Analytische Geometrie/ Weiterführende Themen

Vektorräume

Definition

Eine (zweistellige) innere Verknüpfung ist eine Abbildung, bei der je zwei Elementen einer Menge M ein Element aus derselben Menge M zugeordnet wird. Geschrieben wird eine solche Verknüpfung als

$V:\;M\times M\rightarrow M,\;(x|y)\mapsto V(x,y)$

Eine (zweistellige) äußere Verknüpfung (erster Art) ist eine Abbildung, bei der einem Element aus einer Menge A und einem Element aus einer zweiten Menge B wieder ein Element aus der zweiten Menge B zugeordnet wird.

$V:\;A\times B\rightarrow B,\;(x|y)\mapsto V(x,y)$

 

Bei Verknüpfungen, die als Addition oder Multiplikation bezeichnet werden, wird häufig die sogenannten Infix-Notation verwendet. Hierbei wird das Symbol der Verknüpfung zwischen die beiden zu verknüpfenden Elemente geschrieben anstatt davor, wie z.B. $a+b$ statt $+(a,b)$.

Definition

Eine Menge K zusammen mit zwei inneren Verknüpfungen $+:\;K\times K\rightarrow K$ (meist Addition genannt) und $\cdot :\;K\times K\rightarrow K$ (meist Multiplikation genannt), die für alle $a,b,c\in K$ folgende Eigenschaften erfüllen, nennt man einen Körper:

• Eigenschaften der "Addition":

(A1) $\left.a+(b+c)=(a+b)+c\right.$ (Assoziativität der Addition)

(A2) $\left.a+b=b+a\right.$ (Kommutativität der Addition)

(A3) Es gibt ein Element $0\in K$, so dass für alle $a\in K$ gilt $\left.0+a=a\right.$ (Existenz des neutralen Elementes der Addition)

(A4) Zu jedem $a\in K$ existiert ein $-a\in K$ mit $\left.a+(-a)=0\right.$ (Existenz des inversen Elementes der Addition)

• Eigenschaften der "Multiplikation":

(M1) $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ (Assoziativität der Multiplikation)

(M2) $a\cdot b=b\cdot a$ (Kommutativität der Multiplikation)

(M3) Es gibt ein Element $1\in K\setminus \left\{0\right\}$, so dass für alle $a\in K$ gilt $1\cdot a=a$ (Existenz des neutralen Elementes der Multiplikation)

(M4) Zu jedem $a\in K\setminus \left\{0\right\}$ gibt es ein $a^{-1}\in K\setminus \left\{0\right\}$ mit $a\cdot a^{-1}=1$ (Existenz des inversen Elementes der Multiplikation)

• Eigenschaft der Kombination aus "Addition" und "Multiplikation":

(D) $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ (Distributivität)

 

Beispiele

• Die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ mit der bekannten Addition und Multiplikation.
• Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ mit der bekannten Addition und Multiplikation.
• Die Menge $\mathbb {F} _{2}=\{0,1\}$ mit den Verküpfungen

$+:\mathbb {F} _{2}\times \mathbb {F} _{2}\rightarrow \mathbb {F} _{2},(x|y)\mapsto {\begin{cases}0,&{\mbox{falls }}x=y\\1,&{\mbox{falls }}x\neq y\end{cases}}$

und

$\cdot :\mathbb {F} _{2}\times \mathbb {F} _{2}\rightarrow \mathbb {F} _{2},(x|y)\mapsto {\begin{cases}0,&{\mbox{falls }}x=0{\mbox{ oder falls }}y=0\\1,&{\mbox{falls }}x=y=1\end{cases}}$

• Die komplexen Zahlen $\mathbb {C} =\left\{a+b\cdot i|a,b\in \mathbb {R} \right\}$ (i bezeichnet die sogenannte imaginäre Einheit) mit den Verknüpfungen

$+:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} ,(a+b\cdot i|u+v\cdot i)\mapsto a+u+(b+v)\cdot i$

und

$\cdot :\mathbb {C} \times \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} ,(a+b\cdot i|u+v\cdot i)\mapsto a\cdot u-b\cdot v+(a\cdot v+b\cdot u)\cdot i$

• Die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ bilden keinen Körper, denn hier fehlt das inverse Element der Multiplikation.

