Beschreibung

Beschreibung01 Dreiteilung des Winkels-180°-2.svg	Deutsch: Dreiteilung des Winkels mit Kurzbeschreibung, Näherungskonstruktion für Winkel zwischen 0° und 180°. Ein paar Konstruktionselemente stammen aus Alberts' Konstruktion. English: Trisection of an angle with brief description, proximity construction for angles between 0° and 180°. A few construction elements come from Alberts' construction.
Datum	7. März 2020
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
Andere Versionen
SVG‑Erstellung InfoField	Der SVG-Code ist valide.   Dieses Diagramm wurde von Petrus3743 mit GeoGebra erstellt.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Anmerkungen

Mit der stark vereinfachten Konstruktion wird folgendes erreicht:

• Ein großer Teil der Konstruktion liegt in der unteren Hälfte des Kreises ${\displaystyle k_{1}.}$
• Eine praktikable Dreiteilung des Winkels ab nahe ${\displaystyle 0^{\circ }}$ bis ${\displaystyle 180^{\circ }.}$ Siehe hierzu in GeoGebra

Konstruktion

1. Kreis ${\displaystyle k_{1}}$ mit beliebigem Durchmesser ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ um Mittelpunkt ${\displaystyle O.}$
2. Winkelschenkel ${\displaystyle {\overline {OA}}}$ und Winkelschenkel ${\displaystyle {\overline {OC}}}$ schließen den Winkel ${\displaystyle \alpha }$ im Scheitel ${\displaystyle O}$ ein, ${\displaystyle {\overline {OB}}}$ und ${\displaystyle {\overline {OC}}}$ den Ergänzungswinkel ${\displaystyle \gamma .}$
3. Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ um ${\displaystyle O}$ mit Radius ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\overline {OA}}}$; die Verlängerung des Winkelschenkels ${\displaystyle {\overline {CO}}}$ schneidet Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ in ${\displaystyle D.}$
4. Durchmesser ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ mit ${\displaystyle \angle {EOA=45^{\circ }}}$ und Verbindung des Punktes ${\displaystyle D}$ mit ${\displaystyle E.}$
5. Punkt ${\displaystyle G}$ auf Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ so, dass ${\displaystyle |EG|={\overline {EO}}.}$
6. Strecke ${\displaystyle {\overline {OF}}}$ in ${\displaystyle H}$ halbieren, die anschließende Mittelsenkrechte von ${\displaystyle |GH|}$ schneidet ${\displaystyle {\overline {OE}}}$ in ${\displaystyle I,}$ ergibt ${\displaystyle |IG|={\overline {IH}}.}$
7. Parallele zu ${\displaystyle {\overline {ED}}}$ ab ${\displaystyle I}$ erreicht Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ in ${\displaystyle J.}$
8. Parallele zu ${\displaystyle {\overline {IJ}}}$ ab ${\displaystyle D,}$ Punkt ${\displaystyle K}$ darauf so, dass ${\displaystyle {\overline {JK}}={\overline {JE}}.}$
9. Linie ab ${\displaystyle J}$ durch ${\displaystyle K}$ erreicht Kreis ${\displaystyle k_{1}}$ in ${\displaystyle L,}$ anschließend Linie ab ${\displaystyle L}$ bis ${\displaystyle O.}$
10. Parallele zu ${\displaystyle {\overline {LO}}}$ ab ${\displaystyle D}$ erreicht Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ in ${\displaystyle M.}$
11. Strecke ${\displaystyle {\overline {KE}}}$ über ${\displaystyle E}$ hinaus verlängern, Punkt ${\displaystyle N}$ darauf so, dass ${\displaystyle {\overline {MN}}={\overline {MD}}.}$
12. Linie ab ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle N}$ erreicht Kreis ${\displaystyle k_{1}}$ in ${\displaystyle P.}$
13. Bestimme Punkt ${\displaystyle Q}$ so, dass Winkel ${\displaystyle POQ=30^{\circ },}$ Verbindung ${\displaystyle Q}$ mit ${\displaystyle O}$ ergibt den Winkel ${\displaystyle AOQ=\beta .}$
14. Mittelsenkrechte von ${\displaystyle |CQ|}$ schneidet ${\displaystyle k_{1}}$ in ${\displaystyle R,}$ verbinde ${\displaystyle R}$ mit ${\displaystyle O.}$
15. Bestimme Punkt ${\displaystyle S}$ so, dass Winkel ${\displaystyle QOS=120^{\circ }.}$
16. Abschließende Verbindung ${\displaystyle S}$ mit ${\displaystyle O}$ ergibt Winkel ${\displaystyle SOB=\delta .}$

• Der Winkel ${\displaystyle AOQ=\beta }$ ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels ${\displaystyle AOC=\alpha .}$
• Der Winkel ${\displaystyle SOB=\delta }$ ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels ${\displaystyle COB=\gamma .}$

Fehlerbetrachtung

Eine Fehleranalyse, ähnlich Alberts' Konstruktion, ist nicht vorhanden.

