bedingungen ist das Tensorellipsoid

1. ein Rotationsellipsoid,

2. eine Kugel?

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