A. Einstein: Kommentare und Erläuterungen: Zur Elektrodynamik bewegter Körper: Elektrodynamischer Teil: §7

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  § 7. Dopplersches Prinzip und Aberration

Der Vater des nach ihm benannten Prinzips heißt Doppler, nicht Doppeler.

»Elektrodynamische Wellen« heißen heute elektromagnetische Wellen.

Bei sehr großer Entfernung der Quelle von O sind die Wellen in der Umgebung von O praktisch eben, und als solche werden sie hier mathematisch dargestellt. Mit Vektorgleichungen können sie so beschrieben werden:

${\overrightarrow {E}}={\overrightarrow {E_{0}}}\,\sin {\mathit {\Phi }},\quad {\overrightarrow {H}}={\overrightarrow {H_{0}}}\,\sin {\mathit {\Phi }}.$

Φ ist der so genannte Phasenwinkel. Für eine ebene Welle kann er dargestellt werden als

${\mathit {\Phi }}=\omega \left({t-{\frac {ax+by+cz}{V}}}\right)\,,$

wenn für t = 0 im Ursprung O Φ = 0 ist. ω ist die Kreisfrequenz der Welle (ω = 2 π f). In der folgenden Abbildung ist zur Vereinfachung angenommen, dass die Frontebenen der Welle (blaue Linien) auf der XY-Ebene senkrecht stehen.

Der Einheitsvektor der Wellennormalen ist n = (a   b   c) = (cos α   cos β   cos γ).

Der Betrag des Skalarprodukts r n = ax + by + cz ist gleich der Länge der senkrechten Projektion von r auf n, also gleich dem Abstand OA. Der Quotient

${\frac {ax+by+cz}{V}}$

ist die Laufzeit der Welle von A nach O. (Im abgebildeten Fall ist diese negativ, da r und n einen stumpfen Winkel bilden, und der Punkt A von der Welle früher erreicht wird als O.

Dies bedarf wohl einer Erklärung. Zunächst ist sieben Mal Φ' durch Φ zu ersetzen, denn der Phasenwinkel der Welle im Punkt P ist eine »absolute« Größe, die nicht vom Bezugssystem abhängt. Er kann zwar zum Einen durch die Parameter ω, a, b, c und die Orts- und Zeitkoordinaten x, y, z, t in K, zum Anderen durch die entsprechenden Größen in k ausgedrückt werden, aber das rechtfertigt noch nicht zwei verschiedene Bezeichnungen für dieselbe Größe. Dies bestätigt auch die Durchführung der Rechnung. Ausgehend von

${\mathit {\Phi }}=\omega \left({t-{\frac {ax+by+cz}{V}}}\right)$

findet man mittels der Transformationsgleichungen für t, x, y und z zunächst:

${\mathit {\Phi }}=\omega \left({\beta \tau +\beta {\frac {v}{V^{2}}}\xi -{\frac {a\beta \left({\xi +v\tau }\right)+b\eta +c\zeta }{V}}}\right)$

und durch Ordnen

${\mathit {\Phi }}=\beta \omega \left({\tau \left({1-{\frac {av}{V}}}\right)-{\frac {\xi \left({a-{\frac {v}{V}}}\right)+{\frac {b}{\beta }}\eta +{\frac {c}{\beta }}\zeta }{V}}}\right).\quad (3)$

Wenn wir nun bedenken, dass im System k für Φ gelten muss

${\mathit {\Phi }}=\omega '\left({\tau -{\frac {a'\xi +b'\eta +c'\zeta }{V}}}\right),\quad (4)$

wobei ω' die Kreisfrequenz der Welle in k,

τ der betrachtete Zeitpunkt in k,

ξ, η, ζ die Koordinaten von P in k und

a' , b' , c' die Richtungskosinus der Wellennormalen in k sind, dann müssen wir – um die beiden Gleichungen vergleichen zu können - die Gleichung (3) zunächst umformen:

${\mathit {\Phi }}=\beta \omega \left({1-{\frac {av}{V}}}\right)\left[{\tau -{\frac {\xi \left({a-{\frac {v}{V}}}\right)+{\frac {b}{\beta }}\eta +{\frac {c}{\beta }}\zeta }{\left({1-{\frac {av}{V}}}\right)V}}}\right].$

