Die Sprache der Mathematik: Aussagenlogik

Eine Grammatik für die Mathematik

In der Mathematik ist eine Vielfalt an möglichen Ausdrucksweisen und grammatischen Konstruktionen, wie sie die natürliche Sprache bietet, eher hinderlich als nützlich. Es stellt sich heraus, dass sich alle mathematischen Aussagen, alle Formeln, mittels sehr weniger, einfacher sprachlicher Strukturen ausdrücken lassen:

Aus Variablen, Konstanten und Funktionen setzt man Terme zusammen, aus Termen und Relationen atomare Formeln und atomare Formeln verknüpft man mit den Junktoren und Quantoren zu Formeln und Aussagen.

In der Aussagenlogik wollen wir uns zunächst nur mit den Junktoren beschäftigen. Wie die atomaren Formeln genau zu Stande kommen, interessiert uns noch nicht weiter. Man kann sich vorerst unter einer atomaren Formel ohne Weiteres eine Aussage wie "Die Sonne scheint." oder "Es regnet." vorstellen. Die Junktoren entsprechen den Worten "und", "oder", "wenn (...) dann", "genau dann (...) wenn" und "nicht", und erlauben es, mehrere Aussagen zu einer einzigen zu verbinden.

In der folgenden Tabelle werden die Junktoren einzeln vorgestellt. $A$ und $B$ stehen dabei für beliebige Aussagen:

Negation ("nicht")	$\neg A$	"$A$ trifft nicht zu."
Konjunktion ("und")	$A\wedge B$	"Sowohl $A$ als auch $B$ trifft zu."
Adjunktion ("oder")	$A\vee B$	"$A$ oder $B$ (oder beides) trifft zu."
Subjunktion ("wenn (...) dann")	$A\rightarrow B$	"Falls $A$ zutrifft, so trifft auch $B$ zu."
Bijunktion ("genau dann (...) wenn")	$A\leftrightarrow B$	"$A$ trifft genau dann zu, wenn $B$ zutrifft."

Kontradiktion: A ∧ ¬A

Tautologie: A ∨ ¬A

Implikation: Das ist eine tautologische Subjunktion. ⇒

Aequivalenz: Das ist eine tautologische Bijunktion. ⇔

Zusatz: Die Implikation und Aequivalenz sind keine Junktoren, sondern metalogische Aussagen. Die Zeichen ⇒ und ⇔ sind keine Zeichen für Junktoren, sondern metalogische Zeichen für Aussagen.

Steht $A$ für "Die Sonne scheint." und $B$ für "Es regnet.", dann sind die Formeln $A\rightarrow \neg B$ beispielsweise als "Falls die Sonne scheint, regnet es nicht." zu lesen, und $A\wedge B$ als: "Die Sonne scheint und es regnet." zu verstehen.

Um Klammern zu sparen, vereinbaren wir, dass die in obiger Tabelle eher genannten Junktoren stärker binden und dass im Zweifelsfall rechts geklammert wird. $A\wedge B\vee C$ heiße also $(A\wedge B)\vee C$ und nicht $A\wedge (B\vee C)$; und $A\rightarrow B\rightarrow C$ bedeutet $A\rightarrow (B\rightarrow C)$ und nicht $(A\rightarrow B)\rightarrow C$.

Wahrheit

Nach Aristoteles ist eine Aussage ein Satz, dessen Inhalt wir überprüfen können. Wie das geschieht ist belanglos. Wichtig ist: Die Aussage hat einen Wahrheitswert. Mehrere Aussagen können mit Junktoren zu einer einzigen Aussage verknüpft werden. Mit Wahrheitstabellen können wir den Wahrheitswert dieser einzigen Aussage herausfinden.

Wir können zu einer gegebenen Belegung auch für jede zusammengesetzte Formel einen Wahrheitswert angeben: Die Aussage "Die Sonne scheint und es regnet." ist ja genau dann wahr, wenn sowohl die Aussage "Die Sonne scheint." als auch die Aussage "Es regnet." zutrifft - das ist die Bedeutung des Wortes "und", und es soll auch die Bedeutung des $\wedge$-Junktors sein: Die Aussage $A\wedge B$ ist nur dann wahr, wenn sowohl $A$ als auch $B$ wahr sind, ansonsten ist sie falsch.

So kann man zu jedem Junktor (und allgemein zu jeder aussagenlogischen Formel) eine Wahrheitswerttabelle erstellen:

$A$	$B$	$A\wedge B$	$A\vee B$	$A\rightarrow B$	$A\leftrightarrow B$	$\neg A$
0	0	0	0	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	0	0
1	1	1	1	1	1	0

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