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Einleitung

Skalare Größen und vektorielle Größen

In der Physik wird zwischen gerichteten und ungerichteten Größen (und Größenarten) unterschieden.

Ungerichtete Größen sind solche, die durch ihren Größenwert (das Produkt aus einem Zahlenwert und einer Einheit) vollständig beschrieben sind. Dazu gehören zum Beispiel die Temperatur und der Luftdruck in einem Punkt des Raumes.

Gerichtete Größen dagegen sind solche, zu deren vollständiger Beschreibung zusätzlich eine Richtungsangabe erforderlich ist. Gerichtete Größen sind zum Beispiel: Die Geschwindigkeit und die Beschleunigung eines Körpers, die auf einen Körper wirkende Kraft, die elektrische und magnetische Feldstärke in einem Punkt des Raumes.

Ungerichtete Größen werden als skalare Größen (kurz: Skalare) bezeichnet, gerichtete Größen als vektorielle Größen (kurz: Vektoren).

(In dem Teilgebiet der Mathematik, das »Lineare Algebra« heißt, haben Vektoren eine etwas andere Bedeutung; wir beschäftigen uns hier jedoch nur mit physikalischen Vektoren und ihrer mathematischen Behandlung.)

In der Physik unterscheidet man verschiedene Arten von Vektoren:

Freie Vektoren können parallel zu sich selbst im Raum verschoben werden.

Linienflüchtige Vektoren (zum Beispiel Kräfte) sind an ihre Wirkungslinie gebunden und nur längs dieser verschiebbar.

Ortsgebundene Vektoren können überhaupt nicht verschoben werden. Dazu gehören die Feldvektoren, die einem bestimmten Punkt zugeordnet sind, und die Ortsvektoren, die immer im Ursprung des Basissystems beginnen.

Die Unterscheidung zwischen diesen Vektoren trifft die Experimentalphysik. Bei der Herleitung der Rechengesetze ist der Unterschied meist bedeutungslos.

Vom Schulunterricht her wird der Vektorbegriff oft mit einer Kraft verbunden, und tatsächlich wird seine Einführung genau in diesem Zusammenhang unumgänglich. Der einfachste und elementare Vektor aber ist der gerichtete Abstand zweier Punkte, und genau damit wollen wir beginnen.

Eine vektorielle Größe wird durch einen Pfeil dargestellt. Dieser Pfeil wird ebenfalls Vektor genannt. Er hat dieselbe Richtung wie die vektorielle Größe, die er darstellt. Seine Länge entspricht nach einem möglichst zweckmäßig zu wählendem Maßstab dem Größenwert der dargestellten Größe, d. h. sie ist ihm proportional. So kann zum Beispiel ein 3 cm langes Vektorsymbol (ein 3 cm langer Pfeil) eine Kraft von 300 Newton (N) darstellen. Der Abbildungsmaßstab ist in diesem Fall

$M=1\,\,{\mbox{cm}}:100\,\,{\mbox{N}}={\frac {1\,\,{\mbox{cm}}}{100\,\,{\mbox{N}}}}=0,01\,{\frac {\mbox{cm}}{\mbox{N}}}.$

Wie man sieht, ist der Maßstab selbst eine physikalische Größe. Um den Größenwert der dargestellten vektoriellen Größe zu erhalten, muss man – wie bei einer Landkarte – die Länge des Vektorsymbols durch den Maßstab M dividieren.

Die Länge des Vektorsymbols stellt also den Größenwert der abgebildeten Größe dar - das Produkt aus Zahlenwert und Einheit -, und wird Betrag des Vektors genannt. Die für den Betrag übliche Kennzeichnung sind zwei senkrechte Striche, wie sie aus der Algebra bekannt sind. Wenn immer möglich aber werden wir den Betrag eines Vektors mit einem normalen (nicht fett gedruckten) Kursivbuchstaben (z. B. V) bezeichnen, den Vektor selbst mit einem fett gedruckten Kursivbuchstaben (z. B. V).

