Digitale bildgebende Verfahren: Transformationen


Dieses Kapitel beschäftigt sich mit mathematischen Transformationen bei optischen Abbildungen und deren Digitalisaten.

HelligkeitstransformationenBearbeiten

Die Leuchtdichten, die in einem Bild die Helligkeiten repräsentieren, werden bei der Digitalisierung in Zahlenwerte umgerechnet, mit denen beliebige mathematische Operationen zur Bildbeeinflussung und zur Bildverbesserung durchgeführt werden können.

GammakorrekturBearbeiten

Um die mittleren Helligkeiten eines digitalen Bildes anzupassen, ohne die minimale Helligkeit (schwarz) und die maximale Helligkeit (weiß) zu ändern, kann eine rechnerische Gammakorrektur durchgeführt werden, um eine Eingangshelligkeit   in eine Ausgangshelligkeit   umzuwandeln. Der Name dieser Korrektur rührt vom Exponenten   der Übertragungsfunktion her:

 

mit

 

und

 

Die Werte für die Eingangshelligkeiten   ergeben sich aus den digitalen Zahlenwerten für die Helligkeit   folgendermaßen:

 

Der reellwertige Exponent   ist hierbei immer positiv. Die Null und die Eins - also der dunkelste und der hellste Helligkeitswert - bleiben nach der Transformation erhalten, die dazwischenliegenden Werte werden entweder alle vergrößert ( ) oder alle verkleinert ( ). Bei   behalten alle Helligkeiten ihren Wert (identische Abbildung).

Die Gammakorrektur kann daher eingesetzt werden, wenn in einem Bild zwar alle Tonwerte vorhanden sind, jedoch die mittleren Tonwerte zu hell oder wie in folgendem Beispiel zu dunkel wirken:

Die Gammakorrektur kann bei Bedarf auch für alle Farbkanäle unabhängig eingestellt werden, wie zum Beispiel bei den drei Primärfarben rot, grün und blau:

 
 
 

TonwertkorrekturBearbeiten

WeißpunktBearbeiten

Wenn der Spielraum der ebenfalls Tonwerte genannten Helligkeitswerte in einem digitalen Bild nicht ausgenutzt wird - bei unterbelichteten Bildern ist dies üblicherweise der Fall, da die höheren Helligkeitswerte nicht auftauchen -, ist es sinnvoll, die Helligkeitswerte gleichmäßig zu erhöhen, damit bei der Wiedergabe ein klares Bild mit der Möglichkeit von schwarzen und weißen Bildpunkten entsteht. Die Ausgangswerte   ergeben sich dann auf einfache Weise aus den Eingangswerten   durch eine lineare Transformation:

 

mit

 ,

wobei   die maximale im Eingangsbild auftretende Helligkeit ist. Im Ausgangsbild ist nach der Transformation die maximal auftretende Helligkeit gleich 1. Entsprechende Punkte werden auch als die Weißpunkte des Bildes bezeichnet.

WeißabgleichBearbeiten

Eine Tonwertkorrektur kann auch separat für alle vorhandenen Farbkanäle, meist die Primärfarben rot, grün und blau, durchgeführt werden. Um einen Bildbereich farbneutral, also ohne Farbstich, zu bekommen, müssen die entsprechenden Tonwerte der Farbkanäle auf die gleichen Helligkeiten gerechnet werden - diesen Vorgang bezeichnet man als Weißabgleich. Bei Aufnahmesystemen mit automatischem Weißabgleich wird oft in jedem Farbkanal der hellste Punkt gesucht, und mit deren Tonwerten werden die Korrekturen für die einzelnen Farbkanäle ausgerechnet. Bei den üblicherweise verwendeten Primärfarben ergibt sich dann:

 

mit

 

wobei  ,   und   die maximalen im Eingangsbild auftretenden Helligkeiten der drei Farbkanäle sind. Im Ausgangsbild ist nach der Transformation die maximal auftretende Helligkeit für alle Farbkanäle gleich 1. Punkte mit diesen Tonwerten werden auch hier als Weißpunkte bezeichnet.

Problematisch ist der automatische Weißabgleich, wenn es im Eingangsbild gar keine Punkte gibt, die dem Weißpunkt entsprechen. Solche Umstände liegen vor, wenn das aufgenommene Objekt keine weißen Punkte enthält oder monochromatische Punkte die hellsten im Bild sind. Eine typische Situation sind Sonnenauf- und -untergänge, bei der das helle Sonnenlicht eine deutliche Rotfärbung der Szenerie verursacht. Hier ist es in der Regel vorzuziehen, die Farbkanäle nicht für den hellsten Punkt, sondern für einen farbneutralen Punkt (Graupunkt) anzugleichen.