 

Definition

Ein Vektorraum über einem (Skalar-)Körper K ist eine Menge V mit einer inneren Verknüpfung $+:\;V\times V\rightarrow V$ (Vektoraddition genannt) und einer äußeren Verknüpfung $\cdot :\;K\times V\rightarrow V$ (Skalarmultiplikation oder zur besseren Unterscheidung vom Skalarprodukt Multiplikation mit Skalaren genannt), die für alle ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in V$ und alle $\lambda ,\mu \in K$ folgende Eigenschaften erfüllen:

• Eigenschaften der Vektoraddition

(V1) ${\vec {u}}+\left({\vec {v}}+{\vec {w}}\right)=\left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)+{\vec {w}}$ (Assoziativität der Vektoraddition)

(V2) $\left.{\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}}\right.$ (Kommutativität der Vektoraddition)

(V3) Es gibt ein Element ${\vec {0}}\in V$, so dass für alle ${\vec {u}}\in V$ gilt $\left.{\vec {0}}+{\vec {u}}={\vec {u}}\right.$ (Existenz des neutralen Elementes der Vektoraddition)

(V4) Zu jedem ${\vec {u}}\in V$ existiert ein $-{\vec {u}}\in V$ mit ${\vec {u}}+\left(-{\vec {u}}\right)={\vec {0}}$ (Existenz des inversen Elementes der Vektoraddition)

• Eigenschaften der Multiplikation mit Skalaren:

(V5) $\lambda \cdot \left(\mu \cdot {\vec {u}}\right)=\left(\lambda \cdot \mu \right)\cdot {\vec {u}}$ (Assoziativität der Multiplikation mit Skalaren)

(V6) Für das neutrale Element der Multiplikation $1\in K$ gilt auch $1\cdot {\vec {u}}={\vec {u}}$ (Erhaltung des neutralen Elementes der Multiplikation des Körpers als neutrales Element der Multiplikation mit Skalaren)

• Eigenschaft der Kombination aus Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren:

(V7) $\left(\lambda +\mu \right)\cdot {\vec {u}}=\lambda \cdot {\vec {u}}+\mu \cdot {\vec {u}}$ (Distributivität der Skalare)

(V8) $\lambda \cdot \left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)=\lambda \cdot {\vec {u}}+\lambda \cdot {\vec {v}}$ (Distributivität der Vektoren)

Um noch einmal auf die in der Definition der Verknüpfungen (versteckt) enthaltenen Eigenschaften besonders hinzudeuten kann noch angefügt werden:

(V0a) ${\vec {u}}+{\vec {v}}\in V$ (Abgeschlossenheit der Vektoraddition)

(V0b) $\lambda \cdot {\vec {u}}\in V$ (Abgeschlossenheit der Multiplikatio nmit Skalaren)

Die Elemente eines Vektorraumes nennt man Vektoren.

 

Beispiele

• Jeder Körper ist über sich selbst ein Vektorraum.
• Zu jedem $n\in \mathbb {N}$ ist die Menge der n-Tupel mit Einträgen aus $\mathbb {R}$, also $\mathbb {R} ^{n}=\left\{{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}},{\mbox{ mit }}a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} \right\}$ mit folgenden Verknüpfungen ein Vektorraum über $\mathbb {R}$:

$+:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n},{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}+v_{1}\\\vdots \\u_{n}+v_{n}\end{pmatrix}}$

und

$\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n},k\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k\cdot v_{1}\\\vdots \\k\cdot v_{n}\end{pmatrix}}$

• Die Menge der Polynome über $\mathbb {R}$, also

$\left\{a_{n}\cdot x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\ldots +a_{1}\cdot x+a_{0},{\mbox{ mit }}n\in \mathbb {N} _{0},a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} \right\}$

mit der bekannten Addition von Polynomen und der Multiplikation eines Polynoms mit einer reellen Zahl ist ein Vektorraum über $\mathbb {R}$.