Die dargestellte Konstruktion wurde mit der Dynamische-Geometrie-Software (DGS) GeoGebra angefertigt; darin werden in diesem Fall die Winkelgrade meist mit signifikanten dreizehn Nachkommastellen angezeigt. Die sehr kleinen Fehler des Winkels ${\displaystyle \beta }$ bzw. ${\displaystyle \delta }$, sprich, die Differenzwerte aus ${\displaystyle {\frac {\alpha }{3}}-\beta }$ bzw. ${\displaystyle {\frac {\gamma }{3}}-\delta ,}$ werden von GeoGebra stets mit ${\displaystyle 0^{\circ }}$ angezeigt.

Betrachtet man die Grafik in GeoGebra, in sehr kleinen Schritten, die zu- oder abnehmenden Winkelweiten des Winkels ${\displaystyle \beta }$ bzw. ${\displaystyle \delta }$ mithilfe des Schiebereglers oder der Animation, ist vereinzelt eine max. Abweichung ${\displaystyle 1\cdot 10^{-13}\mathrm {^{\circ }} }$ vom SOLL-Wert ${\displaystyle {\frac {\alpha }{3}}}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {\gamma }{3}}}$ ablesbar.

Verdeutlichung des absoluten Fehlers

Der in GeoGebra ablesbare Differenzwert von max. ${\displaystyle 1\cdot 10^{-13}\mathrm {^{\circ }} }$ entspricht einem absoluten Fehler ${\displaystyle F}$ der – nicht eingezeichneten – Sehne ${\displaystyle |AQ|}$ bzw. ${\displaystyle |BS|,}$ der sich wie folgt ergibt:

${\displaystyle F=2\cdot \sin \left({\frac {1\cdot 10^{-13}\mathrm {^{\circ }} }{2}}\right)=0{,}000\;000\;000\;000\;001\;745\ldots =1{,}745\ldots \cdot 10^{-15}\;[\mathrm {LE} ]}$

Hätten die Winkelschenkel die Länge gleich 1 Milliarde km (das Licht bräuchte für diese Strecke ≈ 56 Minuten, das ist etwas weniger als 7-mal die Entfernung Erde – Sonne), wäre der absolute Fehler der beiden – nicht eingezeichneten – Sehnen ${\displaystyle |AQ|}$ bzw. ${\displaystyle |BS|}$ ≈ 1,7 mm.

Fehlerüberprüfung eines frei gewählten Winkels > 0° ... 180°

• Siehe GeoGebra

Remarks

With the greatly simplified construction, the following is achieved:

• Much of the construction is in the lower half of the circle ${\displaystyle k_{1}.}$
• A practical trisection of the angle from close ${\displaystyle 0^{\circ }}$ to ${\displaystyle 180^{\circ }.}$ See also in GeoGebra

