Diskussion:Beweisarchiv: Funktionalanalysis: Hilberträume: Parallelogrammgleichung

Definition des komplexen Skalarproduktes

Laut angegebener Definition soll das Skalarprodukt im komplexen Fall u.a. folgende Eigenschaft haben: $\langle x,\lambda y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle {\bar {\lambda }}x,y\rangle$ Unten wird aber gezeigt, dass $\lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle$ ist.
Ich glaube, das hängt mit der Definition des komplexen Skalarproduktes zusammen; richtig sollte es so sein: $\langle x,y\rangle :={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)-{\frac {i}{4}}\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)$ (Also das konjugierte vom Angegebenen)
Dadurch ändert sich natürlich an mehreren Stellen der Beweisführung das Vorzeichen (dort wo der Imaginärteil behandelt wird). Lieg ich da richtig oder ist die Eigenschaft des Skalarproduktes anders (linear in der 1. statt der 2. Komponente)? Peter.Stadler 11:25, 21. Jan 2006 (UTC)
Es gibt zwei mögliche Definitionen von Sesquilinearform, entweder mit $\lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle$ oder mit $\lambda \langle x,y\rangle =\langle x,\lambda y\rangle$. Im Beweis ist angegeben, welche Definition benutzt wird, nämlich $\lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle =\langle x,{\bar {\lambda }}y\rangle$. --He9c 16:43, 15. Mai 2008 (CEST)

Additivität und Homogenität

Der hier angegebene Beweis der Additivität setzt die Homogenität voraus. Und zwar an der Stelle:

$\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle =\langle u+w,v\rangle +\langle u-w,v\rangle =2\langle u,v\rangle =\langle 2u,v\rangle =\langle x+y,z\rangle$

2 wird einfach in das Skalaprodukt reingezogen, das heißt, es wurde die Homogenität benutzt. Aber der Beweis der Homogenität setzt wiederum die Additivität voraus. Und das ist zirkulare Logik. Aus A folgt H und aus H folgt A, aber man weiß überhaupt nicht, ob A und H wirklich wahre Aussagen sind.

Oder sehe ich das falsch?

Fuer Additivitaet wird gezeigt: $\langle u+w,v\rangle +\langle u-w,v\rangle =2\langle u,v\rangle$. Das hat als Sonderfall $u=w$:
$\langle 2u,v\rangle +\langle 0,v\rangle =2\langle u,v\rangle$.

Die Definition des Skalarproduktes liefert $\langle 0,v\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|v\|^{2}-\|v\|^{2}\right)+{\frac {i}{4}}\left(\|iv\|^{2}-\|iv\|^{2}\right)=0$. Damit erhaelt man $\langle 2u,v\rangle =2\langle u,v\rangle$.
Der Beweis der Additivität ist unabhängig vom Beweis der Homogenität. --He9c 16:56, 15. Mai 2008 (CEST)

Unpräzise Formulierung

Vielleicht sollte die Formulierung "Ein Banachraum ist genau dann ein Hilbertraum, wenn..." ersetzt werden durch die präzisere Formulierung "Ein Banachraum ist genau dann der einem Hilbertraum zugrundeliegende Banachraum, wenn..." oder eine ähnliche. Schließlich bestehen Banachräume und Hilberträume aus verschiedenen Daten.