Invarianz gegen Basiswechsel

Die erste fundamentale Eigenschaft eines jeden Vektors V ist, dass sein Betrag V in jeder beliebigen (bei Geschwindigkeiten: nicht bewegten) Basis derselbe ist. Dies versteht sich von selbst, denn die durch einen Vektorpfeil dargestellte vektorielle Größe ist von der Basis, die der Beobachter willkürlich wählen kann, unabhängig. (Beispiele: Der Abstandsvektor zweier Punkte und die Gewichtskraft eines Körpers sind gleichsam »absolute Größen«, deren Größenwerte mit der benutzten Basis nichts zu tun haben.)

Die zweite fundamentale Eigenschaft eines Vektors ist, dass auch seine Richtung im Raum unabhängig von der benutzten Basis ist.

Was bedeutet das konkret?

Diese Aussage basiert auf der Vorstellung eines »absoluten Raumes«, in dem der Vektor eine bestimmte Lage hat. Da der absolute Raum nach der Speziellen Relativitätstheorie jedoch eine unhaltbare Fiktion ist, gehen wir etwas bescheidener vor. Wir richten in dem Punkt, in dem wir uns augenblicklich befinden, eine »Fundamentalbasis« B₀ ein: Der erste Einheitsvektor dieser Basis sei nach Norden gerichtet, der zweite nach Westen, der dritte weise senkrecht nach oben, also zum Zenit. Bezüglich dieser Basis hat der betrachtete Vektor eine bestimmte Richtung, die durch die Winkel beschrieben werden kann, die er mit den drei Basisvektoren bildet. Mit den Basisvektoren einer anderen Basis bildet der Vektor im Allgemeinen andere Winkel, er hat also bezüglich dieser Basis eine andere Richtung. Es ist aber möglich, aus diesen Winkeln diejenigen Winkel zu berechnen, die der Vektor mit den Basisvektoren der Fundamentalbasis bildet. Und diese Berechnungen ergeben – unabhängig von der jeweils benutzten Basis – immer dieselben Werte.

Diese beiden fundamentalen Eigenschaften sind gemeint, wenn gesagt wird, Vektoren seien »vom Basissystem unabhängig« oder »invariant gegen Basiswechsel«. Daraus folgt unmittelbar, dass man auch ganz praktisch mit Vektoren unabhängig von irgendeinem Basissystem, Bezugssystem, Koordinatensystem rechnen kann. Erst dann, wenn es darum geht, dass das Rechenergebnis einen konkreten Bezug bekommen soll, spielen diese Systeme wieder eine Rolle. Hierzu transformiert man die Vektoren zurück in einen Kontext, z.B. in ein Koordinatensystem mit Maßeinheiten.

Addition und Subtraktion von Vektoren

Addition von Vektoren

Eine weitere fundamentale Eigenschaft der Vektoren ist die besondere Art ihrer Addition. Dies soll am Beispiel einer zusammengesetzten Verschiebung erklärt werden.

Abb. 2.1

Auf einem Fluss treibe ein Floß abwärts. Auf dem Floß steht im Punkt A ein Mensch. Während das Floß über die Strecke ${\overrightarrow {AB}}$ verschoben wird, bewege sich der Mensch (in der Abbildung vertreten durch seinen Fußpunkt) auf dem Floss vom Punkt A zunächst zu einem Punkt C. Dort ersteigt er eine Stehleiter und befindet sich schließlich im Punkt D. Seine daraus resultierende Verschiebung wird dargestellt durch den Vektor ${\overrightarrow {AD}}$. Man findet ihn, indem man die Vektoren ${\overrightarrow {AB}},\,\,{\overrightarrow {BC}}\,\,{\mbox{und}}\,\,{\overrightarrow {\mbox{CD}}}$ der einzelnen Verschiebungen »aneinanderheftet« und dann den Fußpunkt des ersten Vektors mit der Spitze des letzten verbindet. Dieses Verfahren heißt Vektoraddition oder vektorielle Addition. Diese Operation wird beschrieben durch die »Vektorgleichung«

${\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CD}}\,.$

In diesem Beispiel mit drei Verschiebungsvektoren ist das Verfahren der vektoriellen Addition unmittelbar einsichtig. Bei allen anderen physikalischen Größenarten dagegen muss erst nachgewiesen werden, dass die dazu gehörigen Größen sich vektoriell summieren lassen, bevor ihnen die Vektoreigenschaft zuerkannt werden kann. Dies ist eine Aufgabe der Experimentalphysik.

Neben der Invarianz gegen Basiswechsel ist die vektorielle Summierbarkeit eine wesensbegründende (konstituierende) Eigenschaft der Vektoren.

Es gibt allerdings eine kleine Zahl von Ausnahmen. So ist es zum Beispiel nützlich und sinnvoll, bei gewissen Vorgängen (etwa bei Strömungen) ein Flächenstück durch seinen Flächenvektor (der auf dem Flächenstück senkrecht steht) darzustellen, oder die Winkelgeschwindigkeit einer Rotationsbewegung durch einen in der Drehachse liegenden Vektor. Aber die vektorielle Addition dieser Vektoren wäre im ersten Fall im Allgemeinen sinnlos, im zweiten falsch.

Wenn nur zwei Vektoren zu addieren sind – z. B. wenn an einem Punkt gleichzeitig zwei Kräfte angreifen – kann die Addition der Vektoren auch durch das »Vektorparallelogramm« vorgenommen werden. Die beiden im selben Punkt fußenden Kraftvektoren werden zu einem Parallelogramm ergänzt. Die vom Fußpunkt ausgehende Diagonale des Parallelogramms ist dann der Summenvektor. Die Abbildung zeigt nicht nur, dass diese Methode zum selben Ergebnis führt wie das Aneinanderheften, sondern auch, dass die Reihenfolge der Vektoren beim Aneinanderheften beliebig ist (Kommutativgesetz):

(2.1)

${\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {V}}\,.$

Abb. 2.2

Übung 2.1 Beweisen Sie, dass gilt

(2.2)

$\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)+{\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {U}}+\left({{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}}\right)=\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {W}}}\right)+{\boldsymbol {V}}\,$

(Assoziativgesetz), auch wenn die Vektoren nicht in einer Ebene liegen (»komplanar« sind).

In Gleichung (2.2) wird – wie in der Algebra - die Reihenfolge der Summationen durch Klammern geregelt

Wegen des Assoziativgesetzes kann man für die Summe einfach schreiben

${\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}.$

Von Gleichung (2.2) ausgehend kann dann leicht bewiesen werden, dass das Assoziativgesetz auch bei beliebig vielen Summanden gilt.

Übung 2.2: Führen Sie diesen Beweis durch.

Subtraktion von Vektoren

Wir verabreden Folgendes:

1. Es sei der Vektor W = -V ein Vektor von gleichem Betrag und gleicher Richtung im Raum aber von umgekehrter Orientierung wie der Vektor V.

2. Die Differenz U – V zweier Vektoren sei gleich der Summe der Vektoren U und (–V):

(2.3)

${\boldsymbol {U}}-{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {U}}+\left({-{\boldsymbol {V}}}\right).$

Damit ist die Subtraktion auf eine Addition zurückgeführt. Wir fügen noch folgende Ergänzung an:

3. Die Bildung der Differenz V – V = V + (-V) führt zum Ausgangspunkt zurück, ergibt also einen Vektor vom Betrag null und unbestimmter Richtung. Dieser Vektor heißt Nullvektor 0. Es ist also

(2.4)

${\boldsymbol {V}}-{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {0}}\,.$

Ist die Summe von n Vektoren gleich dem Nullvektor, also

${\boldsymbol {V}}_{1}+{\boldsymbol {V}}_{2}+\cdots +{\boldsymbol {V}}_{n}={\boldsymbol {0}},$

dann bilden die n Vektoren einen geschlossenen Polygonzug. Weil dann jeder der Vektoren mittels einer linearen Gleichung durch die anderen ausgedrückt (und somit aus diesen berechnet) werden kann, heißen die Vektoren (von einander) linear abhängig.

