Beweisarchiv: Analysis: Ungleichungen: Young'sche Ungleichung
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- Konvexität und Stetigkeit
Die Young'sche Ungleichung gehört zu den fundamentalen Ungleichungen der Analysis. Sie hat viele Anwendungen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, aber auch bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen und wird beispielsweise auch für den standardmäßigen Beweis der Hölder-Ungleichung verwendet.
Allgemeine Fassung Bearbeiten
Aussage Bearbeiten
Sei eine stetige, streng monoton wachsende und unbeschränkte Funktion mit . Insbesondere existiert ihre Umkehrfunktion , welche ebenfalls stetig, streng monoton wachsend und unbeschränkt ist. Dann gilt für alle die Young'sche Ungleichung
Die Gleichheit gilt genau dann, wenn ist.
Beweis Bearbeiten
Sei eine Folge von stetig differenzierbaren Funktionen, welche monoton wachsend und gleichmäßig gegen konvergiert. Dann gilt mit der Substitution und anschließender partieller Integration
- .
Durch Grenzübergang folgt
- ,
also
Im Fall ist dieser Ausdruck gleich . Für ist , da der Integrand auf strikt größer als ist. Für verwende man analog .
Spezialfall Bearbeiten
Aussage Bearbeiten
Sind mit und , so gilt
mit Gleichheit genau dann, wenn .
Beweise Bearbeiten
aus der allgemeinen Fassung Bearbeiten
Setze . Die Umkehrfunktion lautet dann . Die Gleichheitsbedingung ist äquivalent zu .
unmittelbar Bearbeiten
Ohne Einschränkung seien . Wegen
ist die Exponentialfunktion strikt konvex. Da und , folgt
Gleichheit gilt wegen der strikten Konvexität genau dann, wenn .
als Spezialfall der Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel Bearbeiten
Setze für die Summanden und und die Gewichte und . Die Gleichheitsbedingung der arithmetisch-geometrischen Ungleichung überträgt sich unmittelbar.
Skalierte Version des Spezialfalls Bearbeiten
Aussage Bearbeiten
Für alle mit gilt
Beweis Bearbeiten
Setze im vorigen Spezialfall für und .