Benutzer:Christian-bauer/ Spielwiese

Wikibook Mathematik (Entwurf)

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Buchinformationen

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Buchstruktur

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  • Einführungskurs: Mengen, Relationen und Abbildungen
    • Schreibweisen
    • A1. Aussagenlogik
      • Definitionen
        • Überschrift fehlt noch
          • Aussage
    • M1. Mengen
      • Mengendefinitionen
        • Klasse
        • Menge
      • Induktion
        • Induktive Mengen
        • Induktive Beweise
    • MO1. Mengenoperationen

Schreibweisen

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Zeichen Bedeutung Beispiel
:= ist definiert als   G2 sei definiert als die Menge aller natürlichen Zahlen die größer als 2 sind
  für alle   Für alle x aus G2 gilt: x > 2
  existiert ein   Es existiert ein x in G2 mit der Eigenschaft x < 10
  genau dann wenn   x ist größer 2 genau dann wenn x + 1 > 3
  definitionsgemäß genau dann wenn   Zwei Mengen A und B sind als gleich definiert, wenn jedes Element der einen Menge auch in der anderen vorkommt.
  daraus folgt   Aus x>2 folgt, dass x>1 ist
  Element von   x ist Element der Menge M

Schreibweise von Definitionen und deren Verwendungen

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Beispieldefinition:

Menge := geeignete Zusammenfassung von Objekten.

Verwendungsbeispiel:

  : M ist eine Menge.

Beispieldefinition 2:

Magma(M,f)   Menge(M)   zweistellige_innere_Verknüpfung(f)

In Worten: Ein Magma ist eine Menge M zusammen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung.

Verwendungsbeispiel:

  : X ist ein Magma.

  : X ist ein Magma mit einer passenden Menge M und Verknüpfung f.

Aussagen

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  bedeutet: X ist eine (logisch korrekt gebildete ) Aussage mit einer Variablen.

Beispiel: X(5) bedeutet dann: die Aussage X trifft auf die Zahl 5 zu.

A1. Aussagenlogik

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Definitionen

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Überschrift fehlt noch

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Siehe Wikipedia 'Aussage (Logik)'

CB.A1.1 Begriffliche Definition: Aussage := sprachlicher/schriftlicher Ausdruck der sinnvoll/entscheidbar wahr oder falsch sein kann.

Aussage(*) := Aussage mit einer Variablen

Aussage(*,*) := Aussage mit zwei Variablen

...


M1. Mengen

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Mengendefinitionen

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Siehe Wikipedia 'Klasse (Mengenlehre)'

CB.K1.1 Begriffliche Definition: Klasse(A) :=  

In Worten: Eine Klasse (für eine Aussage A mit einer Variablen) sind alle Objekte x, die die Aussage erfüllen.

Siehe w:Menge_(Mathematik)

CB.M1.1 Begriffliche Definition: Menge := geeignete Zusammenfassung von Objekten (Nicht alle Zusammenfassungen sind als Mengen geeignet.)

CB.M1.2 Satz:  

In Worten: Jede Menge ist eine Klasse.

Induktion

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Induktive Mengen

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CB.M1.2 Begriffliche Definition: Induktive Mengen Gegeben sei

  1. eine Basismenge B (mit Basiselementen)
  2. Induktionsregeln die angegeben wie aus bestehenden Elementen neue gewinnen kann.

Die daraus induktiv definierte Menge ist die kleinste Menge, die B enthält und abgeschlossen bezüglich der Induktionsregeln ist (die alle mit den Induktionsregeln erzeugbaren Elemente enthält) .


CB.M1.3 Beweismethode: Induktiver Beweis/Strukturelle Induktion

Gegeben sei

  • induktive Menge M (mit Basismenge B und Induktionsregeln)
  • Eigenschaft E die bewiesen werden soll

Ein induktiver Beweis zeigt die Gültigkeit von E für

  • alle Basiselemente (Induktionsanfang)
  • alle mittels der Induktionsregeln gebildeten Elemente (Induktionsschritte)

Mit einem Induktiven Beweis für eine induktive Menge M und eine Eigenschaft E ist bewiesen, dass E für alle Elemente aus M gilt.

w:Strukturelle_Induktion

CB.M1.4 Beweismethode Vollständige Induktion

Speziallfall der strukturellen Induktion (CB.M1.3) Basismenge enthält nur ein m€N. Induktionsregel ist: mit n>=m ist auch n+1 €M

vollständige Induktion für eine Aussage   und eine natürliche Zahl  :

 



w:Vollständige_Induktion

  Ableitungsoperator w:Ableitung (Logik)

MO1. Mengenoperationen

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CB.ZN1.1 Definition: Induktive Definition

CB.ZN1.2 Definition: Vollständige Induktion

w:Pseudo-Magma w:Magma_(Mathematik)