Aufgabensammlung Physik: Kürzester Weg auf Ebene

Kürzester Weg auf Ebene

Finde mittels der Variation der Kurve, nach den Prinzipien der Variationsrechnung den kürzesten Weg S zwischen den Punkten A und B auf einer homogenen Ebene.


1. Finde die Funktionenschar

Formuliere den allgemeinen Integranden   in eine für das Problem geeignete Form um. Wie würdest Du die Teilstrecke   mathematisch formulieren?

Lösungshinweis 1

Lösung der Aufgabe 1

  kann in karthesischen Koordinaten nach dem Satz des Pythagoras wie folgt dargestellt werden:

 

2. Aufstellen der Eulerschen Gleichung

Stelle nun zunächst das Integral für den Weg   auf.

Stelle dann die Eulersche Gleichung auf und löse diese.

Lösung der Aufgabe 2

  1.  
  2. Die Eulersche Gleichung lautet:
     
    Dabei ist:
     
    Damit folgt   und somit  
  3. Sei  . Es folgt
     
    Wegen   ist   für bestimmte   und damit ist   eine Gerade.