Wikibooks:Abstellraum: Strukturwissenschaften: Hesse-Matrix

Die Hesse-Matrix (nach Otto Hesse) fasst die partiellen zweiten Ableitungen einer mehrdimensionalen Funktion $f(x_{1},..x_{n})$, die in die reellen oder komplexen Zahlen abbildet, zusammen:

$\operatorname {H} (f)=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\[,5em]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$

Mit Hilfe der Hesse-Matrix H lässt sich der Charakter der kritischen Punkte einer Abbildung in $\mathbb {R} ^{n}$ bestimmen. Dazu bestimmt man für die zuvor ermittelten kritischen Punkte die Eigenwerte der Hesse-Matrix H. Sind für einen Punkt x alle Eigenwerte der Hesse-Matrix von f größer als 0, d. h. ist H positiv definit, so ist der Punkt ein lokales Minimum der Funktion. Sind alle Eigenwerte kleiner als 0, d.h. ist H negativ definit, so handelt es sich um ein lokales Maximum. Der Fall, dass sowohl Werte größer als 0, als auch kleiner als 0 vorkommen, tritt auf, wenn es sich um einen Sattelpunkt der Funktion handelt. In diesem Fall ist die Matrix H indefinit. Ist 0 ein Eigenwert, so muss der Charakter des kritischen Punktes auf anderem Wege ermittelt werden.

Die Hesse-Matrix entspricht der Ableitung des Gradienten.

Typische Anwendung

Im Bereich der Wirtschaftswissenschaften taucht die Hesse-Matrix recht häufig auf. Hierbei benutzt man sie beispielsweise, um in der Produktionsplanung Optimierungstheorie zu betreiben.

Die Betriebs- und Volkswirtschaft modelliert dabei Firmen meistens in Form einfacher Produktionsfunktionen $f(x,y)$ mehrerer Veränderlicher. Auf der Suche nach einem Gewinnmaximum ergibt sich, z.B.:

$G(x_{1},...,x_{n})=p\cdot f(x_{1},...,x_{n})-\sum _{i=1}^{n}w_{i}\cdot x_{i}$

Diese Funktion möchte man im einfachsten Fall ohne Nebenbedingung maximieren. Wird zusätzlich angenommen, dass die Firma unter vollständiger Konkurrenz agiert, so sind die Variablen p=Outputpreis und w=Inputpreis exogen gegeben.

Laut Bedingung erster Ordnung muss für alle Inputmengen x gelten:

$p\cdot {\partial f \over \partial x_{i}}-w_{i}=0$

Ökonomisch gesehen wird gefordert, dass die Grenzkosten dem Grenzprodukt entsprechen. Weiß man, dass f eine strikt konkave (oder strikt konvexe) Funktion ist, so wird die Überprüfung der hinreichenden Bedingung für Extremalpunkte hinfällig (auf strikte Konkavität bzw. strikte Konvexität kann man leicht über die Homogenität der Funktion schließen).

Ansonsten braucht es der Hesse-Matrix:

$HG(x_{1},...,x_{n})=p\cdot Hf(x_{1},...,x_{n})$

ist die Hesse-Matrix negativ definit, so handelt es sich bei dem kritischen Punkt um ein lokales Maximum bzw. für strikt konkave Funktionen f sogar um ein globales Maximum von G.

Rechenbeispiel

Nehmen wir der Einfacheit halber an, dass die Produktionsfunktion vom Typ Cobb-Douglas ist, d.h.:

$f(x,y)=x^{\alpha _{1}}\cdot y^{\alpha _{2}}$

und speziell nur von zwei reellen Variablen x,y abhängig ist. Die Inputpreise seien ferner konstant, d.h. nicht mengenabhängig. Dann fordert die notwendige Bedingung (Bedingung erster Ordnung), dass gilt:

$p\cdot {\partial f \over \partial x}-w_{x}=0$ und $p\cdot {\partial f \over \partial y}-w_{y}=0$

Konkret:

$p\cdot \alpha _{1}\cdot x^{\alpha _{1}-1}\cdot y^{\alpha _{2}}=w_{1}$

$p\cdot \alpha _{2}\cdot y^{\alpha _{2}-1}\cdot x^{\alpha _{1}}=w_{2}$

Folglich ist die Kombination an Input optimal, die obige Gleichungen erfüllt. Konkret:

$x=\left({w_{1} \over p\cdot y^{\alpha _{2}}\cdot \alpha _{1}}\right)^{1 \over \alpha _{1}-1}$

Die Lösung für $y$ erhält man durch vertauschen der Indizes. Ob hierbei ein Minimum oder Maximum vorliegt, kann nun durch die Definitheit der Hesse-Matrix erledigt werden (entwickle nach Anleitung oben !). Geschickt wäre es jedoch auch, zu prüfen ob $\alpha _{1}+\alpha _{2}<1$, dann wäre f homogen zum Grade $\alpha _{1}+\alpha _{2}<1$ (man sagt auch f hat abnehmende Skalenerträge) und somit konkav. Der kritische Punkt wäre ein Maximum.

Ist f homogen zu einem Grad größer 1 bzw. ist $\alpha _{1}+\alpha _{2}>1$, so ist die Funktion strikt konvex und das Gewinnmaxierungsproblem besitzt keine Lösung sofern die Inputpreise nicht mengenabhängig sind, da die Grenzkosten kleiner als das Grenzprodukte sind für alle Produktionsmengen. Die optimale Produktion ware dann $\infty$ (bzw. die maximale Kapazitätsgrenze).

Weiteres Anwendungsgebiet innerhalb der Ökonomie ist speziell die Ökonometrie, die ohnehin stark von der linearen Algebra geprägt ist.