Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Aussageform und Substitution

Welche Regeln gelten für das Aneinanderreihen mehrerer Quantoren ?

Im Abschnitt "Aussageformen" ist mir unter den Verständnisfragen (dieses Konzept der immer wieder in den Text eingestreuten Fragen finde ich übrigens sehr gut) die Schreibweise $\forall x\forall y:x+y=y+x$ aufgefallen. Im darauffolgenden Abschnitt "Substitution" finde ich unter den Verständnisfragen den sehr ähnlichen Ausdruck $\forall x,y:x+y=y+x$. In beiden Fällen bin ich geneigt, den Ausdruck als "Für alle x UND für alle y gilt ..." zu lesen. Oder liege ich da falsch? Ich schlage vor, dass im vorausgegangenen Unterkapitel "Quantoren" noch ein kleiner Abschnitt darüber hinzugefügt wird, welche Regeln gelten, wenn wie hier mehrere Quantoren (oder nach einem Quantor mehrere Variablen) hintereinander aufgelistet werden.--Michael Oestreicher 16:08, 17. Sep. 2016 (CEST)

Danke @Michael Oestreicher für den Hinweis. Ich habe unter Mathe_für_Nicht-Freaks:_Quantor#Notation einen entsprechenden Hinweis ergänzt. -- Stephan Kulla 17:24, 17. Sep. 2016 (CEST)

Freie und gebundene Variablen

Gleich zu Beginn dieses Abschnitts heisst es:

Freie Variablen sind Leerstellen / Platzhalter in einem sprachlichen Ausdruck, die durch Elemente der Grundmenge ersetzt werden können. Im Gegensatz dazu können gebundene Variablen nicht durch Elemente der Grundmenge ersetzt werden. Dies liegt daran, dass sie schon durch Quantoren gebunden sind.

Diese Formulierung finde ich unglücklich, denn grundsätzlich stehen Variable immer für Elemente der Grundmenge, egal ob sie frei oder gebunden sind. Denn was ist mit "für alle x" oder "es gibt ein x" gemeint? Doch nichts anderes als "für alle Elemente aus dem Grundbereich" bzw. "es gibt ein Element aus dem Grundbereich". Ich schlage folgende Formulierung vor:

Variablen sind Leerstellen / Platzhalter in einem sprachlichen Ausdruck, die für Elemente der Grundmenge stehen. Sie können durch Quantoren oder andere Operatoren gebunden werden. Die Bedeutung der gebundenen Variablen ist an den Operator gekoppelt, in dessen Wirkungsbereich sie liegen. So besagt $\forall x:A(x)$, dass die Aussage $A(x)$ zutrifft, egal welches Element aus dem Grundbereich für x genommen wird. $\exists x:A(x)$ dagegen heisst nur, dass es wenigstens ein Element aus dem Grundbereich gibt, für das $A(x)$ zutrifft. Eine Variable, die nicht gebunden ist, heisst frei.

Die (eingerückte) Definition der freien und gebunden Variablen ist völlig ok. M.E. sollte sie auch ihrer Wichtigkeit entsprechend als Definition gekennzeichnet werden:

Definition (Freie und gebundene Variablen)

Eine Variable ist gebunden, wenn sie durch einen mathematischen Operator (z.B. einen Quantor) eingeführt wurde und im Wirkungsbereichs dieses Operators liegt. Ansonsten ist eine Variable eine freie Variable.

Jürgen-Michael Glubrecht 17:12, 3. Sep. 2018 (CEST)

@Jürgen-Michael Glubrecht: Änderungsvorschläge kannst du gerne umsetzen. Dank dir! -- Stephan Kulla 20:49, 3. Sep. 2018 (CEST)