Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Messbare Abbildungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Dies verwenden wir, um nun zu untersuchen, wann eine Abbildung zwischen zwei Sigma-Algebren vermittelt.

Seien im Folgenden $W,V$ Grundmengen und $S,T$ Sigma-Algebren mit $S\subset Pot(W),T\subset Pot(V)$. Wir definieren eine Abbildung $X:W\rightarrow V$ als "gut", wir sagen auch "messbar", wenn sie "gute" Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf "gute" Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildet. Was sie mit den "schlechten" Mengen macht, interessiert uns dabei nicht.

Definition der Messbarkeit

Definition (Messraum und Messbarkeit)

Wir nennen eine Grundmenge zusammen mit einer Sigma-Algebra über ihr einen Messraum.

Seien $(W,S),V,T)$ Messräume. $X:W\rightarrow V$ heißt $(S,T)$-messbar oder einfach messbar genau dann wenn

$\forall A\in T:X^{-1}(A)\in S$

Schreibweise: $X^{-1}(T)\subset S$ oder $X:(W,S)\rightarrow (V,T)$

Die Definition mit $X^{-1}$ ist sinnvoll um Sigma-Algebren zu vergleichen, aber die Anwendung von X macht keinen Sinn: Sei im einfachsten Fall $X=const=1$, dann ist $\forall A\in S:f(A)\in \{\{1\},\emptyset \}$ und das ist keine Sigma-Algebra.

To-Do:

Die Verknüpfung messbarer Abbildungen ist messbar.

Die Messbarkeit ist also abhängig von der Funktion $X$ und von der Größe der Sigma-Algebren. Das wollen wir uns an einigen Beispielen klarmachen. Die Messbarkeitsbedingung sieht harmlos aus, macht den Studierenden aber deutliche Schwierigkeiten. Wir haben deshalb in den nächsten drei Kapiteln bewusst mehrere Aufgaben aufgenommen, um sich an den Begriff zu gewöhnen und raten dringend, diese durchzuarbeiten.

Aufgabe 1

Aufgabe

a) Eine konstante Funktion $f:W\rightarrow \mathbb {R} ,w\mapsto c$ ist immer messbar.

b) Die einzigen messbaren Funktionen $f:(W,S)\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} )$ bzgl. $S=\{\emptyset ,W\}$ sind die konstanten Funktionen.

c) Sei $S$ eine Sigma-Algebra über $W$. Die Indikatorfunktion

$1_{B}:W\rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto {\begin{cases}1&w\in B\\0&w\not \in B\end{cases}}$

ist messbar genau dann wenn $B$ Element der Sigma-Algebra ist.

d) Sei $f:(W,S_{1})\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} )$ gegeben und $S_{1}\subset S$. Ist dann $f$ $(S,\mathbb {B} )$-messbar?

Beweis

a) Wegen

$f^{-1}(A)={\begin{cases}\emptyset &c\not \in A\\W&c\in A\end{cases}}$

und da jede Sigma-Algebra $S$ über $W$ automatisch $\emptyset ,W$ enthält, ist $f$ messbar.

Das konstante f ist eine starke Einschränkung und damit messbar

b) Eine Funktion mit mindestens zwei Funktionswerten a und b ergibt zwei disjunkte, nicht-leere Mengen $C_{a}:=f^{-1}(a)$ und $C_{b}:=f^{-1}(b)$. Aber diese können nicht in der Sigma-Algebra liegen, da diese nur die leere Menge und die gesamte Menge enthält. Damit kann die Funktion nur einen Funktionswert annehmen, sie ist konstant.

c) Wegen

$1_{B}^{-1}(A)={\begin{cases}\emptyset &0,1\not \in A\\B&1\in A,0\not \in A\\B^{C}&0\in A,1\not \in A\\W&0,1\in A\end{cases}}$

Die Indikatorfunktion ist also messabr genau dann wenn $B\in S$

d) Nach Voraussetzung gilt für alle $A\in \mathbb {B} :\ f^{-1}(A)\in S_{1}$. Wegen $S_{1}\subset S$ folgt die Messbarkeitsbedingung

$A\in \mathbb {B} :\ f^{-1}(A)\in S$

Aufgabe 2

Aufgabe

Sei $W=\{0,1,2,3\}$ und $S_{1}=\{\emptyset ,\{0\},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\}$ und $S_{2}=Pot(W)$ und $id:W\rightarrow W,w\mapsto w$.

a) Ist $id$ $(S_{1},S_{2})$-messbar?

b) Ist $id$ $(S_{2},S_{1})$-messbar?

c) Ist $g:W\rightarrow W$ definiert durch $0\mapsto 0$ und $\forall 1\leq i\leq 3:i\mapsto 1$ $(S_{1},S_{2})$-messbar?

d) Sei $W=\mathbb {N}$ und $S=\{\emptyset ,\{{\text{gerade Zahlen}}\},\{{\text{ungerade Zahlen}}\},\mathbb {N} \}\}$. Sind die Abbildungen $F:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,n\mapsto n^{2}$ und $G:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,n\mapsto 2n+1$ $(S,S)$-messbar?

Beweis

a) Da $id$ jedes $w$ auf dasselbe $w$ abbildet, gilt $id^{-1}(A)=A$. Zeige also

$\forall A\in S_{2}:\ A=id^{-1}(A)\in S_{1}$

Aber die Menge $A=\{1,2\}\in S_{2}=Pot(W)$ liegt nicht in $S_{1}$, wie man nachschaut. Somit ist $id$ nicht $(S_{1},S_{2})$-messbar.

