Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Messbare Abbildungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

MotivationBearbeiten

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Dies verwenden wir, um nun zu untersuchen, wann eine Abbildung zwischen zwei Sigma-Algebren vermittelt.

Seien im Folgenden   Grundmengen und   Sigma-Algebren mit  . Wir definieren eine Abbildung   als "gut", wir sagen auch "messbar", wenn sie "gute" Mengen aus der Sigma-Algebra   auf "gute" Mengen der Sigma-Algebra   abbildet. Was sie mit den "schlechten" Mengen macht, interessiert uns dabei nicht.

Definition der MessbarkeitBearbeiten

Definition (Messraum und Messbarkeit)

Wir nennen eine Grundmenge zusammen mit einer Sigma-Algebra über ihr einen Messraum.

Seien   Messräume.   heißt  -messbar oder einfach messbar genau dann wenn

 

Schreibweise:   oder  

Die Definition mit   ist sinnvoll um Sigma-Algebren zu vergleichen, aber die Anwendung von X macht keinen Sinn: Sei im einfachsten Fall  , dann ist   und das ist keine Sigma-Algebra.

To-Do:

Die Verknüpfung messbarer Abbildungen ist messbar.

Die Messbarkeit ist also abhängig von der Funktion   und von der Größe der Sigma-Algebren. Das wollen wir uns an einigen Beispielen klarmachen. Die Messbarkeitsbedingung sieht harmlos aus, macht den Studierenden aber deutliche Schwierigkeiten. Wir haben deshalb in den nächsten drei Kapiteln bewusst mehrere Aufgaben aufgenommen, um sich an den Begriff zu gewöhnen und raten dringend, diese durchzuarbeiten.

Aufgabe 1Bearbeiten

Aufgabe

a) Eine konstante Funktion   ist immer messbar.

b) Die einzigen messbaren Funktionen   bzgl.   sind die konstanten Funktionen.

c) Sei   eine Sigma-Algebra über  . Die Indikatorfunktion

 

ist messbar genau dann wenn   Element der Sigma-Algebra ist.

d) Sei   gegeben und  . Ist dann    -messbar?

Beweis

a) Wegen

 

und da jede Sigma-Algebra   über   automatisch   enthält, ist   messbar.

Das konstante f ist eine starke Einschränkung und damit messbar

b) Eine Funktion mit mindestens zwei Funktionswerten a und b ergibt zwei disjunkte, nicht-leere Mengen   und  . Aber diese können nicht in der Sigma-Algebra liegen, da diese nur die leere Menge und die gesamte Menge enthält. Damit kann die Funktion nur einen Funktionswert annehmen, sie ist konstant.

c) Wegen

 

Die Indikatorfunktion ist also messabr genau dann wenn  

d) Nach Voraussetzung gilt für alle  . Wegen   folgt die Messbarkeitsbedingung

 

Aufgabe 2Bearbeiten

Aufgabe

Sei   und   und   und  .

a) Ist    -messbar?

b) Ist    -messbar?

c) Ist   definiert durch   und    -messbar?

d) Sei   und  . Sind die Abbildungen   und    -messbar?

Beweis

a) Da   jedes   auf dasselbe   abbildet, gilt  . Zeige also

 

Aber die Menge   liegt nicht in  , wie man nachschaut. Somit ist   nicht  -messbar.

Die linke Sigma-Algebra ist also zu klein.

b) Da   und   ist   automatisch  -messbar, da

 

Die linke Sigma-Algebra ist groß genug (insbesondere da sie die Potenzmenge ist)

c)   ist die Indikatorfunktion für  . Nach Aufgabe 1 ist sie messbar, wenn  . Das ist gerade so eben der Fall, da  . Damit ist    -messbar.

Die Indikatorfunktion ist gerade eine so starke Einschränkung und   gerade groß genug, dass   messbar wird.

d) Da eine gerade Zahlen mit sich selbst multipliziert erneut eine gerade Zahl ergibt,   und eine ungerade Zahl mit sich selbst multipliziert eine ungerade Zahl ergibt, folgt (obwohl F keineswegs ganz   trifft!)

 

und damit wird   tatsächlich  -messbar

Da   nur auf die ungeraden Zahlen abbildet, folgt

 

und   ist messbar.

Aufgabe 3: Messbarkeit auf AbschnittenBearbeiten

Aufgabe (Messbarkeit auf Abschnitten)

a) Seien   ein Maßraum und   eine Zerlegung von   mit  . Seien   die Einschränkungen von   auf  . Betrachte die Sigma-Algebren  . Dann gilt

 

b) Wir hatten die Sigma-Algebra   mit   und   betrachtet im Kapitel über Sigma-Algebren.

Bestimme alle messbaren  ? Ist   messbar?

Lösung (Messbarkeit auf Abschnitten)

a) Zeige:   ist eine Sigma-Algebra auf  . Für   gilt

 

" ": Sei   messbar und  . Dann gilt nach Definition von  

 

und   ist messbar.

" ": Seien   messbar und  . Die Funktion   ist eindeutig definiert, da die   disjunkt sind. Da   gilt

 

und   ist messbar.

b)   ist nicht messbar, da

 

Betrachte die  . Da   sind gemäß Aufgabe 1 nur die konstanten Funktionen messbar.

Da die   disjunkt sind, konstruiere   durch   auf  . Die messbaren Funktionen   sind nach a) damit genau die, die auf den   konstant sind.