 

Multiplikation von Vektoren

Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl

1. Es sei V ein Vektor und n eine natürliche Zahl größer als null. Wie in der elementaren Algebra definieren wir dann das Produkt n V als die Summe von n gleichen Summanden V:

$n{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {V}}+\ldots +{\boldsymbol {V}}\quad \left({n\,\,{\mbox{Summanden}}\,\,{\boldsymbol {V}}}\right)$

Nach dem Gesetz der Vektoraddition ergibt dies einen Vektor von gleicher Richtung wie der Vektor V und von n-fachem Betrag.

2. Nun können wir die Beschränkung auf ganze Zahlen n aufgeben und die Definition verallgemeinern: Wenn k eine positive reelle Zahl ist, dann ist k V ein Vektor von gleicher Richtung wie V und von k-fachem Betrag. Für k = 0 ist

$k{\boldsymbol {V}}=0\cdot {\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {0}}.$

3. Wenn k eine positive reelle Zahl ist, dann ist (-k) V gleich dem Vektor –(k V).

Multiplikation eines Vektors mit einer skalaren Größe

Es sei V ein Vektor und S eine skalare Größe mit dem Zahlenwert {S} und der Einheit [S], also

$S=\left\{S\right\}\cdot \left[S\right].$

(Gelesen: Größenwert von S = Zahlenwert von S mal Einheit von S.)

Der Betrag des Vektors V sei analog V = {V}·[V]. Dann ist der Vektor W = S·V ein Vektor von der Richtung des Vektors V und dem Betrag W = {S}·{V}·[S]·[V]. Anders ausgedrückt:

Der Betrag des Vektors W ist gleich dem Größenwert von S multipliziert mit dem Betrag von V, die Richtung des Vektors W ist dieselbe wie des Vektors V, wenn der Zahlenwert von S größer null ist, anderenfalls entgegengesetzt.

Beispiel: Die Kraft F, die eine elektrische Ladung Q in einem Punkt eines elektrischen Feldes mit der Feldstärke E erfährt, ist

${\boldsymbol {F}}=Q\cdot {\boldsymbol {E}}.$

Für Q > 0 ist ${\boldsymbol {F}}\uparrow \uparrow {\boldsymbol {E}}$, anderen falls ist ${\boldsymbol {F}}\uparrow \downarrow {\boldsymbol {E}}$.

Es sei zum Beispiel E = 4,0·10⁵ V/m und Q = 3,2·10^-8 As, dann ist der Betrag des Vektors F

$F=3,2\cdot 10^{-8}{\mbox{As}}\cdot 4,0\cdot 10^{5}{\mbox{V/m = 3}}{\mbox{,2}}\cdot {\mbox{10}}^{\mbox{ - 8}}\cdot 4,0\cdot 10^{5}{\frac {\mbox{AsV}}{\mbox{m}}}$ $F=12,8\cdot 10^{-3}{\mbox{N}}\,{\mbox{.}}$

Jeder Vektor V kann dann dargestellt werden als das Produkt seines Betrages mit dem Einheitsvektor e_V = V₀, das ist ein Vektor mit derselben Richtung wie der Vektor V und dem Größenwert 1:

(3.1)

${\boldsymbol {V}}=V\cdot {\boldsymbol {e}}_{\boldsymbol {V}}.$

Umgekehrt ist der Einheitsvektor von der Richtung des Vektors V:

(3.2)

${\boldsymbol {e}}_{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {V}}_{0}={\frac {\boldsymbol {V}}{V}}={\frac {1}{V}}{\boldsymbol {V}}.$

Die (bisher noch nicht definierte) Division eines Vektors durch einen Skalar wird dabei interpretiert als Multiplikation mit dem Kehrwert des Skalars. Diese Definition wird hiermit nachgeholt: Es sei

(3.3)

${\frac {\boldsymbol {V}}{S}}={\frac {1}{S}}{\boldsymbol {V}}.$

Beispiel: Die Feldstärke E in einem Punkt eines elektrischen Feldes ist der Quotient aus der Kraft F , die eine elektrische Ladung Q dort erfährt, und der Ladung:

${\boldsymbol {E}}={\frac {\boldsymbol {F}}{Q}}={\frac {1}{Q}}{\boldsymbol {F}}$

 

Multiplikation eines Vektors mit einem Vektor

Es gibt drei verschiedene Produkte zweier Vektoren V und W: das Skalarprodukt, das Vektorprodukt und das dyadische Produkt.

