Analytische Geometrie/ Weiterführende Themen

Vektorräume

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Definition

Eine (zweistellige) innere Verknüpfung ist eine Abbildung, bei der je zwei Elementen einer Menge M ein Element aus derselben Menge M zugeordnet wird. Geschrieben wird eine solche Verknüpfung als

 

Eine (zweistellige) äußere Verknüpfung (erster Art) ist eine Abbildung, bei der einem Element aus einer Menge A und einem Element aus einer zweiten Menge B wieder ein Element aus der zweiten Menge B zugeordnet wird.

 
 


Bei Verknüpfungen, die als Addition oder Multiplikation bezeichnet werden, wird häufig die sogenannten Infix-Notation verwendet. Hierbei wird das Symbol der Verknüpfung zwischen die beiden zu verknüpfenden Elemente geschrieben anstatt davor, wie z.B.   statt  .

Definition

Eine Menge K zusammen mit zwei inneren Verknüpfungen   (meist Addition genannt) und   (meist Multiplikation genannt), die für alle   folgende Eigenschaften erfüllen, nennt man einen Körper:

  • Eigenschaften der "Addition":
(A1)   (Assoziativität der Addition)
(A2)   (Kommutativität der Addition)
(A3) Es gibt ein Element  , so dass für alle   gilt   (Existenz des neutralen Elementes der Addition)
(A4) Zu jedem   existiert ein   mit   (Existenz des inversen Elementes der Addition)
  • Eigenschaften der "Multiplikation":
(M1)   (Assoziativität der Multiplikation)
(M2)   (Kommutativität der Multiplikation)
(M3) Es gibt ein Element  , so dass für alle   gilt   (Existenz des neutralen Elementes der Multiplikation)
(M4) Zu jedem   gibt es ein   mit   (Existenz des inversen Elementes der Multiplikation)
  • Eigenschaft der Kombination aus "Addition" und "Multiplikation":
(D)   (Distributivität)
 



Definition

Ein Vektorraum über einem (Skalar-)Körper K ist eine Menge V mit einer inneren Verknüpfung   (Vektoraddition genannt) und einer äußeren Verknüpfung   (Skalarmultiplikation oder zur besseren Unterscheidung vom Skalarprodukt Multiplikation mit Skalaren genannt), die für alle   und alle   folgende Eigenschaften erfüllen:

  • Eigenschaften der Vektoraddition
(V1)   (Assoziativität der Vektoraddition)
(V2)   (Kommutativität der Vektoraddition)
(V3) Es gibt ein Element  , so dass für alle   gilt   (Existenz des neutralen Elementes der Vektoraddition)
(V4) Zu jedem   existiert ein   mit   (Existenz des inversen Elementes der Vektoraddition)
  • Eigenschaften der Multiplikation mit Skalaren:
(V5)   (Assoziativität der Multiplikation mit Skalaren)
(V6) Für das neutrale Element der Multiplikation   gilt auch   (Erhaltung des neutralen Elementes der Multiplikation des Körpers als neutrales Element der Multiplikation mit Skalaren)
  • Eigenschaft der Kombination aus Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren:
(V7)   (Distributivität der Skalare)
(V8)   (Distributivität der Vektoren)

Um noch einmal auf die in der Definition der Verknüpfungen (versteckt) enthaltenen Eigenschaften besonders hinzudeuten kann noch angefügt werden:

(V0a)   (Abgeschlossenheit der Vektoraddition)
(V0b)   (Abgeschlossenheit der Multiplikatio nmit Skalaren)

Die Elemente eines Vektorraumes nennt man Vektoren.

 



Definition

Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge eines Vektorraumes, die selbst wieder ein Vektorraum ist. Ist V ein Vektorraum über K und   eine nichtleere Teilmenge, dann ist U ein Untervektorraum von V (über K), wenn folgende Bedingungen für alle   und alle   erfüllt sind:

  •   (Abgeschlossenheit der Vektoraddition)
  •   (Abgeschlossenheit der Multiplikation mit Skalaren)
 



Definition

Ist V ein Vektorraum und sind  . Dann heißt das endliche Vektorsystem  

  • linear unabhängig, wenn die Gleichung   nur die triviale Lösung   besitzt,
  • linear abhängig, wenn die Gleichung   neben der trivialen Lösung   eine weiter Lösung besitzt, bei der nicht alle   gleich Null sind.

Eine unendliche Menge von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge derselben linear unabhängig ist.

 


Definition

Ist V ein Vektorraum über K und  , dann nennt man E ein Erzeugendensystem von V, wenn für jeden Vektor   Vektoren   und Skalare  existieren, so dass  . (  lässt sich als Linearkombination von endlich vielen Vektoren aus E darstellen.)

Ein Erzeugendensystem aus linear unabhängigen Vektoren nennt man eine Basis.

Die Dimension eines Vektorraumes, kurz  , ist die Anzahl der Vektoren in jeder Basis des Vektorraumes.

 


Beachte: Sowohl ein Erzeugendensystem, als auch eine Basis können unendlich viele Vektoren enthalten. In letzterem Fall schreibt man  .

Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum über K und   eine Basis von V, dann lässt sich jeder Vektor aus V als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.

 

Ist die Basis auf irgendeine Weise geordnet, z.B. nach den Indizes der Basisvektoren, dann bezeichnet man das entsprechende n-Tupel aus den Koeffizienten   oder auch   als Koordinaten von   (bezüglich B).


Definition

Eine nicht leere Menge   (genannt Menge der Punkte) zusammen mit einem Vektorraum V (genannt Richtungsvektorraum) und einer Abbildung   (genannt Translation oder Verschiebung) heißt affiner Raum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • Für alle   gilt:  
  • Für alle   und alle   gilt:  
  • Für alle   existiert ein eindeutig bestimmter Vektor  , so dass gilt:  
 


Statt   schreibt man auch  . Der durch   eindeutig bestimmte Vektor   mit   wird häufig als   bezeichnet.


Definition

Ein Skalarprodukt auf einem  -Vektorraum V ist eine Abbildung   die für jedes   und jedes   folgende Eigenschaften erfüllt:

  •  
  •  
  •  
  •  
 


Ist aus dem Zusammenhang die Unterscheidung zwischen der Multiplikation mit Skalaren   und dem Skalarprodukt   klar, so kann man auch das Symbol   statt des Symbols   für das Skalarprodukt verwenden.

Definition

Die Norm eines Vektors wird definiert durch  .

Der Winkel   zwischen zwei Vektoren   ist  .

Ist  , so nennt man   und   zueinander orthogonal.