Benutzer:Siliurp/Aufgabensammlung Physik: analytisch Mechanik

Aufgaben aus dem Bereich analytische Mechanik, bevor sie hierhin wandern.

Zwangsbedingungen

Einige Beispiele für Zwangsbedingungen zum warm werden.

Teilchen auf Kugelschale

1. Ein Teilchen kann sich nur auf einer Kugelschale bewegen. Formuliere die Zwangsbedingung hierzu mathematisch in kartesischen Koordinaten.
2. Das Teilchen kann sich nun auch innerhalb der Kugel bewegen, jedoch niemals darüber hinaus. Wie lautet die zugehörige Zwangsbedingung?

Lösungshinweise

Überlege Dir, welchen Bewegungsabstand das Teilchen auf der Kugelschale zum Zentrum der Kugel hat.

Lösung der Aufgabe 1

Das Teilchen kann sich nur in der Entfernung $R$ vom Mittelpunkt der Kugel bewegen. Die Zwangsbedingung lautet also:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ oder $x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}=0$

Hierbei handelt es sich um eine holonome Zwangsbedingung.

Lösung der Aufgabe 2

Das Teilchen kann sich nur in einer Entfernung, die kleiner als der Radius $R$ der Kugel ist, bewegen. Die Zwangsbedingung lautet also:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}$ oder $x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}\leq 0$

Hierbei handelt es sich um eine nicht-holonome Zwangsbedingung.

Teilchen auf schiefer Ebene

Ein Teilchen ist an eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel $\alpha$ gebunden. Formuliere die Zwangsbedingung in zwei Dimensionen.

Lösung der Aufgabe 1

Die Zwangsbedingung lautet:

$0={\frac {x}{y}}-tan(\alpha )$

Es handelt sich um eine holonome Zwangsbedingung.