 

Definition

Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge eines Vektorraumes, die selbst wieder ein Vektorraum ist. Ist V ein Vektorraum über K und $U\subset V$ eine nichtleere Teilmenge, dann ist U ein Untervektorraum von V (über K), wenn folgende Bedingungen für alle ${\vec {u}},{\vec {v}}\in U$ und alle $\lambda \in K$ erfüllt sind:

• ${\vec {u}}+{\vec {v}}\in U$ (Abgeschlossenheit der Vektoraddition)
• $\lambda \cdot {\vec {u}}\in U$ (Abgeschlossenheit der Multiplikation mit Skalaren)

 

Beispiele

• Zu jedem Vektorraum V sind V selbst und $\left\{{\vec {0}}\right\}$ Untervektorräume.
• Ist V ein Vektorraum über K und sind ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}\in V$, dann ist die Menge

$Sp\left({\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}\right)=\left\{\lambda _{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\ldots +\lambda _{n}\cdot {\vec {v}}_{n},{\mbox{ mit }}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K\right\}$

ein Unetrvektorraum von V. Mann nennt diesen Untervektorraum den Spann der Vektoren ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}$ oder auch den von ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}$ aufgespannten oder erzeugten Untervektorraum.

• Zum Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ ist $\mathbb {R} ^{n-k}\times \{0\}^{k}$ mit k<n ein Untervektorraum.
• Die Menge $\{0\}\times \mathbb {R} \cup \mathbb {R} \times \{0\}=\left\{{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}},{\mbox{ mit }}x_{1}=0{\mbox{ oder }}x_{2}=0\right\}$ ist kein Untervektorraum des $\mathbb {R} ^{2}$.
• Die Menge

$E_{0}=\left\{{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}},{\mbox{ mit }}2\cdot x_{1}+3\cdot x_{2}-x_{3}=0\right\}$

ist ein Untervektorraum des $\mathbb {R} ^{3}$; die Menge

$E_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}},{\mbox{ mit }}2\cdot x_{1}+3\cdot x_{2}-x_{3}=1\right\}$

jedoch nicht.

• Die Menge der Polynome vom Grad $\leq 3$, also $\left\{a_{3}\cdot x^{3}+a_{2}\cdot x^{2}+a_{1}\cdot x+a_{0},{\mbox{ mit }}a_{0},\ldots ,a_{3}\in \mathbb {R} \right\}$ ist ein Untervektorraum des Vektorraumes aller Polynome.

 

Definition

Ist V ein Vektorraum und sind ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}\in V$. Dann heißt das endliche Vektorsystem ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}$

• linear unabhängig, wenn die Gleichung $\lambda _{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\ldots +\lambda _{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$ nur die triviale Lösung $\lambda _{1}=\ldots =\lambda _{n}=0$ besitzt,
• linear abhängig, wenn die Gleichung $\lambda _{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\ldots +\lambda _{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$ neben der trivialen Lösung $\lambda _{1}=\ldots =\lambda _{n}=0$ eine weiter Lösung besitzt, bei der nicht alle $\lambda _{i}$ gleich Null sind.

Eine unendliche Menge von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge derselben linear unabhängig ist.

 

Definition

Ist V ein Vektorraum über K und $E\subset V$, dann nennt man E ein Erzeugendensystem von V, wenn für jeden Vektor ${\vec {w}}\in V$ Vektoren ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}\in E$ und Skalare $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$existieren, so dass ${\vec {w}}=\lambda _{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\ldots +\lambda _{n}\cdot {\vec {v}}_{n}$. (${\vec {w}}$ lässt sich als Linearkombination von endlich vielen Vektoren aus E darstellen.)

Ein Erzeugendensystem aus linear unabhängigen Vektoren nennt man eine Basis.

Die Dimension eines Vektorraumes, kurz $\dim V$, ist die Anzahl der Vektoren in jeder Basis des Vektorraumes.

 

Beachte: Sowohl ein Erzeugendensystem, als auch eine Basis können unendlich viele Vektoren enthalten. In letzterem Fall schreibt man $\dim V=\infty$.

Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum über K und $B=\left\{{\vec {b}}_{1},\ldots ,{\vec {b}}_{n}\right\}$ eine Basis von V, dann lässt sich jeder Vektor aus V als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.

${\vec {w}}=k_{1}\cdot {\vec {b}}_{1}+\ldots +k_{n}\cdot {\vec {b}}_{n}\qquad \left(k_{1}\ldots ,k_{n}\in K\right)$

Ist die Basis auf irgendeine Weise geordnet, z.B. nach den Indizes der Basisvektoren, dann bezeichnet man das entsprechende n-Tupel aus den Koeffizienten $\left(k_{1},\ldots ,k_{n}\right)$ oder auch ${\begin{pmatrix}k_{1}\\\vdots \\k_{n}\\\end{pmatrix}}$ als Koordinaten von ${\vec {w}}$ (bezüglich B).

Beispiele

• Die kanonische Einheitsbasis des $\mathbb {R} ^{n}$ ist ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{pmatrix}}$. Also ist $\dim \mathbb {R} ^{n}=n$.
• Die Vektoren ${\begin{pmatrix}1\\2\\0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\3\\-2\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix}}$ bilden eine weitere Basis des $\mathbb {R} ^{3}$. Hat der Vektor ${\vec {w}}$ bezüglich der kanonischen Einheitsbasis die Koordinaten ${\begin{pmatrix}0\\7\\-5\\\end{pmatrix}}$, dann hat ${\vec {w}}$ bezüglich der obigen Basis die Koordinaten ${\begin{pmatrix}1\\2\\-1\\\end{pmatrix}}$, denn $1\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\0\\\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}0\\3\\-2\\\end{pmatrix}}-1\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\7\\-5\\\end{pmatrix}}$
• Die Vektoren ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}$ sind ein Erzeugendensystem des Untervektorraumes $Sp\left({\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}\right)$ aus dem entsprechenden Besipiel für Untervektorräume. Sie müssen aber keine Basis sein, da sie nicht zwangsläufig linear unabhängig sind.
• Der Vektorraum der Polynome besitzt die Basis $\left\{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \right\}$. Damit ist $\dim V=\infty$.
  Der Vektorraum der Polynome vom Grad $\leq 3$ besitzt die Basis $\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}$. Damit gilt für ihn $\dim V=4$.

 

Definition

Eine nicht leere Menge $\mathbb {P}$ (genannt Menge der Punkte) zusammen mit einem Vektorraum V (genannt Richtungsvektorraum) und einer Abbildung $\varphi :\;V\times \mathbb {P} \rightarrow \mathbb {P}$ (genannt Translation oder Verschiebung) heißt affiner Raum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• Für alle $P\in \mathbb {P}$ gilt: $\varphi \left({\vec {0}},P\right)=P$
• Für alle ${\vec {u}},{\vec {v}}\in V$ und alle $P\in \mathbb {P}$ gilt: $\varphi \left({\vec {u}}+{\vec {v}},P\right)=\varphi \left({\vec {u}},\varphi \left({\vec {v}},P\right)\right)$
• Für alle $P,Q\in \mathbb {P}$ existiert ein eindeutig bestimmter Vektor ${\vec {v}}\in V$, so dass gilt: $\varphi \left({\vec {v}},P\right)=Q$

 

Statt $\varphi \left({\vec {v}},P\right)$ schreibt man auch $P+{\vec {v}}$. Der durch $P,Q\in \mathbb {P}$ eindeutig bestimmte Vektor ${\vec {v}}\in V$ mit $\varphi \left({\vec {v}},P\right)=Q$ wird häufig als ${\overrightarrow {PQ}}$ bezeichnet.

