Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: Formelsammlung

Ist hier von der Schrödinger-Gleichung die Rede ist stets nur die zeitunabhängige eindimensionale Schrödinger-Gleichung gemeint.

Allgemein

Wellengleichung der klassischen Mechanik	$s(x;t)={\widehat {s}}\cdot \sin \left(2\pi \left({\frac {t}{T}}-{\frac {x}{\lambda }}\right)\right)$
Schrödinger-Gleichung	$\Psi ''(x)=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(W-W_{pot})\cdot \Psi (x)$
Euler’sche Formel	$e^{\pm i\varphi }=\cos \varphi \pm i\sin \varphi$
allgemeine Lösung der Schrödinger-Gleichung	$\Psi (x)=c_{1}e^{i{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(W-W_{pot})}}x}+c_{2}e^{-i{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(W-W_{pot})}}x}$

Lösung der Schrödinger-Gleichung für den Bereich I mit $W_{pot}>0$	$\Psi _{I}(x)=c_{1}e^{{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(-W+W_{pot})}}x}$
Lösung der Schrödinger-Gleichung für den Bereich II mit $W_{pot}=0$	$\Psi _{II}(x)=c_{2}e^{i{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(W-W_{pot})}}x}+c_{3}e^{-i{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(W-W_{pot})}}x}$
Lösung der Schrödinger-Gleichung für den Bereich III mit $W_{pot}>0$	$\Psi _{III}(x)=c_{4}e^{-{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(-W+W_{pot})}}x}$

Eigenwerte $W(n)$	$W(n)={\frac {n^{2}h^{2}}{8ml^{2}}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}$
Eigenfunktionen $\Psi _{n}(x)$	$\Psi _{n}(x)=-{\sqrt {\frac {2}{l}}}\sin \left({\frac {n\pi }{l}}x\right)$
Wahrscheinlichkeitsfunktion $\|\Psi _{n}(x)\|^{2}$	$\|\Psi _{n}(x)\|^{2}={\frac {2}{l}}\sin \left({\frac {n\pi }{l}}x\right)^{2}$

Coulomb-Kraft für das Wasserstoffatom ( $Q_{1}=Q_{2}=e$ )	$F_{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r^{2}}}$
Coulomb-Potential	$W_{pot}(r)=\int F_{C}\,dr=-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}$
Bahnradius des Elektron im $n$ -ten Zustand nach Bohr	$r={\frac {n^{2}h^{2}\varepsilon _{0}}{me^{2}\pi }}$
Eigenwerte $W(n)$	$W(n)=-{\frac {me^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}n^{2}}}$
Eigenfunktionen $\Psi _{n}(x)$	$\Psi _{n}(r)=e^{-{\frac {p(r)}{n}}}\cdot \sum _{k=0}^{n-1}a(k)p(r)^{k}$ mit: $p(r):={\frac {me^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}}r$ und einer Folge $a(k)$ derart: $a(k+1)={\frac {2\left({\frac {k}{n}}-1\right)}{k(k+1)}}a(k);\qquad a(0)={\frac {1}{\sqrt {\pi a_{0}^{3}}}}={\frac {1}{\sqrt {\pi \left({\frac {h^{2}\varepsilon _{0}}{me^{2}\pi }}\right)^{3}}}}$
Wahrscheinlichkeitsfunktion $\|\psi _{n}(r)\|^{2}$ (bezogen auf schalenförmige Volumenelemente $\Delta V=4\pi r^{2}\Delta r$ )	$\|\psi _{n}(r)\|^{2}=4\pi r^{2}\cdot \|\Psi _{n}(r)\|^{2}$