Collatzfolgen und Schachbrett: Zweiter Schritt
| Collatz-Folgenzahlen und Januszahlen (Zweiter Schritt) |
5.21 Januszahlen Bearbeiten
a) Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von Janus-Zahlen darstellen. Diese Darstellung ist nicht eindeutig, da die Janus-Zahlen kein Zahlensystem im üblichen Sinne darstellen – wie z.B. das Zehner-, Zweier- oder Dreier-System –, sondern nur eine besondere Summen-Schreibweise.
Man sieht dabei schon, dass es nicht ganz einfach ist, zu entscheiden, ob solch eine Summe von Janus-Zahlen gerade oder ungerade ist.
Dies liegt an den Dreier-Potenzen, die – wie noch zu zeigen ist – für das chaotische Verhalten der Collatz-Folgen verantwortlich sind.
Diese Schwierigkeiten werden durch das Regelwerk des „Collatz-Spiels“ umgangen werden.
b) Da die Janus-Zahlen durch die Exponenten der Zweier- und Dreier-Potenzen eindeutig beschrieben werden, kann man eine eindeutige Abbildung der Janus-Zahlen auf ein Schachbrettmuster in der Ebene vornehmen, in dem man jeder Kombination (d│z) der Exponenten das Feld mit der entsprechenden Koordinatenkombination und Wert zuordnet. Der Wert der Zweierpotenzen steht dabei links außen, der der Dreierpotenzen unter dem Feld. Die Werte in den Feldern sind die Produkte der entsprechenden Zweier- und Dreierpotenzen.
| Kleines Beispiel
| |||||||||
| 16 - 4 | 16 | 48 | 144 | 432 | 1296 | ||||
| 8 - 3 | 8 | 24 | 72 | 216 | 648 | ||||
| 4 - 2 | 4 | 12 | 36 | 108 | 324 | ||||
| 2 - 1 | 2 | 6 | 18 | 54 | 162 | ||||
| 1 - 0 | 1 | 3 | 9 | 27 | 81 | ||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |||||
| 1 | 3 | 9 | 27 | 81 | |||||
Die Tabelle in dem obigen Schema heißt Collatz-Schema und soll das „Schachbrett“ bzw. „Collatz-Brett“ widerspiegeln. Im Gegensatz zu einem normalen Schachbrett gibt es beim Collatz-Brett natürlich nicht die Beschränkung auf eine Seitenlänge von 8 oder 5 Feldern.
Das rote Feld (links unten, (0|0)) entspricht der 1, der gelbe Bereich (alle Felder senkrecht darüber) ist der Bereich der Zweier-Potenzen und der blaue Bereich der für die Dreier-Potenzen. Jede Zahl im roten bzw. blauen Bereich ist ungerade, im gelben und weißen Bereich ist gerade. Da bei der Summenbildung unter Umständen mehrere Zahlen aus der untersten Reihe benötigt werden, führt das zu der unangenehmen Situation, dass diese Summen gerade oder ungerade sein können. Um das zu vermeiden, soll im Folgenden unter Janus-Zahl immer eine echte Janus-Zahl verstanden werden, also eine gerade Zahl aus dem gelben oder weißen Bereich. Dann wird eine ungerade Zahl immer daran erkannt, dass die 1 aus dem roten Bereich in der Summe vorhanden ist, aber keine Zahl aus dem blauen Bereich.
5.22 Collatz-Schema mit Zahlwerten Bearbeiten
Im Folgenden werden die Werte der einzelnen Felder angegeben. Der Zahlenwert eines Feldes ist das Produkt der zu den beiden Randzahlen gehörenden Potenzen.
z 15 | 32.768 | 98.304 | 294.912 | 884.736 | 2.654.208 | 7.962.624 14 | 16.384 | 49.152 | 147.456 | 442.368 | 1.327.104 | 3.981.312 13 | 8.192 | 24.576 | 73.728 | 221.184 | 663.552 | 1.990.656 12 | 4.096 | 12.288 | 36.864 | 110.592 | 331.776 | 995.328 11 | 2.048 | 6.144 | 18.432 | 55.296 | 165.888 | 497.664 10 | 1.024 | 3.072 | 9.216 | 27.648 | 82.944 | 248.832 9 | 512 | 1.536 | 4.608 | 13.824 | 41.472 | 124.416 8 | 256 | 768 | 2.304 | 6.912 | 20.736 | 62.208 7 | 128 | 384 | 1.152 | 3.456 | 10.368 | 31.104 6 | 64 | 192 | 576 | 1.728 | 5.184 | 15.552 5 | 32 | 96 | 288 | 864 | 2.592 | 7.776 4 | 16 | 48 | 144 | 432 | 1.296 | 3.888 3 | 8 | 24 | 72 | 216 | 648 | 1.944 2 | 4 | 12 | 36 | 108 | 324 | 972 1 | 2 | 6 | 18 | 54 | 162 | 486 0 | 1 | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 --------------------------------------------------------------- d | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |