Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Messbare Abbildungen

Aufgabe 2, Lösung zu d)

Hallo an alle,

die Lösung zu 2 d) ist aus meiner Sicht falsch. Die Argumentation wäre aus meiner Sicht nur dann richtig, wenn die rechte Sigma-Algebra $S$ nur den Bildbereich enthalten würde. Dann und nur dann wären alle Urbilder in der linken Sigma-Algebra enthalten und $F$ messbar in Bezug auf die dann bestehenden Sigma-Algebren. Tatsächlich beinhaltet $S$ aber u.a. alle ungeraden Zahlen.

$F^{-1}({\{1,3,5,...}\})\notin S\Rightarrow F$ ist nicht $(S,S)$-messbar. Gleiches gilt für $G$.

(In Aufgabe 2 a) wird mit $id:W\rightarrow W$ analog die Nicht-Messbarkeit argumentiert.) Marsmac1 11:15, 26. Jun. 2023 (CEST)

Hallo Marsmac1,

Danke für deine Frage!

Tatsächlich ist die Lösung der Aufgabe 2d richtig. Es ist gar nicht wichtig, ob die Elemente der rechten Sigma-Algebra Teilmengen des Bildes sein.

Z.B. ist

$F^{-1}(\{{\text{ungerade Zahlen}}\})=\{{\text{ungerade Zahlen}}\}$

Warum gilt das?

Wir müssen uns beide Teilmengenbeziehungen überlegen. Also, dass sowohl $\subseteq$ als auch $supseteq$ gilt. Überlegen wir uns zuerst $supseteq$. Für eine ungerade Zahl $n\in \{{\text{ungerade Zahlen}}\}$, gibt es ein $k\in \mathbb {N}$ mit $n=2k+1$. Dann gilt $F(n)=n^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1$. Also ist $F(n)$ eine ungerade Zahl. Folglich ist $F(n)\in \{{\text{ungerade Zahlen}}\}$ und damit $n\in F^{-1}(\{{\text{ungerade Zahlen}}\})$.

Jetzt müssen wir uns $\subseteq$ überlegen. Sein $n\in F^{-1}(\{{\text{ungerade Zahlen}}\})$, d.h. $F(n)\in \{{\text{ungerade Zahlen}}\}$. Somit ist $n^{2}$ eine ungerade Zahl. Wir wollen zeigen, dass auch $n$ eine ungerade Zahl ist. Wir machen einen Widerspruchsbeweis: Angenommen $n$ ist eine gerade Zahl. Dann ist $n=2k$ für ein $k\in \mathbb {N}$. Es folgt $n^{2}=4k^{2}$ und damit wäre $n^{2}$ eine gerade Zahl. Das ist aber ein Widerspruch. Also ist $n\in \{{\text{ungerade Zahlen}}\}$.

Damit ist die Gleichheit der Mengen gezeigt. Ähnlich kann man das Urbild der geraden Zahlen unter $F$ betrachten und zeigen, dass das Urbild wieder alle geraden Zahlen sind.

Ich hoffe, das hat dir weitergeholfen. Melde dich gerne wieder, wenn noch etwas unklar ist :) Zornsches Lemma 18:31, 5. Jul. 2023 (CEST)