Die linke Sigma-Algebra ist also zu klein.

b) Da $S_{1}\subset S_{2}=Pot(W)$ und $id^{-1}(A)=A$ ist $id$ automatisch $(S_{2},S_{1})$-messbar, da

$\forall A\in S_{1}:id^{-1}(A)=A\in S_{1}\subset S_{2}=Pot(W)$

Die linke Sigma-Algebra ist groß genug (insbesondere da sie die Potenzmenge ist)

c) $g$ ist die Indikatorfunktion für $B=\{1,2,3\}$. Nach Aufgabe 1 ist sie messbar, wenn $B=\{1,2,3\}\in S_{1}$. Das ist gerade so eben der Fall, da $\{\emptyset ,\{0\},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\}=S_{1}$. Damit ist $g$ $(S_{1},S_{2})$-messbar.

Die Indikatorfunktion ist gerade eine so starke Einschränkung und $S_{1}$ gerade groß genug, dass $g$ messbar wird.

d) Da eine gerade Zahlen mit sich selbst multipliziert erneut eine gerade Zahl ergibt,   und eine ungerade Zahl mit sich selbst multipliziert eine ungerade Zahl ergibt, folgt (obwohl F keineswegs ganz $\mathbb {N}$ trifft!)

$F^{-1}(A)={\begin{cases}\emptyset &A=\emptyset \\\{{\text{gerade Zahlen}}\}&A=\{{\text{gerade Zahlen}}\}\\\{{\text{ungerade Zahlen}}\}&A=\{{\text{ungerade Zahlen}}\}\\\mathbb {N} &A=\mathbb {N} \end{cases}}$

und damit wird $F$ tatsächlich $(S,S)$-messbar

Da $G$ nur auf die ungeraden Zahlen abbildet, folgt

$G^{-1}(A)={\begin{cases}\emptyset &A=\emptyset \\\emptyset &A=\{{\text{gerade Zahlen}}\}\\\mathbb {N} &A=\{{\text{ungerade Zahlen}}\}\\\mathbb {N} &A=\mathbb {N} \end{cases}}$

und $G$ ist messbar.

Aufgabe 3: Messbarkeit auf Abschnitten

Aufgabe (Messbarkeit auf Abschnitten)

a) Seien $(W,S,m)$ ein Maßraum und $W=\biguplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$ eine Zerlegung von $W$ mit $A_{n}\in S$. Seien $f_{n}:A_{n}\rightarrow \mathbb {R} ,w\mapsto f(w)$ die Einschränkungen von $f:W\rightarrow \mathbb {R}$ auf $A_{n}$. Betrachte die Sigma-Algebren $S_{n}=A_{n}\cap S$. Dann gilt

$f{\text{ ist }}(S,\mathbb {B} )-{\text{ messbar }}\iff \forall n\in \mathbb {N} :\ f_{n}{\text{ ist }}(S_{n},\mathbb {B} ){\text{ messbar}}$

b) Wir hatten die Sigma-Algebra $\left\{\biguplus _{j\in J}A_{j}:J\subset \mathbb {N} \right\}$ mit $A_{n}=\left\lbrack {\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right)$ und $W=(0,1)$ betrachtet im Kapitel über Sigma-Algebren.

Bestimme alle messbaren $f:W\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} )$? Ist $f(x)={\frac {1}{x}}$ messbar?

Lösung (Messbarkeit auf Abschnitten)

a) Zeige: $S_{n}$ ist eine Sigma-Algebra auf $A_{n}$. Für $A_{n}\cap C_{k}\in S_{n}$ gilt

${\begin{aligned}A_{n}=&A_{n}\cap W\in S_{n}\\A_{n}\backslash C_{1}=&A_{n}\cap (W\backslash C_{1})\in S_{n}\\\bigcup _{k\in \mathbb {N} }(A_{n}\cap C_{k})=&A_{n}\cap \bigcup _{k\in \mathbb {N} }C_{k}\in S_{n}\end{aligned}}$

"$\Rightarrow$": Sei $f$ messbar und $B\in \mathbb {B}$. Dann gilt nach Definition von $f_{n}$

$f_{n}^{-1}(B)=A_{n}\cap \underbrace {f^{-1}(B)} _{\in S}\in S_{n}$

und $f_{n}$ ist messbar.

"$\Leftarrow$": Seien $f_{n}$ messbar und $B\in \mathbb {B}$. Die Funktion $f$ ist eindeutig definiert, da die $A_{n}$ disjunkt sind. Da $A_{n}\in S$ gilt

$f^{-1}(B)=\biguplus _{n\in \mathbb {N} }\underbrace {f_{n}^{-1}(B)} _{\in S_{n}\subseteq S}\in S.$

und $f$ ist messbar.

b) $f(x)={\frac {1}{x}}$ ist nicht messbar, da

$f^{-1}\left(\left\lbrack {\frac {1}{3,5}},{\frac {1}{2,5}}\right)\right)=\left\lbrack {\frac {1}{3,5}},{\frac {1}{2,5}}\right)\not \in S$

Betrachte die $f_{n}:A_{n}\rightarrow \mathbb {R}$. Da $S_{n}=\{A_{n},\emptyset \}$ sind gemäß Aufgabe 1 nur die konstanten Funktionen messbar.

Da die $A_{n}$ disjunkt sind, konstruiere $f$ durch $f=f_{n}$ auf $A_{n}$. Die messbaren Funktionen $f$ sind nach a) damit genau die, die auf den $A_{n}$ konstant sind.