Aufgabensammlung Physik: Teilchen auf Kugelschale

Teilchen auf Kugelschale

1. Ein Teilchen kann sich nur auf einer Kugeloberfläche / Kugelschale mit Radius $R$ bewegen. Formuliere die Zwangsbedingung hierzu mathematisch in kartesischen Koordinaten.
2. Das Teilchen kann sich nun auch innerhalb der Kugel bewegen, jedoch niemals darüber hinaus. Wie lautet die zugehörige Zwangsbedingung?

Lösungshinweise

Überlege Dir, welchen Bewegungsabstand das Teilchen auf der Kugelschale zum Zentrum der Kugel hat. Lege den Ursprung des kartesischen Koordinatensystems in das Zentrum der Kugel.

Lösung der Aufgabe 1

Das Teilchen kann sich nur in der Entfernung $R$ vom Mittelpunkt der Kugel bewegen. Die Zwangsbedingung lautet also:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ oder $x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}=0$

Hierbei handelt es sich um eine holonome Zwangsbedingung.

Lösung der Aufgabe 2

Das Teilchen kann sich nur in einer Entfernung, die kleiner als der Radius $R$ der Kugel ist, bewegen. Die Zwangsbedingung lautet also:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}$ oder $x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}\leq 0$

Hierbei handelt es sich um eine nicht-holonome Zwangsbedingung.