Aufgabensammlung Physik: Brachistochronen Problem

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Achtung, Baustelle!

Brachistchronen Problem.

Berechne den schnellsten Weg eines Teilchens von Punkt A zu Punkt B, dass sich reibungsfrei in einem Gravitationspotential bewegt.


1. Finde die Funktionenschar

Formuliere den allgemeinen Integranden   in eine für das Problem geeignete Form um.

Lösung Teil 1

 

Aus den bekannten Variablen für das System kann eine Form für   gefunden werden. Dazu wird die Energiebilanz des Systems aufgestellt:

 

Mit   ist   . Nach Umformen ergibt sich also:

 

Und damit:

 

Mit:  

Ergibt sich:

 

2. Aufstellen der Eulerschen Gleichung

Stelle die Eulersche Gleichung auf und löse diese.

Lösung der Aufgabe 2

  •  
  • Die Eulersche Gleichung lautet:

 

Dabei ist:

 

Weiter ist dann:

 

Mit:


 

Es ergibt sich also insgesamt: