Dann gilt
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
,
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}
d.h. der Grenzwert links existiert und hat den angegebenen Wert.
Wir dürfen
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
a
{\displaystyle a}
f
(
a
)
=
g
(
a
)
=
0
{\displaystyle f(a)=g(a)=0}
a
{\displaystyle a}
Damit
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
g
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle g'(x)=0}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
g
′
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g'(x)\neq 0}
a
<
x
<
a
+
ε
{\displaystyle a<x<a+\varepsilon }
Für
0
<
h
<
ε
{\displaystyle 0<h<\varepsilon }
f
,
g
{\displaystyle f,g}
[
a
,
a
+
h
]
{\displaystyle [a,a+h]}
(
a
,
a
+
h
)
{\displaystyle (a,a+h)}
g
′
{\displaystyle g'}
(
a
,
a
+
h
)
{\displaystyle (a,a+h)}
(erweiterte) Mittelwertsatz der Differentialrechnung angewendet werden, d.h. es gibt zu jedem
h
{\displaystyle h}
0
<
h
<
ε
{\displaystyle 0<h<\varepsilon }
c
h
{\displaystyle c_{h}}
a
<
c
h
<
a
+
h
{\displaystyle a<c_{h}<a+h}
f
′
(
c
h
)
g
′
(
c
h
)
=
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
g
(
a
+
h
)
−
g
(
a
)
=
f
(
a
+
h
)
g
(
a
+
h
)
{\displaystyle {f'(c_{h}) \over g'(c_{h})}={f(a+h)-f(a) \over g(a+h)-g(a)}={f(a+h) \over g(a+h)}}
hierbei Letzteres wegen
f
(
a
)
=
g
(
a
)
=
0
{\displaystyle f(a)=g(a)=0}
Wenn
h
→
0
{\displaystyle h\to 0}
c
h
→
a
{\displaystyle c_{h}\to a}
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
′
(
c
h
)
g
′
(
c
h
)
=
lim
h
→
0
f
(
a
+
h
)
g
(
a
+
h
)
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}{f'(x) \over g'(x)}=\lim _{h\to 0}{f'(c_{h}) \over g'(c_{h})}=\lim _{h\to 0}{f(a+h) \over g(a+h)}=\lim _{x\to a}{f(x) \over g(x)}}
was zu zeigen war.
Eine andere Version der Regel von L'Hospital, die nicht sofort aus der eben gezeigten folgt, ist die folgende:
Dann gilt
lim
x
→
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
∞
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
,
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}
d.h. der Grenzwert links existiert und hat den angegebenen Wert.
Für jedes
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
α
>
a
{\displaystyle \alpha >a}
|
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
−
L
|
<
ε
4
für
x
>
α
.
{\displaystyle \left|{\frac {f'(x)}{g'(x)}}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}\quad {\text{für }}x>\alpha .}
Weil
g
{\displaystyle g}
∞
{\displaystyle \infty }
β
>
α
{\displaystyle \beta >\alpha }
g
(
x
)
>
g
(
α
)
für
x
>
β
.
{\displaystyle g(x)>g(\alpha )\quad {\text{für }}x>\beta .}
Nun definieren wir eine neue Funktion
h
:
]
β
,
∞
[
→
R
{\displaystyle h:]\beta ,\infty [\to \mathbb {R} }
h
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
α
)
g
(
x
)
−
g
(
α
)
{\displaystyle h(x)={\frac {f(x)-f(\alpha )}{g(x)-g(\alpha )}}}
Nach Wahl von
β
{\displaystyle \beta }
Nun gilt für alle
x
>
β
{\displaystyle x>\beta }
h
(
x
)
−
L
=
f
(
x
)
−
f
(
α
)
g
(
x
)
−
g
(
α
)
−
L
=
f
(
x
)
−
f
(
α
)
−
L
g
(
x
)
+
L
g
(
α
)
g
(
x
)
−
g
(
α
)
=
f
(
x
)
−
L
g
(
x
)
+
L
g
(
α
)
−
f
(
α
)
g
(
x
)
−
g
(
α
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
L
+
L
g
(
α
)
−
f
(
α
)
g
(
x
)
1
−
g
(
α
)
g
(
x
)
.
{\displaystyle h(x)-L={\frac {f(x)-f(\alpha )}{g(x)-g(\alpha )}}-L={\frac {f(x)-f(\alpha )-Lg(x)+Lg(\alpha )}{g(x)-g(\alpha )}}={\frac {f(x)-Lg(x)+Lg(\alpha )-f(\alpha )}{g(x)-g(\alpha )}}={\frac {{\frac {f(x)}{g(x)}}-L+{\frac {Lg(\alpha )-f(\alpha )}{g(x)}}}{1-{\frac {g(\alpha )}{g(x)}}}}.}
Dies lösen wir nach
f
(
x
)
g
(
x
)
−
L
{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}-L}
f
(
x
)
g
(
x
)
−
L
=
(
h
(
x
)
−
L
)
(
1
−
g
(
α
)
g
(
x
)
)
+
f
(
α
)
−
L
g
(
α
)
g
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}-L=(h(x)-L)\left(1-{\frac {g(\alpha )}{g(x)}}\right)+{\frac {f(\alpha )-Lg(\alpha )}{g(x)}}.}
Nun nehmen wir den Betrag auf beiden Seiten und erhalten mit der Dreiecksungleichung:
|
f
(
x
)
g
(
x
)
−
L
|
≤
|
h
(
x
)
−
L
|
|
1
−
g
(
α
)
g
(
x
)
|
+
|
f
(
α
)
−
L
g
(
α
)
|
|
g
(
x
)
|
.
