A. Einstein: Kommentare und Erläuterungen: Zur Elektrodynamik bewegter Körper: Kinematischer Teil: §2
§ 2. Über die Relativität von Längen und Zeiten
Bearbeiten
Zu 1.: Wie von Poincaré (siehe Einleitung), wird dieses Prinzip von Einstein als Relativitätsprinzip bezeichnet. Es wäre deutlicher und aussagekräftiger gewesen, es das Prinzip der Gleichwertigkeit (oder der Gleichberechtigung) aller Inertialsysteme zu nennen. Ein so formuliertes Prinzip würde auch die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen beinhalten.
Der Begriff Relativität, wie er in der Überschrift des § 2 benutzt wird (Relativität von Längen und Zeiten) dagegen bedeutet etwas ganz anderes und ist hier sinnvoll: Längen, Zeitspannen und die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse sind keine absoluten Gegebenheiten, sondern hängen vom Bezugssystem ab, von dem aus sie beobachtet werden; sie sind in diesem Sinne »relativ«.
Zu 2.: Nach dieser Formulierung des Prinzips der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit bewegt sich jeder Lichtstrahl nicht mehr »stets« (wie auf S. 892, Abs. 1), sondern nur im "ruhenden" Koordinatensystem mit der bestimmten Geschwindigkeit V. Hier wird deutlicher als auf S. 892, dass für Einstein der Inhalt des Prinzips von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit nur besagt, dass die Lichtgeschwindigkeit von einer Bewegung des emittierenden Körpers relativ zum "ruhenden" Koordinatensystem unabhängig ist. Offenbar wollte Einstein seine Theorie nicht nur von der Vorstellung des Äthers frei halten sondern auch von einer Vorstellung, die damals unter dem Eindruck des Michelsonversuchs durchaus bedenkenswert schien: das Licht hat stets die Geschwindigkeit V, gemessen gegen den letzten Berührungspunkt des Lichtes mit Materie, sei es die Lichtquelle, seien es die Spiegel des Versuchs. Diese Vorstellung wäre zwar mit dem negativen Ergebnis des Michelsonversuchs im Einklang, aber nicht mit zahlreichen anderen Versuchen.
Worauf es hier wirklich ankommt, ist das Postulat: Die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit hat in jedem Inertialsystem denselben Wert.
Im § 1 findet sich allerdings keine Definition der »Zeitdauer«. Gemeint ist die Zeitspanne zwischen dem Eintreten zweier Ereignisse (hier: Start des Lichtstrahls im Punkt A und Eintreffen in Punkt B) an verschiedenen Orten. Dazu sind zwei Uhren erforderlich, deren Synchronizität nach dem oben angegebenen Kriterium überprüft wurde.
Hier nimmt sich Einstein die nur scheinbar banale Aufgabe vor, die Länge eines relativ zum Beobachter bewegten Stabes zu bestimmen. Es wird sich zeigen, dass von diesem simplen Gedankenversuch die Umwälzung der Kinematik ausgeht.
Einsteins Beschreibung mutet etwas umständlich an, zudem spricht er wieder von »ruhenden System«, wozu nun auch noch ein »bewegtes System« kommt. Es ist zweckmäßig, immer von zwei relativ zu einander bewegten Systemen S und S' (oder K und k) zu sprechen, wobei sich S' mit der (Bahn-)Geschwindigkeit v in Richtung der positiven X-Achse des Systems S bewegen und die Achsen der Systeme paarweise parallel sein sollen.
a) Im System S' befinde sich ruhend ein starrer Stab, dessen Achse parallel zur X'-Achse sei. Ein im System S' ruhender Beobachter messe auf die übliche Weise die Länge dieses Stabes. Der so ermittelte Wert sei l'.
b) Wenn ein im System S ruhender Beobachter die Länge des sich an ihm vorbei bewegenden Stabes messen will, so bietet sich dazu folgende Methode an: Der Beobachter im System S ermittelt (auf irgendeine scharfsinnig ausgedachte Weise) mit Hilfe von Uhren, die in S ruhen und gemäß § 1 synchronisiert wurden, in welchen Punkten des Systems S sich Anfang und Ende des auszumessenden Stabes zu einer bestimmten Zeit t befinden. Der Abstand dieser beiden Punkte ist dann die Länge l des Stabes im System S. Dieses Verfahren vereinbaren wir als Messvorschrift für die Länge von Körpern, die sich relativ zum Beobachter bewegen.