1. Das Skalarprodukt hat seinen Namen daher, dass es ein Skalar ist. Das Skalarprodukt von V und W wird normgerecht geschrieben

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}\,\,\,{\mbox{oder}}\,\,\,{\boldsymbol {V\,W}}\,.$

(Lies: V mal W oder V W.)

Wir verwenden konsequent die erste Schreibweise.

Definition des Skalarprodukts::

(3.4)

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}\,=V\cdot W\cdot \cos({\boldsymbol {V}},{\boldsymbol {W}}).$

Unter dem Winkel

$\varphi =\sphericalangle \left({{\boldsymbol {V}},{\boldsymbol {W}}}\right)=\sphericalangle \left({{\boldsymbol {W}},{\boldsymbol {V}}}\right),$

dem keine Richtung zugeordnet wird, wird der kleinere der beiden von V und W eingeschlossenen Winkel verstanden. Es ist also stets

$0\leqslant \varphi \leqslant \pi .$

In Verbindung mit trigonometrischen Funktionen kann das Winkelzeichen vor der Klammer weggelassen werden.

Das Skalarprodukt wurde eingeführt und definiert im Hinblick auf die Arbeit, die eine Kraft längs eines Weges verrichtet, wenn die Kraftrichtung nicht mit der Verschiebungsrichtung zusammenfällt. Dann ist nämlich

$W={\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {s}}=F\cdot \Delta s\cdot \cos \left({{\boldsymbol {F}},\Delta {\boldsymbol {s}}}\right)\,.$

Das Skalarprodukt ist invariant gegenüber Basiswechsel. Dies folgt unmittelbar aus seiner Definition (rechte Seite von Gleichung 3.4): alle darin auftretenden Größen sind von der benutzten Basis unabhängig. Man kann aber auch argumentieren, dass dies schon aus der Schreibweise V·W folgt: Die beiden darin auftretenden Vektoren sind basisunabhängig, also müssen es auch alle damit vorgenommenen Operationen sein, wenn diese selbst keinen Bezug zur Basis haben.

Insbesondere gilt:

${\begin{matrix}{\mbox{Falls}}\;\;\sphericalangle \left({{\boldsymbol {V}},{\boldsymbol {W}}}\right)=0,\quad {\mbox{ist}}\quad {\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=V\cdot W,\\\\{\mbox{falls}}\;\;\,\sphericalangle \left({{\boldsymbol {V}},{\boldsymbol {W}}}\right)=\pi ,\quad {\mbox{ist}}\quad {\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=-\,V\cdot W,\\\\{\mbox{falls}}\;\;\,\sphericalangle \left({{\boldsymbol {V}},{\boldsymbol {W}}}\right)={\frac {\pi }{2}},\,\,\,\,{\mbox{ist}}\quad {\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=0,\\\\{\mbox{falls }}\,\,V,\,W\neq 0\quad {\mbox{und}}\quad {\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=0,\quad {\mbox{ist}}\quad {\boldsymbol {V}}\bot {\boldsymbol {W}}.\end{matrix}}$

Umgekehrt muss, falls V senkrecht zu W sein soll, V·W = 0 sein (»Orthogonalitätsbedingung«).

Das Skalarprodukt kann interpretiert werden als das Produkt aus dem Betrag eines beliebigen der beiden Vektoren und dem Betrag der Projektion des anderen Vektors auf jenen.

Abb. 3.1

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=V_{\boldsymbol {W}}\,W=V\,W_{\boldsymbol {V}}.$

Ist der Winkel φ zwischen den beiden Vektoren größer als π/2, ist der Betrag der Projektion mit einem negativen Vorzeichen zu versehen.

