Diffgeo: Kurventheorie: Parameterisierung nach Bogenlänge

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Parameterdarstellung nach Bogenlänge

Wird t wie vorher als Zeit betrachtet, so wäre es auch interessant, die Kurve nach dem Weg, genauer der Bogenlänge $s$, parametrisieren zu können. Dazu ist eine Parametertransformation nötig. Die Gestalt der Kurve muss natürlich gleich bleiben.

Gesucht wird also eine Transformationsfunktion $s(t).$

Ein kleiner Teil $\Delta s$ des Bogens kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras annäherend geschrieben werden als:

$\Delta s^{2}\approx \Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}$.

Im Limes ergibt sich:

${\rm {{d}s={\sqrt {\rm {{d}x^{2}+{\rm {{d}y^{2}+{\rm {{d}z^{2}}}}}}}}}}$,

oder

${\frac {\rm {{d}s}}{\rm {{d}t}}}={\sqrt {\left({\frac {\rm {{d}x}}{\rm {{d}t}}}\right)^{2}+\left({\frac {\rm {{d}y}}{\rm {{d}t}}}\right)^{2}+\left({\frac {\rm {{d}z}}{\rm {{d}t}}}\right)^{2}}}$.

Daraus finden wir durch Integrieren:

$s(t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\sqrt {\left({\frac {\rm {{d}x}}{\rm {{d}t}}}\right)^{2}+\left({\frac {\rm {{d}y}}{\rm {{d}t}}}\right)^{2}+\left({\frac {\rm {{d}z}}{\rm {{d}t}}}\right)^{2}}}\,{\rm {{d}t}}$,

Diese Formel lässt sich auch wie folgt ableiten:

Der Punkt bewegt sich nur vorwärts auf der Kurve; die Geschwindigkeit mit der sich der Punkt bewegt ist also positiv:

${\frac {\rm {{d}s}}{\rm {{d}t}}}>0$

Deshalb ist:

${\frac {\rm {{d}s}}{\rm {{d}t}}}=\left\|{\frac {\rm {{d}{\vec {x}}}}{\rm {{d}t}}}\right\|=\left\|{\dot {\vec {x}}}\right\|={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}$

Dies können wir durch Integration lösen und erhalten den Zusammenhang zwischen s und t. Die durch die Norm vorgegebene Berechnungsvorschrift (Wurzelziehen aus den x-,y-,z-Skalaren) setzen wir ein.

Definition Parametertransformation Bogenlänge und t
$s(t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\,{\rm {{d}t}}$

Die Parametrisierung nach der Bogenlänge wird auch natürliche Parameterdarstellung genannt.

Praxisbeispiel

Stellen Sie sich vor, die Schraubenlinie aus Beispiel 2 beschreibt die Auffahrt in einem Parkhaus mit Radius r=8m und Höhe h=12m. Sie möchten entlang der unteren ${\tfrac {2}{3}}$ der Strecke einen Warnstreifen anbringen. Wieviel Meter Streifen werden benötigt?

Schraubenlinie

$x(t)=r\ \cos(t)$

$y(t)=r\ \sin(t)$

$z(t)={\tfrac {1}{2}}\ h\ t$

Die Höhe h=12m ist erreicht, wenn t=2m gilt:

$0\mathrm {m} \leq t\leq 2\mathrm {m}$

Zuerst wollen wir für die Schraubenlinie den Parameter $s$ berechnen

$\left\|{\dot {\vec {x}}}\right\|={\sqrt {\left({\frac {\rm {{d}x}}{\rm {{d}t}}}\right)^{2}+\left({\frac {\rm {{d}y}}{\rm {{d}t}}}\right)^{2}+\left({\frac {\rm {{d}z}}{\rm {{d}t}}}\right)^{2}}}={\sqrt {r^{2}\sin ^{2}{t}+r^{2}\cos ^{2}{t}+{\tfrac {1}{4}}h^{2}}}={\sqrt {r^{2}+{\tfrac {1}{4}}h^{2}}}$

$s(t_{1})=\int _{0}^{t_{1}}\left\|{\dot {\vec {x}}}\right\|\,{\rm {{d}t={\sqrt {r^{2}+{\tfrac {1}{4}}h^{2}}}\ t_{1}}}$

Die Länge der Auffahrt ergibt sich zu:

$s(2\mathrm {m} )={\sqrt {8^{2}+6^{2}}}\ 2\mathrm {m} =20\mathrm {m}$

Benötigt werden also 20m Warnstreifen.

Die natürliche Parameterdarstellung:

$x(s)=r\cos \left({\frac {s}{\sqrt {r^{2}+{\tfrac {1}{4}}h^{2}}}}\right)$

$y(s)=r\sin \left({\frac {s}{\sqrt {r^{2}+{\tfrac {1}{4}}h^{2}}}}\right)$

$z(s)={\tfrac {1}{2}}h{\frac {s}{\sqrt {r^{2}+{\tfrac {1}{4}}h^{2}}}}$

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