Beispiele

• $\mathbb {P} =\mathbb {R} ^{3}$ (Punkte zur besseren Unterscheidung als Zeilen geschrieben) und $V=\mathbb {R} ^{3}$ (Vektoren zur besseren Unterscheidung als Spalten geschrieben) liefert mit $(p_{1}|p_{2}|p_{3})+{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}=(p_{1}+v_{1}|p_{2}+v_{2}|p_{3}+v_{3})$ für viele Anwendungen ein gutes Modell des uns umgebenden Raumes.
• Ist ein Punkt $O\in \mathbb {P} =\mathbb {R} ^{3}$ als Nullpunkt festgelegt, so lässt sich in eindeutiger Weise jedem Punkt P ein sogenannter Ortsvektor ${\overrightarrow {OP}}$ zuordnen. Dann ist die Translation im vorangegangen Beispiel gleichbedeutend mit der Addition des Verschiebungsvektors zum Ortsvektor und anschließender Interpretation des entstehenden Vektors als Ortsvektor.

$(p_{1}|p_{2}|p_{3})+{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}+v_{1}\\p_{2}+v_{2}\\p_{3}+v_{3}\\\end{pmatrix}}\rightarrow (p_{1}+v_{1}|p_{2}+v_{2}|p_{3}+v_{3})$

 

Definition

Ein Skalarprodukt auf einem $\mathbb {R}$-Vektorraum V ist eine Abbildung $\bullet :\;V\times V\rightarrow \mathbb {R} ,\left({\vec {u}},{\vec {v}}\right)\mapsto {\vec {u}}\bullet {\vec {v}}$ die für jedes ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in V$ und jedes $\lambda \in \mathbb {R}$ folgende Eigenschaften erfüllt:

• $\left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)\bullet {\vec {w}}={\vec {u}}\bullet {\vec {w}}+{\vec {v}}\bullet {\vec {w}}$
• $\lambda \cdot \left({\vec {u}}\bullet {\vec {v}}\right)=\left(\lambda \cdot {\vec {u}}\right)\bullet {\vec {v}}={\vec {u}}\bullet \left(\lambda \cdot {\vec {w}}\right)$
• ${\vec {u}}\bullet {\vec {v}}={\vec {v}}\bullet {\vec {u}}$
• ${\vec {u}}\bullet {\vec {u}}>0\Leftrightarrow {\vec {u}}\neq {\vec {0}}$

 

Ist aus dem Zusammenhang die Unterscheidung zwischen der Multiplikation mit Skalaren $\cdot$ und dem Skalarprodukt $\bullet$ klar, so kann man auch das Symbol $\cdot$ statt des Symbols $\bullet$ für das Skalarprodukt verwenden.

Definition

Die Norm eines Vektors wird definiert durch $\|{\vec {v}}\|={\sqrt {{\vec {v}}\bullet {\vec {v}}}}$.

Der Winkel $\varphi$ zwischen zwei Vektoren ${\vec {u}},{\vec {v}}\in V$ ist $\varphi =\arccos {\frac {{\vec {u}}\bullet {\vec {v}}}{\|{\vec {u}}\|\cdot \|{\vec {v}}\|}}$.

Ist ${\vec {u}}\bullet {\vec {v}}=0$, so nennt man ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ zueinander orthogonal.

 

Beispiele

• Das kanonische Skalarprodukt des $\mathbb {R} ^{n}$ ist gegeben durch ${\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\\\end{pmatrix}}=u_{1}\cdot v_{1}+\ldots +u_{n}\cdot v_{n}$.

Die daraus resultierende Norm bezeichnet man als den Betrag des Vektors geschrieben $\left|{\vec {v}}\right|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}={\sqrt {v_{1}^{2}+\ldots +v_{n}^{2}}}$

• Auf dem Vektorraum der Polynome lässt sich mit Hilfe der Integralrechnung ein Skalarprodukt definieren als:

${\vec {u}}\bullet {\vec {v}}=\int _{0}^{1}{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\,dx$

Also z.B.

${\begin{array}{rcl}x^{2}\bullet \left(x^{3}-2\cdot x+5\right)&=&\int _{0}^{1}x^{2}\cdot \left(x^{3}-2\cdot x+5\right)\,dx\\&=&\int _{0}^{1}\left(x^{5}-2\cdot x^{3}+5\cdot x^{2}\right)\,dx\\&=&\left[{\frac {1}{6}}\,x^{6}-{\frac {1}{2}}\,x^{4}+{\frac {5}{3}}\,x^{3}\right]_{0}^{1}\\&=&{\frac {4}{3}}\\\end{array}}$