Aufgabensammlung Physik: Teilchen auf schiefer Ebene

Teilchen auf schiefer Ebene

Ein Teilchen ist an eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel $\alpha$ gebunden. Formuliere die Zwangsbedingung in zwei Dimensionen.

Lösung der Aufgabe

Betrachte folgende Skizze für die schiefe Ebene (die z-Achse verläuft senkrecht zur Skizzenebene):

Frage: Welcher Zusammenhang gilt zwischen $x$, $y$ und $\alpha$?

Der Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete und damit

$\tan(\alpha )={\frac {y}{x}}$

für alle Punkte $(x,y,z)$ mit $x\neq 0$.

Frage: Wie lautet die Zwangsbedingung?

Die Zwangsbedingung lautet für alle Punkte mit $x\neq 0$:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&{\frac {y}{x}}&=\tan(\alpha )\\\Rightarrow \ &y&=\tan(\alpha )\cdot x\\\Rightarrow \ &y-\tan(\alpha )\cdot x&=0\end{array}}\end{aligned}}$

Die letzte Gleichung $y-\tan(\alpha )\cdot x=0$ bestimmt die schiefe Ebene auch in den Punkten mit $x=0$ (aus dieser Gleichung folgt aus $x=0$ die gewünschte Bedingung $y=0$). Damit lautet die Zwangsbedinung insgesamt

$y-\tan(\alpha )\cdot x=0$

Es handelt sich um eine holonome Zwangsbedingung.