Da die Reihenfolge der Faktoren auf der rechten Seite von Gleichung (3.1) beliebig und cos (V,W) = cos (W,V) ist, ist auch die Reihenfolge der beiden Vektoren auf der linken Seite beliebig. Es gilt also für das Skalarprodukt das Kommutativgesetz:

(3.5)

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {W}}\cdot {\boldsymbol {V}}\,.$

Das Skalarprodukt heißt im Englischen auch »dot product« (Punktprodukt).

Übung 3.1: Was bedeutet das doppelte »Punktprodukt«

$\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}\,?$

Ist das doppelte Punktprodukt assoziativ? (Das heißt: Ist (U·V)·W = U·(V·W)?) Begründen Sie Ihre Antwort.

In diesem Beispiel wird der Begriff »Punktprodukt« für zwei unterschiedliche Produkte benutzt: für das Skalarprodukt zweier Vektoren und für das Produkt eines Vektors mit einer skalaren Größe. Wird »Punktprodukt« als Synonym für Skalarprodukt definiert, ist daher die Bezeichnung »doppeltes Punktprodukt« falsch, wird allgemeiner jedes mit einem Punkt dargestellte Produkt als Punktprodukt bezeichnet, ist diese Bezeichnung ungenauer als »Skalarprodukt«.

Übung 3.2: Beweisen Sie graphisch das Distributivgesetz

(3.6)

$\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}},$

wobei die drei Vektoren im Allgemeinen nicht in einer Ebene liegen.

Übung 3.3: Zeigen Sie - ausgehend von Gleichung (3.6) -, dass die Distributivität auch für folgende Terme gilt:

$\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}}\right)\cdot {\boldsymbol {T}}\quad {\mbox{und}}\quad \left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)\cdot \left({{\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {T}}}\right).$

Übung 3.4: Gegeben zwei beliebige Vektoren V und W. Berechnen Sie die zu W parallele und die dazu senkrechte Komponente von V.

 

2. Das Vektorprodukt U x V heißt so, weil es ein Vektor ist.

Definition: Das Vektorprodukt U x V (lies: U Kreuz V) ist ein Vektor W, der auf U und V senkrecht steht und so gerichtet ist, dass U, V, W ein Rechtssystem bilden. Der Betrag des Vektors W ist

(3.7)

$W=\left|{{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right|=U\cdot V\cdot \sin \varphi \,=U\cdot V\cdot \sin \left({{\boldsymbol {U}},{\boldsymbol {V}}}\right).$

 

---

Definition Rechtssystem: Die Vektoren U, V, W bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem, wenn die Drehung, die U auf dem kürzesten Weg in die Richtung von V bringt, mit der Richtung von W eine Rechtsschraube bildet. (Drei-Finger-Regel der rechten Hand: Daumen, Zeigefinger und der dazu senkrecht ausgestreckte Mittelfinger bilden ein Rechtssystem.) Wenn U, V, W ein Rechtssystem ist, dann sind auch V, W, U und W, U, V Rechtssysteme und V, U, W usw. sind Linkssysteme.

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Bitte beachten Sie: Die hier benutzten senkrechten Striche um das Vektorprodukt sollen »Betrag von U x V« bedeuten.

Der Betrag von W ist demnach gleich dem Größenwert der Fläche des von U und V »aufgespannten« Parallelogramms.

Da die Vektoren U und V keine Streckenvektoren oder Verschiebungsvektoren sein müssen, hat der Größenwert der Fläche nicht notwendig die Dimension FLÄCHE = LÄNGE x LÄNGE. Zum Beispiel kann V eine Kraft und U ihr Hebelarm sein. Dann ist U x V der Vektor des von der Kraft ausgeübten Drehmoments.

Vertauscht man im Vektorprodukt die Reihenfolge der Faktoren, so bleibt der Betrag des Vektors W = V x U unverändert, aber seine Richtung wird umgedreht, weil nun V, U, W ein Rechtssystem ist.

