Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Beweise für lineare Abbildungen führen

Die Exponentialfunktion ist keine lineare Abbildung

Im Artikel wird versucht, die Exponentialfunktion als lineare Abbildung darzustellen. Dabei wird als Wertebereich dieser Abbildung $W=(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$ festgelegt. Dieses Objekt ist jedoch kein $\mathbb {R}$-Vektorraum: Ein solcher Vektorraum besteht aus einer Menge (haben wir), einer Addition (haben wir, hier $\boxplus _{W}=\cdot$) und einer Skalarmultiplikation $\boxdot _{W}:\mathbb {R} \times (\mathbb {R} \setminus \{0\})\to \mathbb {R} \setminus \{0\}$ (haben wir hier nicht). Es müssen auch noch einige Eigenschaften erfüllt sein. Zum Beispiel müsste für alle $x\in W$ gelten:

$x^{2}=x\boxplus _{W}x=(1\boxdot _{W}x)\boxplus _{W}(1\boxdot _{W}x)=(1+1)\boxdot _{W}x=2\boxdot _{W}x$

Da der Übergang $x\mapsto 2\boxdot _{w}x$ (unter Voraussetzung der Vektorraum-Axiome) durch die Abbildung $x\mapsto {\frac {1}{2}}\boxdot _{W}x$ invertiert werden kann, müsste auch die Abbildung $x\mapsto x^{2}$ invertierbar sein. Aber da $W$ auch negative Zahlen enthält, können wir nicht immer reelle Wurzeln ziehen. Also können wir $W$ nicht mit einer Vektorraumstruktur ausstatten. Folglich können wir die Exponentialfunktion auch in diesem Kontext nicht als Lineare Abbildung sehen. Richtig ist sehr wohl, dass die Exponentialfunktion ein Gruppenhomomorphismus $(\mathbb {R} ,+)\to (\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$ ist. Talonnn 20:51, 20. Sep. 2017 (CEST)