KoordinatentransformationenBearbeiten

BildkoordinatenBearbeiten

 
Zu Bildtransformationen mit den Bildkoordinaten   und  , der Bildhöhe   und dem Winkel   zwischen optischer Achse und Bildpunkt bei Abbildungen über eine Hauptebene H in einer Projektionsebene P im Abstand der Bildweite  

Werden die Bildkoordinaten   und   eines Bildpunktes von der Bildmitte aus bestimmt, die in der Regel senkrecht von der optischen Achse durchlaufen wird, ergibt sich der entsprechende Ortsvektor   zu:

 

Die Bildhöhe   dieses Bildpunktes von der optischen Achse aus gemessen beträgt dann:

 

Der Winkel   zwischen optischer Achse und dem Strahl durch den Bildpunkt im Hauptpunkt ist üblicherweise nicht unmittelbar bekannt, kann aber leicht aus der Bildweite   und der Bildhöhe   bestimmt werden:

 

In der Informationstechnik (IT) wird aus historischen Gründen der Ursprung des Bildkoordinatensystems häufig in die linke obere Bildecke gelegt, wobei die x-Achse nach rechts und die y-Achse nach unten verlaufen. Wenn die Bildbreite   und die Bildhöhe   betragen, ergibt sich die folgende Transformation zu den oben angegebenen Bildkoordinaten:

 

HimmelskoordinatenBearbeiten

 
Zur Umrechnung: Horizontalsystem ↔ Äquatorialsystem (ruhend)

Der Zenit ist senkrecht über dem Beobachter und der Nadir senkrecht unter dem Beobachter im Zentrum der Darstellung (dunkelgraue Kreisscheibe).

Der Meridian ist der Großkreis durch Himmelsnord- und Himmelsüdpol sowie die Richtungen Norden (N) und Süden (S) vom Beobachter aus gesehen.

Der Beobachter sieht im Horizontalsystem (hellgraue Scheibe) am Himmel einen Punkt (violett) unter dem Azimut   (schwarz), der vom nördlichen Meridian aus im Uhrzeigersinn in der Horizontalebene gemessen wird, und unter dem Höhenwinkel   (grün), der auf dem Großkreis zwischen Nadir und Zenit (grün), der durch den beobachteten Punkt (violett) geht, und der senkrecht zur Horizontalebene und von der Horizontalebene aus gemessen wird.

Diese Winkel können in die kartesischen Koordinaten  ,   und   im Horizontalsystem umgerechnet werden:

 
 
 

Diese Koordinaten des entsprechenden Ortsvektors   vom Mittelpunkt in Richtung des beobachteten Punktes sind normalisiert:

 

Im Äquatorialsystem (türkisfarbene Scheibe) wird der Stundenwinkel   (cyan) vom nördlichen Meridian aus im Uhrzeigersinn in der Äquatorialebene gemessen, und der Deklinationswinkel   (rot) wird auf dem Großkreis zwischen Himmelssüdpol und Himmelsnordpol (rot), der durch den beobachteten Punkt (violett) geht, senkrecht zur Äquatorialebene und von der Äquatorialebene aus gemessen.

Ostpunkt (O) und Westpunkt (W) sind in beiden Systemen identisch, und die Neigung der beiden Ebenen zueinander ist durch die Polhöhe   (blau) gegeben, die mit dem Breitengrad übereinstimmt, auf dem sich der Beobachter befindet.

Für die Umrechnung von Azimut   und Höhenwinkel   im Horizontalsystem in den Stundenwinkel   und die Rektaszension im Äquatorialsystem gelten die folgenden Beziehungen:

 

und

 

Falls der Deklinationswinkel  , die Sternzeit   und die Rektaszension   eines Himmelsobjekts im Äquatorialsystem zum Beispiel mit Hilfe von Ephemeriden-Tabellen bekannt sind, können der der dazugehörige Stundenwinkel   und schließlich der entsprechende Azimut   und Höhenwinkel   im Horizontalsystem mit den folgenden Gleichungen berechnet werden:

 
 

und

 

Scheinbare BewegungBearbeiten

Der beobachtete Himmelspunkt (violett) bewegt sich in der nördlichen Hemisphäre innerhalb eines halben Tages in Pfeilrichtung auf einem Halbkreis (mit   respektive  ) von Osten nach Westen, der mit konstantem Deklinationswinkel   (rot) parallel zur Äquatorialebene (türkisfarbene Scheibe) liegt. Innerhalb eines ganzen siderischen Tages   wird ein vollständiger Kreis durchlaufen.

Innerhalb einer vorgegebenen Zeitspanne   in Sekunden verändert sich der Stundenwinkel   demnach im Bogenmaß um den Betrag:

 

Der neue Stundenwinkel   beträgt dann also:

 

Mithilfe des neuen Strundenwikels   kann dann auch die neue Position des betrachteten Punktes im Horizontalsystem bestimmt werden:

 

und

 

Die scheinbare Bewegung des betrachteten Himmelspunktes kann durch die Differenz der Azimute

 

und die Differenz der Höhenwinkel

 

ausgedrückt werden.