Also ist

(3.8)

${\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {U}}=-\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)=\left({-{\boldsymbol {U}}}\right)\times {\boldsymbol {V}}.$

Das Vektorprodukt ist also nicht kommutativ.

Dagegen ist das Vektorprodukt distributiv:

(3.9)

${\boldsymbol {U}}\times \left({{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}}\right)={\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {W}}.$

(Der folgende, etwas aufwändige Beweis ist nötig, um später das Vektorprodukt aus den Vektorkomponenten berechnen zu können.)

Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir die Zeichenebene in die von den Vektoren U und V aufgespannte Ebene legen und diese dann so drehen, dass U senkrecht nach oben zeigt.

Abb. 3.2

Das von V und W aufgespannte Parallelogramm wird in die durch O gehende und auf U senkrecht stehende Ebene projiziert. Für die Größenwerte der Projektionen gilt dann

$v=V\sin \left({{\boldsymbol {U}},{\boldsymbol {V}}}\right),\quad w=W\sin \left({{\boldsymbol {U}},{\boldsymbol {W}}}\right),\quad t=T\sin \left({{\boldsymbol {U}},{\boldsymbol {T}}}\right).$

Multipliziert man die Projektionen alle mit dem Größenwert U, so erhält man das größere Parallelogramm OPQR, für dessen Seiten gilt:

${\begin{matrix}{\overline {OP}}=U\,v=U\,V\sin \left({{\boldsymbol {U}},{\boldsymbol {V}}}\right)=\left|{{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right|,\\\\{\overline {OR}}=U\,w=UW\sin \left({{\boldsymbol {U}},{\boldsymbol {W}}}\right)=\left|{{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {W}}}\right|,\\\\{\overline {OQ}}=U\,t=UT\sin \left({{\boldsymbol {U}},{\boldsymbol {T}}}\right)=\left|{{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {T}}}\right|.\end{matrix}}$

Die Größenwerte der Seiten des Parallelogramms sind also gleich den Größenwerten der Vektorprodukte U x V, U x W und U x T. Nun wird das Parallelogramm in seiner Ebene um 90° links herum gedreht. Die folgende Abbildung zeigt die verkleinerte Draufsicht.

Abb. 3.3

Die einander zugeordneten Seiten stehen nun aufeinander senkrecht. Damit steht OP' aber auch auf U senkrecht, OQ' auf T und OR' auf W. Somit gilt für die drei rot gezeichneten Vektoren:

${\overrightarrow {OP'}}={\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}},\quad {\overrightarrow {OR'}}={\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {W}},\quad {\overrightarrow {OQ'}}={\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {T}}.$

Nun ist aber

${\overrightarrow {OP'}}+{\overrightarrow {OR'}}={\overrightarrow {OQ'}}\quad \Rightarrow \quad {\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {T}},$

und da T = V + W ist, erhält man schließlich

(3.10)

${\boldsymbol {U}}\times \left({{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}}\right)={\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {W}}.$

Übung 3.4: Zeigen Sie , dass das Distributivgesetz auch für folgende Terme gilt:

${\boldsymbol {U}}\times \left({{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {T}}}\right)\quad {\mbox{und}}\quad \left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)\times \left({{\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {T}}}\right).$

Auf das dyadische Produkt kann hier noch nicht näher eingegangen werden, weil dazu die Matrizendarstellung der Vektoren nötig ist. Es hat auch in der Vektoralgebra und –analysis keine Bedeutung.

 

 

Mehrfache Produkte von Vektoren

Eine einfache Behandlung mehrfacher Produkte von Vektoren ist im Allgemeinen erst mit Hilfe der Komponentendarstellung in einem Basissystem möglich. Daher wird an dieser Stelle nur ein einziger Typ eines mehrfachen Produkts behandelt, das so genannte Spatprodukt (U x V)·W. Der erste Faktor dieses Skalarprodukts ist der Flächenvektor des von U und V aufgespannten Parallelogramms. Die skalare Multiplikation mit W ergibt den Größenwert des Volumens V_S des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds (Spates), wenn U, V, W ein Rechtssystem ist, anderenfalls den negativen Größenwert von V. (Der Begriff »Spat« ist der Mineralogie entlehnt, denken Sie zum Beispiel an Feld- oder Flussspat.)