Jetzt ergibt ein Vergleich der einander entsprechenden Größen:

$\omega '=\beta \left({1-{\frac {av}{V}}}\right)\omega ,\quad a'={\frac {a-{\frac {v}{V}}}{1-{\frac {av}{V}}}},\quad b'={\frac {b}{\beta \left({1-{\frac {av}{V}}}\right)}},\quad c'={\frac {b'}{\beta \left({1-{\frac {av}{V}}}\right)}}.$

Den Inhalt dieses langen Satzes erklärt folgende Abbildung:

cos φ ist der »erste« Richtungskosinus, meist cos α genannt, und hier identisch mit der Größe a in den obigen Formeln.

Korrektur: Ersetze $-\infty$ durch -V.

Für φ = 0 bewegt sich das Licht nach rechts, parallel zur X-Achse. Wenn dann v < 0 ist, bewegt sich k dem Licht entgegen.

Zum 2. Absatz: Es muss heißen: "Nennt man φ' den Winkel zwischen Wellennormale (Strahlrichtung) im bewegten System und der Ξ-Achse, so ..."

Zum 4. Absatz: Es ist gleichgültig, ob man mit A die Amplitude des elektrischen oder die des magnetischen Feldvektors bezeichnet, weil diese im CGS-System bei einer elektromagnetischen Welle gleich sind.

Zu dem Ergebnis kommt man folgendermaßen:

Wir betrachten einen Lichtstrahl, der in der XY-Ebene verläuft und mit der X-Achse den Winkel φ bildet. Der Lichtstrahl sei linear polarisiert, und zwar so, dass der elektrische Feldvektor in der XY-Ebene, der magnetische Feldvektor parallel zur Z-Achse schwingt. Die Amplitude der elektrischen Feldstärke sei E₀, die der magnetischen Feldstärke H₀ = N₀.

Im CGS-System ist die Amplitude des elektrischen Feldes gleich der des magnetischen Feldes: E₀ = H₀.

Wir zerlegen E₀ in die Komponenten X₀ und Y₀. Es ist

$X_{0}=E_{0}\sin \varphi ,\quad Y_{0}=E_{0}\cos \varphi \;$

und

$E_{0}^{2}=X_{0}^{2}+Y_{0}^{2}.$

Im relativ zu K mit der Geschwindigkeit v bewegten System k ist

$\left({E_{0}^{'}}\right)^{2}=\left({X_{0}^{'}}\right)^{2}+\left({Y_{0}^{'}}\right)^{2}=\left({X_{0}}\right)^{2}+{\beta }^{2}\left({Y_{0}-{\frac {v}{V}}N_{0}}\right)^{2}$

oder

$\left({E_{0}^{'}}\right)^{2}=E_{0}^{2}\sin ^{2}\varphi +\beta ^{2}\left({E_{0}\cos \varphi -{\frac {v}{V}}E_{0}}\right)^{2},$

und somit

$\left({\frac {E_{0}^{'}}{E_{0}}}\right)^{2}=\sin ^{2}\varphi +\beta ^{2}\left({\cos \varphi -{\frac {v}{V}}}\right)^{2}={\frac {\left({1-{\frac {v^{2}}{V^{2}}}}\right)\sin ^{2}\varphi +\left({\cos \varphi -{\frac {v}{V}}}\right)^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{V^{2}}}}},$

und schließlich

$\left({\frac {E_{0}^{'}}{E_{0}}}\right)^{2}={\frac {\left({1-{\frac {v^{2}}{V^{2}}}}\right)\left({1-\cos ^{2}\varphi }\right)+\left({\cos \varphi -{\frac {v}{V}}}\right)^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{V^{2}}}}}={\frac {\left({1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }\right)^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{V^{2}}}}}.$

Dasselbe Ergebnis erhält man, wenn die Polarisationsrichtung der Welle um 90° gedreht ist. Bei beliebiger Polarisationsrichtung kann die Welle in zwei Teilwellen zerlegt werden, welche die oben behandelten Polarisationsrichtungen haben. Das Ergebnis gilt also ganz allgemein.

Zum letzten Absatz ist anzumerken, dass hier wieder v = - V zu setzen ist.

 

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