Aufgabensammlung Physik: Kürzester Weg auf Ebene

Kürzester Weg auf Ebene

Finde mittels der Variation der Kurve, nach den Prinzipien der Variationsrechnung den kürzesten Weg S zwischen den Punkten A und B auf einer homogenen Ebene.

1. Finde die Funktionenschar

Formuliere den allgemeinen Integranden $ds$ in eine für das Problem geeignete Form um. Wie würdest Du die Teilstrecke $ds$ mathematisch formulieren?

Lösungshinweis 1

Lösung der Aufgabe 1

$ds$ kann in karthesischen Koordinaten nach dem Satz des Pythagoras wie folgt dargestellt werden:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&ds&={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}\\\Rightarrow \ &{\frac {ds}{dx}}&={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\\\Rightarrow \ &ds&={\sqrt {1+y'^{2}}}dx\end{array}}\end{aligned}}$

2. Aufstellen der Eulerschen Gleichung

Stelle nun zunächst das Integral für den Weg $S=\int _{1}^{2}ds$ auf.

Stelle dann die Eulersche Gleichung auf und löse diese.

Lösung der Aufgabe 2

1. $S=\int _{A}^{B}F(f(x,y,y'))dx=\int _{A}^{B}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx$
2. Die Eulersche Gleichung lautet:

   ${\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial y'}}=0$

   Dabei ist:

   ${\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial y}}&=0\\{\frac {\partial f}{\partial y'}}&={\frac {\partial {\sqrt {1+y'^{2}}}}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\end{aligned}}$

   Damit folgt ${\frac {d}{dx}}{\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=0$ und somit ${\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=\mathrm {const.}$

3. Sei ${\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=c$. Es folgt

   ${\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&{\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}&=c\\\Rightarrow \ &y'&=c{\sqrt {1+y'^{2}}}\\\Rightarrow \ &y'^{2}&=c^{2}\cdot (1+y'^{2})\\\Rightarrow \ &(1-c^{2})\cdot y'^{2}&=c^{2}\\&&\left\downarrow \ {\begin{array}{l}{\text{Wegen }}|{\sqrt {1+y'^{2}}}|>|y'|{\text{ ist }}|c|<1\\[5px]{\text{und damit }}1-c^{2}>0\end{array}}\right.\\\Rightarrow \ &y'^{2}&={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}\\\Rightarrow \ &|y'|&={\sqrt {\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}}\\&&\left\downarrow \ {\begin{array}{l}y'{\text{ ist stetig und damit kann }}y'{\text{ nicht zwischen}}\\[5px]{\sqrt {\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}}{\text{ und }}-{\sqrt {\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}}{\text{ springen}}\end{array}}\right.\\\Rightarrow \ &y'&=\mathrm {const} \\\end{array}}\end{aligned}}$

   Wegen $y'=\mathrm {const}$ ist $y(x)=ax+b$ für bestimmte $a,b\in \mathbb {R}$ und damit ist $y(x)$ eine Gerade.