Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Satz von Rolle
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- Konvexität und Stetigkeit
Der Satz von Rolle garantiert die Existenz horizontaler Tangenten, wenn es eine horizontale Sekante gibt.
Er ist zugleich ein Spezialfall des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung als auch der erste Schritt diesen zu beweisen.
Voraussetzung Bearbeiten
Sei und die Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall stetig sowie auf dem offenen Intervall differenzierbar. Ferner sei .
![{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ab61178bf5349838758ffe3d96135406ed0245)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
Behauptung Bearbeiten
Dann hat die Ableitung in eine Nullstelle, d.h. es gibt ein mit und .
Beweis Bearbeiten
Nach dem Satz von Weierstraß nimmt die stetige Funktion auf ihr Maximum und auch ihr Minimum an, d.h. es gibt und mit für alle .
![{\displaystyle c\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997256364b06acf0710e5d24da39e8c42991a249)
![{\displaystyle d\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7eddac8e7ce8e329da032f8dcf4d31e0765050)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
Liegt hierbei , so können wir wählen, denn dann ist das Minimum auch ein lokales Minimum und nach dem notwendigen Kriterium für lokale Extrema gilt . Ebenso können wir wählen, falls .
Es bleibt der Fall, dass sowohl als auch , aber dann folgt , d.h. ist konstant und dann gilt sogar für jedes .