{\displaystyle \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-L\right|\leq |h(x)-L|\left|1-{\frac {g(\alpha )}{g(x)}}\right|+{\frac {\left|f(\alpha )-Lg(\alpha )\right|}{|g(x)|}}.}
Wir müssen nun noch zeigen, dass dieser Ausdruck kleiner als
ε
{\displaystyle \varepsilon }
x
{\displaystyle x}
Weil
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
lim
x
→
∞
|
1
−
g
(
α
)
g
(
x
)
|
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left|1-{\frac {g(\alpha )}{g(x)}}\right|=1\quad }
lim
x
→
∞
|
f
(
α
)
−
L
g
(
α
)
|
|
g
(
x
)
|
=
0
{\displaystyle \quad \lim _{x\to \infty }{\frac {\left|f(\alpha )-Lg(\alpha )\right|}{|g(x)|}}=0}
Weil
|
1
−
g
(
α
)
g
(
x
)
|
{\displaystyle \left|1-{\frac {g(\alpha )}{g(x)}}\right|}
|
f
(
α
)
−
L
g
(
α
)
|
|
g
(
x
)
|
{\displaystyle {\frac {\left|f(\alpha )-Lg(\alpha )\right|}{|g(x)|}}}
ε
2
{\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}}
γ
>
β
{\displaystyle \gamma >\beta }
x
>
γ
{\displaystyle x>\gamma }
|
1
−
g
(
α
)
g
(
x
)
|
<
2
{\displaystyle \left|1-{\frac {g(\alpha )}{g(x)}}\right|<2}
|
f
(
α
)
−
L
g
(
α
)
|
|
g
(
x
)
|
<
ε
2
{\displaystyle {\frac {\left|f(\alpha )-Lg(\alpha )\right|}{|g(x)|}}<{\frac {\varepsilon }{2}}}
Nun, wo wir die Zahl
γ
{\displaystyle \gamma }
x
{\displaystyle x}
γ
{\displaystyle \gamma }
|
f
(
x
)
g
(
x
)
−
L
|
≤
|
h
(
x
)
−
L
|
|
1
−
g
(
α
)
g
(
x
)
|
⏟
<
2
+
|
f
(
α
)
−
L
g
(
α
)
|
|
g
(
x
)
|
⏟
<
ε
/
2
<
|
h
(
x
)
−
L
|
⋅
2
+
ε
2
.
{\displaystyle \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-L\right|\leq |h(x)-L|\underbrace {\left|1-{\frac {g(\alpha )}{g(x)}}\right|} _{<2}+\underbrace {\frac {\left|f(\alpha )-Lg(\alpha )\right|}{|g(x)|}} _{<\varepsilon /2}<|h(x)-L|\cdot 2+{\frac {\varepsilon }{2}}.}
Der Ausdruck
|
h
(
x
)
−
L
|
{\displaystyle |h(x)-L|}
|
h
(
x
)
−
L
|
=
|
f
(
x
)
−
f
(
α
)
g
(
x
)
−
g
(
α
)
−
L
|
=
|
f
′
(
ξ
)
g
′
(
ξ
)
−
L
|
<
ε
4
.
{\displaystyle |h(x)-L|=\left|{\frac {f(x)-f(\alpha )}{g(x)-g(\alpha )}}-L\right|=\left|{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}.}
Die Zahl
ξ
{\displaystyle \xi }
α
{\displaystyle \alpha }
x
{\displaystyle x}
α
{\displaystyle \alpha }
Zusammengefasst heißt das nun, dass wir für jedes
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
γ
{\displaystyle \gamma }
x
>
γ
{\displaystyle x>\gamma }
|
f
(
x
)
g
(
x
)
−
L
|
<
|
h
(
x
)
−
L
|
⋅
2
+
ε
2
<
ε
4
⋅
2
+
ε
2
=
ε
.
{\displaystyle \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-L\right|<|h(x)-L|\cdot 2+{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {\varepsilon }{4}}\cdot 2+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .}
Das war zu zeigen.
![{\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c9cdd885f66cd36e34a6418e28444dfc32ed27)
![{\displaystyle [a,a+h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f22e0d7755f1c29d2e577ab5a71ef94f668555e)
![{\displaystyle h:]\beta ,\infty [\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc644b449c9e1eeab6434406c52a8ac09378011)
