Analysis: Einführung in die Integralrechnung

Die Idee der Integralrechnung ist es, ganz allgemein krummlinig begrenzte Flächen zu berechnen, also etwa die Fläche zwischen dem Graph einer Funktion und der x-Achse.

Integral as region under curve.svg

Wir vereinbaren folgende Notation:

ist das bestimmte Integral der Funktion f nach [der Variablen] x [in den Grenzen] von a bis b. Es soll den Flächeninhalt zwischen Kurve und Achse wie in der Abb. oben S bezeichnen. Das (Integrations-) Differential dx gibt an, nach welcher Variablen integriert wird; es hat in der Regel nur symbolische Bedeutung.

Es handelt sich hierbei um ein Riemann-Integral (nach B. Riemann). Es gibt auch noch verallgemeinerte Integralbegriffe.

Die Integralrechnung beschäftigt sich mit der Berechnung solcher Integrale.

Geometrische Aspekte des IntegralsBearbeiten

Um nun einem Integral systematisch "zu Fläche zu rücken", nähert man es durch sog. Ober- und Untersummen immer genauer an.

BeispielBearbeiten

Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen einer Normalparabel und der x-Achse zwischen x=0 und 1, also

 

Die vierten Ober- und Untersummen graphisch dargestellt:

Die Flächen der Rechtecke lassen sich nun einfach berechnen, sodass wir eine obere und eine untere Schranke für den Flächeninhalt haben:

         
       
 

Analog lässt sich die Obersumme berechnen:

         
       
 

Damit gilt:

 

Allgemeiner AnsatzBearbeiten

Hier erhält man allgemein für die n-te Untersumme  :

 

und die n-te Obersumme  :

 

Um nun zu dem exakten Wert des Integrals zu kommen, definiert man formal

 

falls diese gleich sind.

Wir führen dies einmal für die Obersummen durch:

 
 
 
 
 
 
 
 

Davon lässt sich nun der Grenzwert bilden:

 

Für die Untersummen erhält man

 

und damit analog ebenfalls

 

Damit ist:

 

DefinitionBearbeiten

 
heißt bestimmtes Integral von f über [a,b].

Die   sind die Längen der Rechtecke, falls sie – wie bei uns – stets gleich sind, lässt sich   schreiben.

Man nennt   Integrand und   die obere bzw. untere Integrationsgrenze.

Eigenschaften des bestimmten IntegralsBearbeiten

Sind die Integrationsgrenzen gleich, erhält man eine „flächenlose“ Strecke:

 

Intervalladditivität ( ):

 

Durch Verdopplung der Funktion werden alle Rechtecke doppelt so groß, allgemein:

 

Addition der Funktionen ergibt Addition der Integralwerte:

 

Bestimmung eines Integrals nach dem Hauptsatz der AnalysisBearbeiten

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung führt die Berechnung eines bestimmten Integrals zurück auf das Finden der Stammfunktion von  , also derjenigen Funktion  , deren Ableitung   gleich   ist:

 

wobei   die Stammfunktion von f ist.

Beispiel einer nicht (riemann-)integrierbaren FunktionBearbeiten

An dieser Stelle sei noch ein Beispiel für eine nicht (in diesem, riemannschen Sinne) integrierbare Funktion gegeben:

 

In jedem Intervall ist der kleinste Wert 0, da in jedem Intervall eine rationale Zahl liegt; damit ist jede Untersumme 0. Gleichzeitig ist in jedem Intervall der größte Wert 1, womit jede Obersumme 1 ist.

AusblickBearbeiten

Wie die Mathematikweisheit "Das Differenzieren ist ein Handwerk, das Integrieren eine Kunst" bereits feststellt, gibt es kein allgemeines Verfahren zur (exakten) Bestimmung eines Integrals, also insbesondere der Stammfunktion. Es gibt Verfahren, wie etwa die partielle Integration oder Substitution, mit denen man – allerdings auch nur mit einem guten "mathematischen Auge" – zum Integral findet. Genaueres siehe Analysis: Integrationsregeln, Stammfunktion.

Weitere Integralbegriffe sind etwa das Lebesgue-Integral und das Stieltjes-Integral.

AnwendungenBearbeiten

Hauptartikel Analysis: Integralrechnung: Anwendungen