Analysis: Hauptsatz

Hauptsätze der Differential- und IntegralrechnungBearbeiten

Die Hauptsätze (oder: Fundamentalsätze) der Differential- und Integralrechnung beschreiben den Zusammenhang zwischen Differentiation und Integration.

  • Sei   eine auf   Riemann-integrierbare Funktion und   eine Stammfunktion von  . Dann gilt
 
Kennt man also eine Stammfunktion des Integranden, so kann man das Integral mit deren Hilfe einfach berechnen. Dieser Hauptsatz ist die Quelle der Integrationsregeln, da man Differentiationsregeln (Produktregel, Kettenregel) nun in Integrationsregeln (partielle Integration, Substitutionsregel) überführen kann.
  • Sei   eine stetige Funktion. Dann ist die Funktion
 
eine Stammfunktion von  , d. h.,   ist stetig differenzierbar mit   für alle  .

Partielle IntegrationBearbeiten

Seien   zwei stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt nach der Produktregel

 

Da   eine Stammfunktion von   ist, folgt aus dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

 

Nun sind   und   beides stetige, also Riemann-integrierbare Funktionen. Daher darf die Linearität des Riemann-Integrals angewandt werden, und man erhält daraus die Regel der partiellen Integration:

 

SubstitutionsregelBearbeiten

Sei   eine stetig differenzierbare Funktion und   stetig. Es sei weiter   eine (nach dem zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung existierende) Stammfunktion. Dann gilt nach der Kettenregel

 

Da   eine Stammfunktion von   ist, folgt aus dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

 

Da   eine Stammfunktion von   ist, folgt aus dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

 

Somit gilt die Substitutionsregel