Die Sprache der Mathematik: Prädikatenlogik

Worüber reden?Bearbeiten

Die Aussagenlogik allein reicht noch nicht aus, um Mathematik zu betreiben. Man kann mit ihr zwar Aussagen verknüpfen, aber nicht weiter präzisieren, um welche Aussagen es sich dabei handelt.

Elementare Aussagen, die sich nicht mehr in kürzere Aussagen zerlegen lassen, atomare Formeln, setzen Objekte miteinander in Beziehung oder weisen ihnen Eigenschaften zu. Um dies zu formalisieren, umfasst eine prädikatenlogische Sprache Relationen und Terme. Ein Term steht für irgendein Objekt und eine Relation für eine Eigenschaft, die bestimmte Objekte haben oder nicht, das heißt, eine Relation weist Objekten Wahrheitswerte zu.

Beispiel: Steht etwa die zweistellige Relation   für "  kann   essen.", der Term   für "Vogel",   für "Kirsche" und   für "Mensch", so sind die folgenden Aussagen richtig:

  •   – „Der Mensch isst Vögel und der Vogel isst Kirschen.“
  •   – „Der Mensch isst Kirschen und die Kirsche isst keine Menschen.“
  •   – „Der Vogel isst Kirschen oder der Vogel isst Menschen oder der Vogel isst Vögel.“

In diesem Beispiel sind die Terme einfach Konstanten: Das   etwa bezeichnet in der ganzen Sprache immer das gleiche Objekt, den Vogel. Was aber, wenn man etwa die Aussage "Der Mensch kann alles essen." formulieren will? Oder: "Es gibt etwas, was der Vogel essen kann."? Dazu brauchen wir weitere Sprachelemente:

Variablen und QuantorenBearbeiten

Eine Variable ist ein Symbol, das für unterschiedliche Objekte stehen kann. Zu einer prädikatenlogischen Formelsprache gehören unendlich viele Variablen, etwa  , oder  . Nun sagt aber eine Formel, in der eine nicht näher spezifizierte Variable vorkommt, nichts mehr aus und ihr Wahrheitswert wird davon abhängen, für welches Objekt sie nun steht: Eine Formel mit solch einer freien Variablen ist keine Aussage mehr.

Die Quantoren   - "für alle" - und   - "es existiert ein" - legen fest, wofür eine Variable stehen soll. Ist   eine Formel, in der etwa die Variable   frei vorkommt, so sagt   aus, dass   für alle   zutrifft,   also immer wahr ist, egal für welches Objekt   steht, und   sagt aus, dass   für mindestens ein   zutrifft, es also mindestens ein Objekt gibt, mit dem die Formel   wahr wird, wenn man es für   einsetzt.

Beispiel: Sind der Vogel, der Mensch und die Kirsche die einzigen Objekte, über die unsere Sprache spricht, so sind die folgenden Aussagen wahr:

  •   – „Der Mensch kann alles essen.“
  •   – „Es gibt etwas, das Vögel essen.“
  •   – „Es gibt nichts, was sich selbst und Menschen isst.“

In der letzten Formel wurden Klammern verwendet, da konventionsgemäß die Quantoren stärker binden als die Junktoren.

FunktionenBearbeiten

Da man nicht für alle Objekte, über die man sprechen möchte, eine eigene Konstante einführen will, verwendet man Funktionen und lässt auch für die einzelnen Terme noch komplexere Ausdrücke zu. Eine Funktion ordnet einem oder mehreren Objekten ein weiteres zu. Sind etwa   Terme (die wiederum Funktionen enthalten können) und ist   eine dreistellige Funktion, so ist auch   wieder ein Term (der für das Objekt steht, das die Funktion f den Objekten zuweist, für die die drei Terme stehen).

Beispiel: Wenn die Objekte, über die unsere Sprache sprechen soll, beispielsweise die natürlichen Zahlen sind, so könnten wir etwa die folgenden Symbole einführen:

  • die Konstanten 0 und 1 für die Null und die Eins
  • die Relation   für "  ist kleiner als  "
  • die Relation   für "  ist gleich  "
  • die Funktionen + und * für die Addition und die Multiplikation, also für die Funktion, die je zwei Zahlen ihre Summe bzw. ihr Produkt zuordnet

(Häufig wird für zweistellige Funktionen und Relationen die Infix-Schreibweise verwendet; anstatt   schreiben wir  .) Diese Sprache ist nun bereits mächtig genug, um viele Aussagen über die natürlichen Zahlen zu formulieren:

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