Construction

1. Circle ${\displaystyle k_{1}}$ with any diameter ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ around center ${\displaystyle O.}$
2. Angle leg ${\displaystyle {\overline {OA}}}$ and angle leg ${\displaystyle {\overline {OC}}}$ enclose the angle ${\displaystyle \alpha }$ in apex ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle {\overline {OB}}}$ and ${\displaystyle {\overline {OC}}}$ the supplementary angle ${\displaystyle \gamma .}$
3. Circle ${\displaystyle k_{2}}$ around ${\displaystyle O}$ with radius ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\overline {OA}}.}$ the extension of the angle leg ${\displaystyle {\overline {CO}}}$ intersects circle ${\displaystyle k_{2}}$ in ${\displaystyle D.}$
4. Diameter ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ with ${\displaystyle \angle {EOA=45^{\circ }}}$ and connection of point ${\displaystyle D}$ with ${\displaystyle E.}$
5. Point ${\displaystyle G}$ on circle ${\displaystyle k_{2}}$ so that ${\displaystyle |EG|={\overline {EO}}.}$
6. Line segment ${\displaystyle {\overline {OF}}}$ in ${\displaystyle H}$ halved, the perpendicular bisector of ${\displaystyle |GH|}$ cuts ${\displaystyle {\overline {OE}}}$ in ${\displaystyle I,}$ results ${\displaystyle |IG|={\overline {IH}}.}$
7. Parallel to ${\displaystyle {\overline {ED}}}$ from ${\displaystyle I}$ reaches circle ${\displaystyle k_{2}}$ in ${\displaystyle J.}$
8. Parallel to ${\displaystyle {\overline {IJ}}}$ from ${\displaystyle D,}$ point ${\displaystyle K}$ on it such that ${\displaystyle {\overline {JK}}={\overline {JE}}.}$
9. Line from ${\displaystyle J}$ through ${\displaystyle K}$ reaches circle ${\displaystyle k_{1}}$ in ${\displaystyle L,}$ then line from ${\displaystyle L}$ to ${\displaystyle O.}$
10. Parallel to ${\displaystyle {\overline {LO}}}$ from ${\displaystyle D}$ reaches circle ${\displaystyle k_{2}}$ in ${\displaystyle M.}$
11. Line segment ${\displaystyle {\overline {KE}}}$ extended beyond ${\displaystyle E}$, point ${\displaystyle N}$ on it that ${\displaystyle {\overline {MN}}={\overline {MD}}.}$
12. Line from ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle N}$ reaches circle ${\displaystyle k_{1}}$ in ${\displaystyle P.}$
13. Determine point ${\displaystyle Q}$ so that angle ${\displaystyle POQ=30^{\circ },}$ connection ${\displaystyle Q}$ with ${\displaystyle O}$ gives the angle ${\displaystyle AOQ=\beta .}$
14. Perpendicular bisector of ${\displaystyle |CQ|}$ cuts ${\displaystyle k_{1}}$ in ${\displaystyle R,}$ connect ${\displaystyle R}$ with ${\displaystyle O.}$
15. Determine point ${\displaystyle S}$ so that angle ${\displaystyle QOS=120^{\circ }.}$
16. Final connection ${\displaystyle S}$ with ${\displaystyle O}$ gives angle ${\displaystyle SOB=\delta .}$

• The angle ${\displaystyle AOQ=\beta }$ is almost equal to one third of the angle ${\displaystyle AOC=\alpha .}$
• The angle ${\displaystyle SOB=\delta }$ is almost equal to a third of the angle ${\displaystyle COB=\gamma .}$

Error viewing

An error analysis, similar to Alberts' construction, is not available.

The construction shown was made with the dynamic geometry software (DGS) GeoGebra; in this case the degrees are usually displayed with significant thirteen decimal places. The very small errors of the angle ${\displaystyle \beta }$ beta or ${\displaystyle \delta }$, that is, the difference values from ${\displaystyle {\frac {\alpha }{3}}-\beta }$ or ${\displaystyle {\frac {\gamma }{3}}-\delta ,}$ are always displayed by GeoGebra with ${\displaystyle 0^{\circ }.}$

If you look at the graphic in GeoGebra, in very small steps, the increasing or decreasing angular widths of the angle ${\displaystyle \beta }$ or ${\displaystyle \delta }$ using the slider or animation, there is occasionally one max. deviation ${\displaystyle 1\cdot 10^{-13}\mathrm {^{\circ }} }$ of the rated value ${\displaystyle {\frac {\alpha }{3}}}$ or ${\displaystyle {\frac {\gamma }{3}}}$ readable.

Clarification of the absolute error

The difference value shown in GeoGebra of max. ${\displaystyle 1\cdot 10^{-13}\mathrm {^{\circ }} }$ corresponds to an absolute error ${\displaystyle F}$ of the  – not shown – chord ${\displaystyle |AQ|}$ or ${\displaystyle |BS|,}$ which results as follows:

${\displaystyle F=2\cdot \sin \left({\frac {1\cdot 10^{-13}\mathrm {^{\circ }} }{2}}\right)=0.000\;000\;000\;000\;001\;745\ldots =1.745\ldots \cdot 10^{-15}\;[\mathrm {unit\;of\;length} ]}$

If the angled legs had a length of 1 Billion km (the light would need ≈ 56 minutes for this distance, that's a little less than 7 times the distance earth - sun.), the absolute error of the twoden – not shown – cords would be ${\displaystyle |AQ|}$ or ${\displaystyle |BS|}$ ≈ 1.7 mm.

Trisection an angle > 0° ... 180°, for checking the error

• See GeoGebra

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https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue

Die Methode basiert in einigen Konstruktionselementen auf Alberts' Konstruktion.