A. Einstein: Kommentare und Erläuterungen: Zur Elektrodynamik bewegter Körper: Kinematischer Teil: §5

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  § 5. Additionstheorem der Geschwindigkeiten

Die Konstanten w_ξ und w_η sind die Komponenten der Geschwindigkeit des betrachteten Punktes bezüglich k.

Setzt man

$\xi =\beta \left({x-vt}\right),\quad \tau =\beta \left({t-{\frac {v}{V^{2}}}x}\right)$

so erhält man durch Auflösen der Gleichung nach x die eine der beiden Bewegungsgleichungen im System K:

$x={\frac {w_{\xi }+v}{1+{\frac {v\,w_{\xi }}{V^{2}}}}}t.$

Dies ist die Gleichung einer gleichförmigen Bewegung mit der Geschwindigkeit

$w_{x}={\frac {w_{\xi }+v}{1+{\frac {v\,w_{\xi }}{V^{2}}}}}.$

Die Transformation der zweiten Gleichung erfordert etwas mehr Rechenaufwand, da man x mit der oben erhaltenen Gleichung eliminieren muss:

$y=w_{\eta }\beta \,\left({t-{\frac {v}{V^{2}}}x}\right)=w_{\eta }\beta \,t\left({1-{\frac {v\left({w_{\xi }+v}\right)}{V^{2}+v\,w_{\xi }}}}\right).$

Daraus folgt schließlich

$y={\frac {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}{1+{\frac {v\,w_{\xi }}{V^{2}}}}}w_{\eta }t.$

Dies ist wiederum eine gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit

$w_{y}={\frac {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}{1+{\frac {v\,w_{\xi }}{V^{2}}}}}w_{\eta }.$

Zwischenbemerkung: Was soll der Satz »Das Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt nach unserer Theorie nur in erster Annäherung« bedeuten? Im Detail ist hier Folgendes zu sagen:

1. Zwei Geschwindigkeiten gleicher Richtung (hier: w_ξ und v) dürfen nicht einfach summiert werden.

2. Die beiden Geschwindigkeitskomponenten werden nicht in gleicher Weise transformiert.

3. Dass sich w_x = dx /dt und w_y = dy /dt vektoriell addieren (also nach dem Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten) versteht sich von selbst und wird von Einstein hier auch benutzt.

 

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