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Beispiel: Wachstumsentwicklung einer Population von Getreidekapuzinern

Wir wollen uns der Interpolationsproblematik mit einem Beispiel aus der Biologie nähern.

Getreidekapuziner

Viele Insekten können in kleinen Gefäßen gezüchtet werden, so beispielsweise auch Getreidekapuziner. Unter optimalen Bedingungen dauert der Entwicklungszyklus dieses Schädlings aus der Familie der Bohrkäfer ca. 25 Tage. In einem Futterkasten werden den Käfern durch ständige Reinigung und ausreichend Nachschub an Getreidekörnern nahezu konstante Umweltbedingungen geboten.

Ausgehend von einem Pärchen zählt man nun in Abständen von ungefähr zwei Wochen jeweils die vorhandenen ausgewachsenen Käfer. Dabei kommt ein Datenmaterial zustande, dass in etwa wie folgt aussieht:

Tage:	0	14	28	35	42	49	63	77	91	105	119	133	161	175	189	203	231	245	259
Anzahl der Käfer:	2	2	2	3	17	65	119	130	175	205	261	302	315	333	350	332	333	335	330

In der folgenden Grafik sind diese Daten im Koordinatensystem dargestellt:

Datei:Getreidekapuziner raw.svg

Die Aufgabe des Mathematikers besteht nun darin, ein passendes mathematisches Modell zu finden, dass diese Daten beschreibt. Gegeben sind also Zeitpunkte

$t_{i},\quad i=0,...,19$

und jeweils dazugehörige Käferzahlen

$K_{i},\quad i=0,...,19$

Ein mögliches mathematisches Modell kann nun beispielsweise eine mathematische Funktion sein, deren Graph genau durch die gemessenen Punkte geht. Relativ einfache Funktionen, mit denen das klappen könnte, sind Polynome. Gesucht ist also ein Polynom $p(t)$ mit

$p\left(t_{i}\right)=K_{i},\quad i=0,...,19$