Es wird sich zeigen, dass l und l' verschieden sind. Anders gesagt: Der Stab hat für einen relativ zu ihm bewegten Beobachter eine andere Länge als für einen relativ zu ihm ruhenden (»Relativität von Längen«). Einstein begründet diese Behauptung an dieser Stelle nicht, und er könnte es auch noch nicht tun.
Anmerkung: Die »Relativität von Längen« wird noch immer als »Lorentz-Kontraktion« bezeichnet. Dies ist zwar bequem, aber irreführend: Körper kontrahieren sich nicht, wenn sie in Bewegung gesetzt werden. Sie haben lediglich für einen relativ zu ihnen bewegten Beobachter eine geringere Länge, weil die Uhren dieses Beobachters anders gehen. (Daraus erklärt sich auch das »Bell-Paradoxon«, das keines ist.) Übrigens ist der Begriff »Lorentz-Kontraktion« einige Jahre älter als die Spezielle Relativitätstheorie und ist durch diese obsolet geworden.
Einstein weist nun (siehe den ersten Absatz des folgenden Abschnitts) darauf hin, dass die »klassische« Kinematik stillschweigend annimmt, die nach a) und b) bestimmten Längen seien gleich, oder dass ein bewegter starrer Körper in der Zeitepoche t (gemeint ist: zu einem bestimmten Zeitpunkt) in geometrischer Beziehung vollständig durch denselben Körper, wenn er in bestimmter Lage ruht, ersetzbar sei. Noch anders gesagt: Die klassische Kinematik nimmt an, der bewegte und der unbewegte Körper seien kongruent (deckungsgleich). Einstein macht sich nun daran, diese Annahme zu widerlegen. Dies ist nicht möglich, ohne auf die »Relativität von Zeiten« einzugehen. Und das geschieht als Nächstes.
Dazu denkt sich Einstein ein Gedankenexperiment aus: (Die im 2. Absatz beschriebenen Uhren erweisen sich nicht nur als überflüssig, sondern die Versuchsanordnung ist nicht möglich. Wie Einstein nachfolgend zeigt, laufen relativ zueinander bewegte Uhren unterschiedlich schnell. Daher können die an den Enden des bewegten Stabes angebrachten Uhren nicht synchron sein mit den Uhren im "ruhenden System".) Am hinteren Ende A des im System S' ruhenden Stabes denkt er sich eine Lichtquelle montiert, die kurze Lichtblitze aussenden kann, am vorderen Ende B einen Spiegel, der die Lichtblitze nach A reflektiert. Es ist es also die gleiche Versuchsanordnung, wie sie oben zur Kontrolle der Synchronizität von Uhren benutzt wurde, mit dem Unterschied, dass wir nun zwei Bezugssysteme haben. Hier sind drei Momentaufnahmen der beiden Systeme:
Der zur Zeit tA ausgesandte Lichtimpuls trifft zur Zeit tB in B ein. Im Zeitintervall tB - tA hat sich das System S' um die Strecke
vor dem Lichtimpuls her bewegt. Die vom Lichtimpuls zurückgelegte Strecke ist also
. Daraus folgt
wobei rAB der Abstand AB ist. Nach dem Ordnen ergibt sich
Analog findet man für die Laufzeit des Lichtimpulses auf dem Rückweg:
Die beiden Laufzeiten sind also, wie zu erwarten, unterschiedlich (während die im System S' gemessenen Werte gleich wären). Nun denken wir uns zwei Beobachter in den Punkten A und B des Systems S', welche zu den drei Zeiten die Uhren des Systems S beobachten, die ihnen jeweils gegenüberstehen. Aus der Ungleichheit der beiden Differenzen schließen sie, indem sie das oben beschriebene Kriterium für Synchronizität anwenden, dass die beiden Uhren nicht synchron gehen.
Fazit: Zwei Uhren an zwei verschiedenen Stellen des Systems S, die synchron gehen, tun dies, vom System S' aus beurteilt, nicht.
Daraus folgt, dass dem Prädikat »gleichzeitig« keine absolute Bedeutung zukommt: Die beiden Uhren, die im System S gleichzeitig eine bestimmte Zeigerstellung einnehmen, tun dies für einen Beobachter in S' nicht gleichzeitig.
Zu diesem Ergebnis hätte Einstein auch deutlich einfacher und vor allem anschaulicher kommen können mit Hilfe eines Gedankenexperiments, das ihm erst später eingefallen ist.
Gegeben zwei relativ zu einander bewegte Bezugssysteme (v = 100 000 km/s) in der so genannten Ausgangssituation. In diesem Moment (also gleichzeitig) sollen in den Punkten A und B (im System S) bzw. in A' und B' (im System S') zwei Blitze einschlagen.