BeispielBearbeiten

Das folgende Beispiel für den Blutmond am 28. September 2015 ist für den 52. Breitengrad südlich von Berlin und eine Zeitdifferenz (= Belichtungszeit) von sechs Sekunden berechnet:

Himmelskoordinaten des Blutmonds am 28. September 2015
Winkel Winkel in Grad Winkel im Bogenmaß (Radiant)
Polhöhe   52,000 0,90757
Azimut   56,000 0,97738
Höhenwinkel   29,000 0,50615
Deklination   4,64184 0,08102
Stundenwinkel   46,6754 0,81464
Stundenwinkeldifferenz   0,0251 0,00044
Neuer Stundenwinkel   46,7005 0,81508
Neuer Azimut   56,0245 0,97781
Neuer Höhenwinkel   28,9872 0,50592
Azimutdifferenz   0,02454 0,00043
Höhenwinkedifferenz   -0,01280 -0,00022

ProjektionBearbeiten

 
Zentralprojektion der Punkte P und P' am Himmel auf die Punkte Q und Q' in einer Bildebene in der Entfernung f vom Mittelpunkt der Projektion M

Im Folgenden wird die Bewegung eines Himmelspunktes von P mit dem Azimut   und dem Höhenwinkel   nach P' mit dem Azimut   und dem Höhenwinkel   betrachtet, der von einem Mittelpunkt M aus in der unbewegten Projektionsebene mit x- und y-Koordinate als Verschiebung von Bildpunkt Q nach Bildpunkt Q' erscheint.

Bei einer Bildweite, die bei einer Abbildung aus dem Unendlichen mit der Brennweite   identisch ist, ergeben sich in der Bildebene, deren horizontale x-Achse parallel zum Horizont ausgerichtet ist und deren Normale (= optische Achse der Abbildung durch den Bildpunkt Q zum Punkt P) auf den betrachteten Punkt P zeigt, die folgenden Koordinatendifferenzen aus den Winkeldifferenzen im Bogenmaß:

 
 
BeispieleBearbeiten

Bei Beobachtung am Äquator ( ) vereinfacht sich die Betrachtung folgendermaßen:

 
 

Umgekehrt verhält es sich bei der Beobachtung am Nord- oder Südpol ( ):

 
 

Die folgenden Werte sind für eine Brennweite von 140 Millimetern und für die Winkel im oben angegebenen Beispiel berechnet ( ). Die Breite und Höhe eines Bildpunkts entsprechen bei den folgenden Beispielbildern einer Länge von 7,4 Mikrometern in der Bildebene. Der Bildausschnitt auf dem Bildsensor betrug rund 7,6 mal 5,7 Quadratmillimeter.

Bildtranslation des Blutmonds am 28.  September 2015
Verschiebung Wert
Horizontale Verschiebung in mm 0,060
Vertikale Verschiebung in mm -0,031
Horizontale Verschiebung in Pixel 8
Vertikale Verschiebung in Pixel -4

BilddrehungBearbeiten

 
Bilddrehung um den Winkel   zwischen den Punkten Q und Q' durch die Drehung der Erde um den Himmelsnordpol mit dem Winkel  

Bei entsprechend langen Belichtungszeiten kann es erforderlich sein, auch die Bilddrehung zu berücksichtigen. Das Bild dreht sich genauso wie die Erde einmal pro (siderischem) Tag.

Der Winkel der Bilddrehung   ist daher identisch mit der Stundenwinkeldifferenz  :

 

Am Himmelsäquator ist die Deklination  , und es ergibt sich keine Rotation. In der nördlichen Hemisphäre ( ) ist die scheinbare Drehung eines Fixsterns entgegen dem Uhrzeigersinn und in der südlichen Hemisphäre ( ) im Uhrzeigersinn.

BeispielBearbeiten

Das folgende Beispiel ist erneut mit den obigen Vorgaben für eine Brennweite von 140 Millimetern und für eine Zeitdifferenz (= Belichtungszeit) von sechs Sekunden berechnet:

Bildrotation des Blutmonds am 28.  September 2015
Winkel Wert
Drehwinkel in rad 0,00044
Drehwinkel in ° 0,02500
Drehwinkel in ' 1,50
Drehwinkel in " 90

Entlang einer Bildkantenlänge von 1024 Bildpunkten mit je 7,4 Mikrometern ergibt sich eine Bilddrehung um knapp einen halben Bildpunkt beziehungsweise eine Verdrehung der Bildecke um 3,3 Mikrometer.

Fourier-TransformationBearbeiten

 
Programm zur Berechnung einer Fast-Fourier-Transformation in Component Pascal

Der Betrag der komplexwertigen, zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der spektralen Dichte der Modulationsübertragungsfunktion im Ortsfrequenzraum herangezogen werden. In der digitalen Signalverarbeitung wird hierfür häufig die sehr effiziente Fast-Fourier-Transformation (FFT) eingesetzt. Das Leistungsdichtespektrum entspricht hierbei dem Beugungsbild der Bilddaten, das mit einem Bildschirm aufgefangen werden kann.

BeispieleBearbeiten