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Halbwinkelformel
Aus Additionstheoreme (Kosinus)
Formel (15.2):
cos
2
α
=
1
−
2
sin
2
α
{\displaystyle \cos {2\alpha }=1-2{\sin }^{2}{\alpha }}
wenn:
α
=
φ
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {\varphi }{2}}}
(14)
cos
φ
=
1
−
2
sin
2
φ
2
{\displaystyle \cos {\varphi }=1-2{\sin }^{2}{\frac {\varphi }{2}}}
aufgelöst nach:
sin
2
φ
2
{\displaystyle {\sin }^{2}{\frac {\varphi }{2}}}
(15.1)
{
s
i
n
2
φ
2
=
1
−
cos
φ
2
{\displaystyle \{sin}^{2}{\frac {\varphi }{2}}={\frac {1-\cos {\varphi }}{2}}
oder
(15.2)
sin
φ
2
=
1
−
cos
φ
2
{\displaystyle \sin {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \varphi }{2}}}}
Halbwinkelformel
Aus Formel (14.2):
cos
2
α
=
2
cos
2
α
−
1
{\displaystyle \cos 2\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1}
wenn:
α
=
φ
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {\varphi }{2}}}
(16)
cos
φ
=
2
cos
2
φ
2
−
1
{\displaystyle \cos {\varphi }=2\cos ^{2}{\frac {\varphi }{2}}-1}
aufgelöst nach:
cos
2
φ
2
{\displaystyle {\cos }^{2}{\frac {\varphi }{2}}}
(17.1)
cos
2
φ
2
=
1
+
cos
φ
2
{\displaystyle {\cos }^{2}{\frac {\varphi }{2}}={\frac {1+\cos \varphi }{2}}}
oder
(17.1)
cos
φ
2
=
1
+
cos
φ
2
{\displaystyle \cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \varphi }{2}}}}
Ein Trapez ist dann ein Tangentenviereck wenn:
1.
A
E
+
C
F
=
A
F
+
C
E
{\displaystyle AE+CF=AF+CE}
2.
B
E
+
B
F
=
D
E
+
D
F
{\displaystyle BE+BF=DE+DF}
Beweis am rechten Tangentenviereck. Für das linke Tangentenviereck man die spiegelbildlichen Bezeichnungen einzusetzen.
(1.1)
A
E
=
e
+
f
+
s
{\displaystyle AE=e+f+s}
(1.2)
C
F
=
v
{\displaystyle CF=v}
(1.3)
A
F
=
e
+
h
+
u
{\displaystyle AF=e+h+u}
(1.4)
C
E
=
t
{\displaystyle CE=t}
A
E
+
C
F
=
A
F
+
C
E
{\displaystyle AE+CF=AF+CE}
(2.1)
e
+
f
+
s
+
v
=
e
+
h
+
u
+
t
{\displaystyle e+f+s+v=e+h+u+t}
(2.2)
f
+
s
+
v
=
h
+
u
+
t
{\displaystyle f+s+v=h+u+t}
(3.1)
f
+
s
=
t
+
g
{\displaystyle f+s=t+g}
(3.2)
h
+
u
=
v
+
g
{\displaystyle h+u=v+g}
Kreistangente
(3.1) bis (3.2) in (2.2) eingesetzt
(2.3)
t
+
g
+
v
=
v
+
t
+
g
{\displaystyle t+g+v=v+t+g}
also ist
A
E
+
C
F
=
A
F
+
C
E
{\displaystyle AE+CF=AF+CE}
(1.1)
B
E
=
s
{\displaystyle BE=s}
(1.2)
B
F
=
f
+
g
+
v
{\displaystyle BF=f+g+v}
(1.3)
D
E
=
h
+
g
+
t
{\displaystyle DE=h+g+t}
(1.4)
D
F
=
u
{\displaystyle DF=u}
B
E
+
B
F
=
D
E
+
D
F
{\displaystyle BE+BF=DE+DF}
(2.1)
s
+
f
+
g
+
v
=
h
+
g
+
t
+
u
{\displaystyle s+f+g+v=h+g+t+u}
(2.2)
s
+
f
+
v
=
h
+
t
+
u
{\displaystyle s+f+v=h+t+u}
(3.1)
f
+
s
=
t
+
g
{\displaystyle f+s=t+g}
(3.2)
h
+
u
=
v
+
g
{\displaystyle h+u=v+g}
Kreistangente
(3.1) bis (3.2) in (2.2) eingesetzt
(2.3)
t
+
g
+
v
=
v
+
g
+
t
{\displaystyle t+g+v=v+g+t}
also ist
B
E
+
B
F
=
D
E
+
D
F
{\displaystyle BE+BF=DE+DF}
