5.3 Vorüberlegungen zum Spiel (Dritter Schritt)
Wie wirken sich nun der M-Schritt und der D-Schritt auf eine solche als Summe von Janus-Zahlen dargestellte ungerade Collatz-Zahl
c
0
{\displaystyle c_{0}}
c
0
=
∑
i
j
i
+
1
=
∑
i
3
d
i
⋅
2
z
i
+
1
,
{\displaystyle c_{0}=\sum _{i}{j_{i}}+1=\sum _{i}{3^{d_{i}}\cdot 2^{z_{i}}}+1,}
wobei i, n natürliche Zahlen sind und j eine echte Janus-Zahl ist.
M-Schritt (beginnend mit
c
0
{\displaystyle c_{0}}
c
1
=
3
⋅
c
0
+
1
=
3
⋅
(
∑
i
j
i
+
1
)
+
1
=
3
⋅
(
∑
i
3
d
i
⋅
2
z
i
+
1
)
+
1
=
(
∑
i
3
⋅
3
d
i
⋅
2
z
i
+
3
⋅
1
)
+
1
=
(
∑
i
3
d
i
+
1
⋅
2
z
i
+
3
)
+
1
=
∑
i
3
d
i
+
1
⋅
2
z
i
+
4
{\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=3\cdot c_{0}+1=3\cdot (\sum _{i}j_{i}+1)+1\\&=3\cdot (\sum _{i}{3^{d_{i}}\cdot 2^{z_{i}}}+1)+1\\&=(\sum _{i}{3\cdot 3^{d_{i}}\cdot 2^{z_{i}}}+3\cdot 1)+1\\&=(\sum _{i}{3^{d_{i}+1}\cdot 2^{z_{i}}}+3)+1=\sum _{i}{3^{d_{i}+1}\cdot 2^{z_{i}}}+4\end{aligned}}}
D-Schritt (beginnend mit
c
1
{\displaystyle c_{1}}
c
2
=
∑
i
3
d
i
+
1
⋅
2
z
i
+
4
2
=
∑
i
3
d
i
+
1
⋅
2
z
i
2
+
2
=
∑
i
3
d
i
+
1
⋅
2
z
i
−
1
+
2
{\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}&={\frac {\sum _{i}{3^{d_{i}+1}\cdot 2^{z_{i}}}+4}{2}}\\&={\frac {\sum _{i}{3^{d_{i}+1}\cdot 2^{z_{i}}}}{2}}+2\\&=\sum _{i}{3^{d_{i}+1}\cdot 2^{z_{i}-1}}+2\end{aligned}}}
