Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Nebenklassen eines Unterraums

Hallo, ich finde die Idee für den Aufbau nicht so gut. Irgendwie macht es den Eindruck, als sei das Komplement schon ein Vektorraum, aber was gemeint ist, sind doch die Äquivalenzklassen bezüglich der Relation $u\sim v\Leftrightarrow u-v\in U$. Ein beliebiges Repräsentantensystem (hier in Form eines Komplements) muss ja kein Vektorraum sein.

Ich kenne den Aufbau hier nicht so gut - kann man auf Faktorgruppen aus der Algebra aufbauen? Eine andere Idee als Einstig wäre $u\sim v$, wenn eine lineare Abbildung $L:U\to W$ $Lu=Lw$ liefert. Wenn $L$ surjektiv ist, kann man $W$ später als isomorphes Bild des Quotientenraums vorstellen.

Mathewally 20:33, 5. Jun. 2020 (CEST)

Wir sind gerade dabei diese Herleitung zu bearbeiten. Deshalb steht hier bisher nur ein grober Plan. Es soll hier schon klar werden, dass wir Äquivalenzklassen betrachten.

Wir wollen es ohne das Wissen über Faktorgruppen machen. Ich denke auch, dass man es auch gut ohne Gruppen herleiten kann.

Ich sehe deine zweite Idee, eher als einen Aspekt des Homomorphiesatzes. Wir haben entschieden den Faktorraum anders einzuführen: Die Vorstellung ist, der Faktorraum ist ein Komplement, das unabhängig von Wahlen ist. Ich weiß nicht, ob ich das gerade gut erklärt habe. Aber vielleicht können wir ja auch mal darüber sprechen ;)

Liebe Grüße Zornsches Lemma 17:06, 6. Jun. 2020 (CEST)

Liebe Anne,

vielleicht ist es am besten, den ganzen Komplex "Nebenklasse-Faktorraum" erst später zu behandeln. Wenn man den Begriff der linearen Abbildung hat, ist manches einfacher. Man möchte ja vielleicht zum Quotientenraum auch gliech die Quotientenabbildung dazu haben, und ohne Linearität ist das nicht so sinnvoll.

Bei dem, was du als letztes geschrieben hast, hatte ich den Eindruck, dass du ungefähr dasselbe wie der folgende Text geschrieben hast, aber immer die Begriffe der Linearität ad hoc erzeugen musstest.

Übrigens fände ich als Titel "Nebenklassen eines Unterraums" besser.

Mit linearen Abbildungen kann man das so machen, wie in diesem Rohentwurf:

In dieser Einführung in den Begriff der Nebenklassen beschränken wir auf endlichdimensionale Vektorräume, da wir dann wissen, dass es zu jedem Unterraum Komplemente gibt.

Sei $V$ ein Vektorraum und $U$ ein Unterraum davon (ein nicht-trivialer, weder $U=V$ noch $U=\{0\}$ ergeben etwas Neues).

Wir wollen jetzt eine Abbildung konstruieren, die für jedes Vektor $v\in V$ seine Anteile in $U$ "vergisst".

Dazu wählen wir ein festes Komplement $W$ zu $U$. Später weisen wir nach, dass es auf die Wahl des Komplements nicht ankommt.

Dann lässt sich jeder Vektor $v\in V$ eindeutig in einen Vektor $u\in U$ und einen Vektor $w\in W$ zerlegen: $v=u+w$. Das gibt eine Zuordnung von $v$ zu $w$, die wir mit $L$ bezeichnen wollen, also $L(v)=w$.

Die Abbildung $L:v\to w$ ist wohldefiniert wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung $v=u+w$ und wegen $L(w)=\underbrace{w}_{\in W}+\underbrace{0}_{\in U}$ surjektiv. Wie in https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_%C3%84quivalenzrelation beschrieben, bilden die Vektoren in $V$ die auf denselben Vektor $w\in W$ abgebildet werden, Äquivalenzklassen.

Geometrisch sind das genau um den Vektor $w$ veschobene Bilder des Unterraums $U$ (affine Unterräume).

Wie wir im nächsten Abschnitt noch genauer sehen werden, ist $v_{1}\sim v_{2}$ genau dann, wenn $v_{1}-v_{2}\in U$ ist.

Eine besondere Eigenschaft der Abbildung $L$ ist

Satz: $L$ ist linear (wir sind schließlich im Buch über Lineare Algebra:) )

Beweis: Sind $v_{1},v_{2}\in V$ mit den eindeutigen Zerlegungen $v_{1}=w_{1}+u_{1}$ und $v_{2}=w_{2}+u_{2}$, dann ist $v_{1}+v_{2}=w_{1}+w_{2}+u_{1}+u_{2}$.

Jetzt ist aber $u:=u_{1}+u_{2}\in U$, da $U$ ein Unterraum ist. Also ist $L(v_{1})+L(v_{2})=w_{1}+w_{2}$ und $L(v_{1}+v_{2})=L(w_{1}+w_{2}+u)=w_{1}+w_{2}$.

Genauso beweisen wir die Homogenität: Sei $v\in V$ mit der eindeutigen Zerlegung $v=w+u$ und $\lambda \in \mathbb {K}$. Dann ist $\lambda v=\lambda (w+u)=\lambda w+\lambda u$. Weil mit $u$ auch $\lambda u\in U$ ist, ist das wieder eine eindeutige Zerlegung, und damit ist $L(\lambda u)=\lambda w=\lambda L(u)$.

Wir haben jetzt gesehen, dass die Abbildung $L:V\to W$ gerade den $U$-Anteil eines Vektors $V$ vergisst und darüber hinaus als lineare Abbildung mit den Vektoroperationen Addition ud Skalarmultiplikation verträglich ist.

Jetzt gibt es natürlich das Problem, dass diese ganze Konstruktion von der Wahl des Komplements $W$ abhängt.

Das ist nur scheinbar so. Wählt man ein anderes Komplement $Z$, dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus zwischen $W$ und $Z$.

((hier fehlt natürlich - wie auch weiter oben - ein erklärendes Bild)))

Dazu brauchen wir glücklicherweise nicht viel Neues zu machen. Da $Z$ ein Unterraum von $V$ ist, schränken wir die Abbildung $L$ von oben auf $Z$ ein und nennen die Einschränkung ${\tilde {L}}$.

${\tilde {L}}$ ist immer noch linear und ordnet jedem Vektor $z\in Z$ einen Vektor $w=L(z)$ in $W$ zu.

Im Bild gehen wir einfach von $z$ auf den zu $U$ parallelen affinen Unterraum entlang, bis wir zu $w$ kommen.

Was uns fehlt, ist nur noch die Bijektivität von ${\tilde {L}}$.

Der Beweis besteht aus zwei Teilen.

1. Zu zeigen: ${\tilde {L}}$ ist injektiv.

Beweis: Wir müssen zeigen, dass der Kern von ${\tilde {L}}$ nur aus dem Nullvektor besteht.

Sei also ${\tilde {L}}(z)=0$. Das heißt nach Definition von ${\tilde {L}}$ und $L$, dass $z$ eine eindeutige Zerlegung $z=0+u$ mit $u\in U$ hat, also $z\in U$ ist.

Da $Z$ ein Komplement zu $U$ ist, ist der einzige Vektor, der gleichzeitig in $Z$ und $U$ ist, der Nullvektor, also $z=0$

2. Zu zeigen: ${\tilde {L}}$ ist surjektiv.

Beweis: Wir müssen zu gegebenem $w\in W$ ein $z\in Z$ finden mit ${\tilde {L}}(z)=w$.

Sei also $w\in W$ beliebig gegeben.

Im Bild würden wir also von $w$ auf der Parallele zu $U$ so lang gehen, dass wir in $Z$ landen.

Damit das geht, nutzen wir in diesem Beweis wieder einmal aus, dass $Z$ nicht irgendein Unterraum, sondern ein Komplement zu $U$ ist.

Wegen dieser Tasache gibt es eine eindeutige Zerlegung $w=z+u$ mit $z\in Z$ und $u\in U$. Wir definieren jetzt einfach $z:=w-u$.

Weil mit $u$ auch $-u$ in $U$ ist, und $z$ (jetzt wieder bezüglich $W$) die eindeutige Zerlegung $z=w+(-u)$ hat, ist ${\tilde {L}}(z)=w$.

w.z.z.w.

Wenn man den Beweis etwas abstrakter betrachtet, sieh man, dass er darauf beruht:

Wenn wir zuerst $Z$ als Komplement nehmen und dieselbe Konstruktion durchführen, erhalten wir eine Abbildung $L_{1}:V\to Z$, die wir genau wie $L$ oben als ${\tilde {L}}_{1}$ auf $W$ einschränken können.

Die beiden Abbildungen ${\tilde {L}}:Z\to W$ und ${\tilde {L}}_{1}:W\to Z$ sind linear und zueinander invers, also Vektorraumisomorphismen.

Fazit: Wir erhalten für die Äquivalenzrelation "$v_{1}\sim v_{2}$ genau dann, wenn sich $v_{1}$ und $v_{2}$ nur um einen Vektor aus $U$ unterscheiden" ein Repräsentantensystem als komplementären Unterraum. Je zwei dieser Repräsentantensysteme sind isomorph zueinander.

Unabhängig vom gewählten Komplement ist die Charakterisierung "$v_{1}\sim v_{2}$ genau dann, wenn $v_{1}-v_{2}\in U$ ist".

Mathewally 07:58, 19. Jun. 2020 (CEST)