Diskussion:Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Durchschnitt

Hallo, seit langem melde ich mich mal wieder, wegen des Beweises über den Durchschnitt von Ordinalzahlen. Mir ist aufgefallen, dass er hier recht kompliziert und undurchsichtig geführt wird. Manche Autoren schenken sich den Beweis, weil er trivial ist. Das ist auch so. Ich mache hier einen alternativen Vorschlag, der kürzer und verständlicher ist. Ich wähle die Abkürzung so, dass man mit dem Buchstaben Sinn assoziiert:

Beweis

Sei $A$ eine nichtleere Menge von Ordinalzahlen und ihr Durchschnitt $D:=\bigcap A:=\{\,x\mid \forall z\in A\colon x\in z\}$. Sei ferner $M:=\{\,x\mid \forall z\in A\colon x\subseteq z\}$ die Klasse aller minimalen Elemente bezüglich der Inklusion.

Zunächst wird gezeigt, dass $M$ nur das Element $D$ hat. Sei irgendein $a\in A$ ein minimales Element $a\in M$ (1). Sei $x\in a$ (2) beliebig gewählt. Für jedes $z\in A$ gilt nun wegen (1) die Inklusion $a\subseteq z$ und wegen (2) folglich $x\in z$; also ist gilt $x\in D$, das heißt, da $x$ beliebig gewählt war, $a\subseteq D$ (3). Sei nun $x\in D$ beliebig gewählt, dann gilt speziell für $a\in A$ die Relation $a\in x$; also gilt auch die umgekehrte Inklusion $D\subseteq a$ und mit (3) wie behauptet $a=D$. Da nun aber $A$ nicht leer ist, gibt es tatsächlich ein minimales Element $m\in A$ (4) bezüglich der Inklusion, das heißt: Für jede Zahl $z\in A$ gilt $m\subseteq z$. Das heißt aber $m\in M$. Wie eben gezeigt, gilt dann $m=D$ und wegen (4) folglich $D\in A$, was zu zeigen war.

Viele Grüße--Wilfried Neumaier 21:01, 4. Feb. 2019 (CET)