Benutzer:Christian-bauer/ Spielwiese

Wikibook Mathematik (Entwurf)

Buchstruktur

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• Einführungskurs: Mengen, Relationen und Abbildungen
  • Schreibweisen
  • A1. Aussagenlogik
    • Definitionen
      • Überschrift fehlt noch
        • Aussage
  • M1. Mengen
    • Mengendefinitionen
      • Klasse
      • Menge
    • Induktion
      • Induktive Mengen
      • Induktive Beweise
  • MO1. Mengenoperationen

Schreibweisen

Symbole

Zeichen	Bedeutung	Beispiel
:=	ist definiert als	$G2:=\{x\in \mathbb {N} \vert x>2\}$	G2 sei definiert als die Menge aller natürlichen Zahlen die größer als 2 sind
$\forall$	für alle	$\forall x\in G2:x>2$	Für alle x aus G2 gilt: x > 2
$\exists$	existiert ein	$\exists x\in G2:x<10$	Es existiert ein x in G2 mit der Eigenschaft x < 10
$\Leftrightarrow$	genau dann wenn	$x>2\Longleftrightarrow x+1>3$	x ist größer 2 genau dann wenn x + 1 > 3
$:\Leftrightarrow$	definitionsgemäß genau dann wenn	$A=B:\Leftrightarrow \forall x\left(x\in A\,\Leftrightarrow x\in B\right)$	Zwei Mengen A und B sind als gleich definiert, wenn jedes Element der einen Menge auch in der anderen vorkommt.
$\Rightarrow$	daraus folgt	$x>2\Rightarrow x>1$	Aus x>2 folgt, dass x>1 ist
$\in$	Element von	$x\in M$	x ist Element der Menge M

Schreibweise von Definitionen und deren Verwendungen

Beispieldefinition:

Menge := geeignete Zusammenfassung von Objekten.

Verwendungsbeispiel:

$M\in Menge$ : M ist eine Menge.

Beispieldefinition 2:

Magma(M,f) $:\Leftrightarrow$ Menge(M) $\land$ zweistellige_innere_Verknüpfung(f)

In Worten: Ein Magma ist eine Menge M zusammen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung.

Verwendungsbeispiel:

$X\in Magma$ : X ist ein Magma.

$X\in Magma(M,f)$ : X ist ein Magma mit einer passenden Menge M und Verknüpfung f.

Aussagen

$X\in Aussage(*)$ bedeutet: X ist eine (logisch korrekt gebildete ) Aussage mit einer Variablen.

Beispiel: X(5) bedeutet dann: die Aussage X trifft auf die Zahl 5 zu.

A1. Aussagenlogik

Definitionen

Überschrift fehlt noch

Aussage

Siehe Wikipedia 'Aussage (Logik)'

CB.A1.1 Begriffliche Definition: Aussage := sprachlicher/schriftlicher Ausdruck der sinnvoll/entscheidbar wahr oder falsch sein kann.

Aussage(*) := Aussage mit einer Variablen

Aussage(*,*) := Aussage mit zwei Variablen

...

M1. Mengen

Mengendefinitionen

Menge

Klasse

Siehe Wikipedia 'Klasse (Mengenlehre)'

CB.K1.1 Begriffliche Definition: Klasse(A) := $\{x\mid A(x)\}mitA\in Aussage(*)$

In Worten: Eine Klasse (für eine Aussage A mit einer Variablen) sind alle Objekte x, die die Aussage erfüllen.

Menge

Siehe w:Menge_(Mathematik)

CB.M1.1 Begriffliche Definition: Menge := geeignete Zusammenfassung von Objekten (Nicht alle Zusammenfassungen sind als Mengen geeignet.)

CB.M1.2 Satz: $M\in Menge\Rightarrow M\in Klasse$

In Worten: Jede Menge ist eine Klasse.

Induktion

Induktive Mengen

CB.M1.2 Begriffliche Definition: Induktive Mengen Gegeben sei

1. eine Basismenge B (mit Basiselementen)
2. Induktionsregeln die angegeben wie aus bestehenden Elementen neue gewinnen kann.

Die daraus induktiv definierte Menge ist die kleinste Menge, die B enthält und abgeschlossen bezüglich der Induktionsregeln ist (die alle mit den Induktionsregeln erzeugbaren Elemente enthält) .

CB.M1.3 Beweismethode: Induktiver Beweis/Strukturelle Induktion

Gegeben sei

• induktive Menge M (mit Basismenge B und Induktionsregeln)
• Eigenschaft E die bewiesen werden soll

Ein induktiver Beweis zeigt die Gültigkeit von E für

• alle Basiselemente (Induktionsanfang)
• alle mittels der Induktionsregeln gebildeten Elemente (Induktionsschritte)

Mit einem Induktiven Beweis für eine induktive Menge M und eine Eigenschaft E ist bewiesen, dass E für alle Elemente aus M gilt.

w:Strukturelle_Induktion

CB.M1.4 Beweismethode Vollständige Induktion

Speziallfall der strukturellen Induktion (CB.M1.3) Basismenge enthält nur ein m€N. Induktionsregel ist: mit n>=m ist auch n+1 €M

vollständige Induktion für eine Aussage $\,A(n)$ und eine natürliche Zahl $\,m$:

$A(m){,}\quad \forall n\in \mathbb {N} \colon (n\geq m\land A(n)\Rightarrow A(n+1))\ \vdash \ \forall n\in \mathbb {N} \colon (n\geq m\Rightarrow A(n))$

w:Vollständige_Induktion

$\vdash$ Ableitungsoperator w:Ableitung (Logik)

MO1. Mengenoperationen

CB.ZN1.1 Definition: Induktive Definition

CB.ZN1.2 Definition: Vollständige Induktion

w:Pseudo-Magma w:Magma_(Mathematik)