Wenn die Punkte 300 m rechts bzw. links von O und O' liegen, treffen die von den Blitzen ausgehenden Lichtimpulsen nach 1 µs in der Mitte zusammen. Aber: In der Mitte von AB oder von A'B'?. Je nach Standort des Beobachters hat sich nämlich inzwischen das System S' um 100 m nach rechts oder das System S um 100 m nach links bewegt – und mit dem System auch die Einschlagpunkte der Blitze:
Die Lichtimpulse treffen also nur für einen der beiden Beobachter in der Mitte zusammen, für den anderen legen bis zum Zusammentreffen unterschiedlich lange Wege zurück. Folglich haben die Blitze für diesen Beobachter nicht gleichzeitig eingeschlagen.
Durch die »Relativität der Gleichzeitigkeit« wird auch die »Relativität von Längen« plausibel: Die korrekte Messung der Länge eines sich vorbei bewegenden Stabes erfordert, dass die Position seines Anfangs- und die seines Endpunktes gleichzeitig ermittelt werden. Wenn sich aber die Beobachter in den beiden Systemen nicht darüber einig sind, was »gleichzeitig« ist, kommen sie natürlich auch zu unterschiedlichen Auffassungen über die Länge des Stabes. So wird der Beobachter in S' reklamieren, dass die Position des Punktes A nicht gleichzeitig mit der Position des Punktes B ermittelt wurde, sondern später. In der Zwischenzeit habe sich der Punkt A weiter nach rechts bewegt, und folglich falle das Messergebnis zu klein aus.
Historisches:
Wie in der Einleitung geschildert, hat Einstein seine Gedanken zur Relativität der Gleichzeitigkeit in Auseinandersetzung mit der von Lorentz eingeführten mathematischen Hilfsvariable "Ortszeit" entwickelt und dabei festgestellt, dass Zeit und Signalgeschwindigkeit untrennbar zusammengehören. Eine ähnliche Interpretation der Lorentzschen Ortszeit noch vor Einstein findet sich bereits bei Poincaré. 1898 schrieb er: (entnommen aus Lorentzsche Äthertheorie)
- Henri Poincaré
„Wir haben keine unmittelbare Anschauung für die Gleichzeitigkeit, ebenso wenig wie für die Gleichheit zweier Zeiträume. Wenn wir diese Anschauung zu haben glauben, so ist das eine Täuschung. Wir halten uns an bestimmte Regeln, die wir meist anwenden, ohne uns Rechenschaft darüber zu geben [...] Wir wählen also diese Regeln, nicht, weil sie wahr sind, sondern weil sie die bequemsten sind, und wir können sie zusammenfassen und sagen: Die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse oder ihre Aufeinanderfolge und die Gleichheit zweier Zeiträume müssen derart definiert werden, dass der Wortlaut der Naturgesetze so einfach wie möglich wird.“Quelle: Der Wert der Wissenschaft1900 interpretierte er dann die Ortszeit als Ergebnis einer mit Lichtsignalen durchgeführten Synchronisation. Er nahm an, dass zwei im Äther bewegte Beobachter A und B ihre Uhren mit optischen Signalen synchronisieren. Da sie glauben, sich in Ruhe zu befinden, müssen sie jetzt nur noch die Lichtlaufzeiten berücksichtigen und ihre Signale kreuzen um zu überprüfen, ob ihre Uhren synchron sind. Hingegen aus Sicht eines im Äther ruhenden Beobachters läuft eine Uhr dem Signal entgegen, und die andere läuft ihm davon. Die Uhren sind also nicht synchron, sondern zeigen nur die Ortszeit an. Da die Beobachter aber kein Mittel haben zu entscheiden, ob sie in Bewegung sind oder nicht, werden sie von dem Fehler nichts bemerken. 1904 illustrierte er dieselbe Methode auf folgende Weise: A sendet zum Zeitpunkt 0 ein Signal nach B, welche bei der Ankunft t anzeigt. Und B sendet zum Zeitpunkt 0 ein Signal nach A, welche bei der Ankunft t anzeigt. Wenn in beiden Fällen t den selben Wert ergibt sind die Uhren synchron. Im Gegensatz zu Einstein blieb Poincaré aber bei der seiner Ansicht nach „bequemeren“ Vorstellung, dass die „wahre“ Zeit trotzdem nur von im Äther ruhenden Uhren angezeigt werde.
Für Quellen siehe Einleitung.
