Digitale Schaltungstechnik/ Schaltalgebra/ Gesetze

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Gesetze der Schaltalgebra Beispiel Aufgaben Beispiel: Lampenschaltung Einleitung Wahrheitstabelle KV Diagramm Schaltbild Übungen LogicTraffic Lösungen Zusammenfassung De Morgan Realisierung mit NAND Realisierung mit NOR

Meistens lassen sich die mit der Normalform gebildeten Gleichungen noch vereinfachen. Die Gesetze die das ermöglichen werden hier nun vorgestellt.

Leitung unterbrochen 0
Schalter offen Variable 0

Leitung durchgeschaltet 
Schalter geschlossen Variable 1

Und Verknüpfung

A und 0

Analysieren wir den Ausdruck

$A\land 0=0$

A und 1

$A\land 1=A$

A und A

$A\land A=A$

A und A

$A\land {\overline {A}}=0$

Oder Verknüpfung

A oder 0

$A\lor 0=A$

A oder 1

$A\lor 1=1$

A oder A

$A\lor A=A$

A oder A

$A\lor {\overline {A}}=1$

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Variablen mit gleicher Verknüpfung dürfen beliebig angeordnet werden.

Und

$A\land B\land C=C\land B\land A$

Oder

$A\lor B\lor C=C\lor B\lor A$

Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz bzw. Zuordnungsgesetz)

Bei Variablen mit gleicher Verknüpfung können Klammern beliebig gesetzt werden.

$(A\land B)\land C=A\land (B\land C)$

$(A\lor B)\lor C=A\lor (B\lor C)$

Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Ausklammern und Ausmultiplizieren gibt es auch in der Schaltalgebra.

$A\land (B\lor C)=(A\land B)\lor (A\land C)$

$A\lor (B\land C)=(A\lor B)\land (A\lor C)$

$A\land (A\lor B)=A$

$A\lor (A\land B)=A$

$G\lor (G\land B)=G$

Doppelte Negationen

Doppelte Negationen heben sich auf.

$A={\overline {\overline {A}}}$

Vereinfachung

Im Kapitel Wahrheitstabelle haben wir diese Gleichung ausgelesen:

$X={\overline {C}}\ {\overline {B}}\ {\overline {A}}\lor {\overline {C}}\ B\ {\overline {A}}\lor C\ {\overline {B}}\ A\lor C\ B\ {\overline {A}}$

Vereinfachen wir sie nun mit den neuen Regeln:

$X={\overline {C}}\ {\overline {B}}\ {\overline {A}}\lor {\overline {C}}\ B\ {\overline {A}}\lor C\ {\overline {B}}\ A\lor C\ B\ {\overline {A}}$	${\overline {C}}\ {\overline {A}}$ ausklammern
$X={\overline {C}}\ {\overline {A}}({\overline {B}}\lor B)\lor {\overline {C}}\ {\overline {A}}\lor C\ {\overline {B}}\ A\lor C\ B\ {\overline {A}}$	${\overline {B}}\lor B=1$
$X={\overline {C}}\ {\overline {A}}\lor C\ {\overline {B}}\ A\lor C\ B\ {\overline {A}}$	$C$ ausklammern
$X={\overline {C}}\ {\overline {A}}\lor C({\overline {B}}\ A\lor B\ {\overline {A}})$	Resultat

Durch das Ausklammern ergeben sich mehrere Möglichkeiten, die praktisch gleich gut sind.