Aufgabensammlung Physik: Lagrange Bewegungsgleichungen eines Doppelpendels

Lagrange Bewegungsgleichungen eines Doppelpendels

Notiere und berechne für das Doppelpendel:
a) Die Zwangsbedingungen des Systems
b) Die Anzahl der Freiheitsgrade
c) Die Transformationsgleichungen der generalisierten Koordinaten
d) Die kinetischen und potentielle Energie in generalisierten Koordinaten
e) Die Lagrangen Bewegungsgleichungen mit den Lagrangegleichungen 2.Art

Lösung in 2D mit konstanter Fadenlänge

a) Definieren wir zunächst die konstante Fadenlänge des 1. Pendels als $l_{1}$ mit $\phi _{1}$ als Winkel zwschen Faden und y-Achse, und $x_{1}=l_{1}\sin(\phi _{1})$ und $y_{1}=l_{1}\cos(\phi _{1})$ als Koordinaten des angehängten Massenpunktes. Für das erste Pendel gilt somit als ZB:

$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-l_{1}^{2}=0$

analog für das zweite Pendel

$x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-l_{2}^{2}=0,$

wobei

$x_{2}=x_{1}+l_{2}\sin(\phi _{2})$ und $y_{2}=y_{1}-l_{2}\cos(\phi _{2}).$

b) Hier gibt es zwei Massepunkte, also $N=2$ mit 2 ZB (siehe a)) $s=2$, daher

$f=2N-s=4-2=2$

Das System hat somit noch zwei Freiheitsgrade.

c) Wähle als generalisierte Koordinaten $q_{1}=\phi _{1}$ und $q_{2}=\phi _{2}$. Somit können nun die

d)

$T={\frac {m}{2}}\left({\dot {x_{1}}}^{2}+{\dot {x_{2}}}^{2}+{\dot {y_{1}}}^{2}+{\dot {y_{2}}}^{2}\right)$ 
$V=mgy_{1}+mgy_{2}=m_{1}gl_{1}\cos(\phi _{1})+m_{2}gl_{1}\cos(\phi _{1})-m_{2}gl_{2}\cos(\phi _{2})=(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos(\phi _{1})-m_{2}gl_{2}\cos(\phi _{2})$ 

e) Nun kann der Lagrangian

${\mathcal {L}}=T-V=T-(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos(\phi _{1})+m_{2}gl_{2}\cos(\phi _{2})$  

und folglich die Bewegungsgleichungen daraus abgeleitet werden, da das System holonomen Zwangsbedingungen unterliegt:

${\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{1}}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{1}}}=0$

${\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{2}}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{2}}}=0$

Lösung in 3D

Nebenrechnungen