Abb. 3.4

Da das Volumen des Spates unabhängig davon ist, welche seiner Flächen man als Grundfläche betrachtet, ist

(3.11)

${\begin{matrix}\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}=\left({{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right)\cdot {\boldsymbol {U}}=\left({{\boldsymbol {W}}\times {\boldsymbol {U}}}\right)\cdot {\boldsymbol {V}}\\=-\left({{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {U}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}=-\left({{\boldsymbol {W}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {U}}=-\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {W}}}\right)\cdot {\boldsymbol {V}}.\end{matrix}}$

Das Volumen V_S des Spates ist

(3.12)

$V_{S}=\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}=\left|{{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right|\,\,W\,\,\left|{\cos \psi }\right|=U\,V\,W\sin \varphi \,\,\left|{\cos \psi }\right|.$

Für das Spatprodukt ist auch folgende Schreibweise gebräuchlich

(3.13)

$\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}=\left[{\boldsymbol {UVW}}\right]$

Division durch einen Vektor

In jeder mathematischen Formelsammlung wird man vergeblich nach Regeln für die Division durch einen Vektor suchen. Was ist der Grund dafür?

In der Algebra der reellen Zahl ist die Umkehrung der Multiplikation eine Operation mit eindeutigem Ergebnis: Aus den Größenwerten des Produkts und einer der beiden Faktoren kann der andere Faktor eindeutig ermittelt werden.

$a\cdot b=c\quad \Leftrightarrow \quad a={\frac {c}{b}}$

Ein analoger Schluss ist weder beim Skalaprodukt noch beim Vektorprodukt möglich, weil der Größenwert des Produkts nicht allein von den Größenwerten der beiden vektoriellen Faktoren, sondern auch von dem Winkel zwischen ihnen bestimmt wird. Die sich daraus ergebende Unsicherheit beim Rückschluss spiegelt sich auch in der Physik wider: Zum Beispiel kann weder bei der Arbeit noch beim Drehmoment bei Kenntnis des Ergebnisses und des einen der beiden Vektoren eindeutig auf den anderen geschlossen werden. Daher muss in der Vektoralgebra auf die Division durch einen Vektor verzichtet werden.

 

Vektoren in kartesischen Basissystemen

Einführung eines kartesischen Basissystems

Drei aufeinander senkrechte Einheitsvektoren (Vektoren vom Betrag 1, die durch eine beliebig gewählte Strecke dargestellt werden), bilden die Basis B{e₁, e₂, e₃} eines kartesischen oder orthonormalen »Basissystems«. Dieses entsteht aus der Basis durch geradlinige Verlängerung der Basisvektoren in beiden Richtungen. Die Basisvektoren bilden in der genannten Reihenfolge ein Rechtssystem.

Abb. 4.1

Die Richtung der Basis zur Zeichenebene ist beliebig wählbar.

Wir betrachten nun einen beliebig im Raum gelegenen Vektor V, den wir zunächst parallel zu sich selbst verschieben, sodass sein Fußpunkt im Ursprung O der Basis zu liegen kommt. Auf die folgenden Überlegungen hat die Parallelverschiebung keinen Einfluss.

Abb. 4.2

Die (senkrechten) Projektionen V₁, V₂, V₃ des Vektors V auf die Achsen des Basissystems heißen seine vektoriellen Komponenten, deren Beträge heißen seine skalaren Komponenten im gegebenen Basissystem. Durch seine skalaren oder seine vektoriellen Komponenten ist der Vektor im Basissystem eindeutig beschrieben:

${\boldsymbol {V}}=\left({V_{1},\,V_{2},\,V_{3}}\right)={\boldsymbol {V}}_{1}+{\boldsymbol {V}}_{2}+{\boldsymbol {V}}_{3}=V_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+V_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+V_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}.$

Eine zweite Möglichkeit, den Vektor zu beschreiben, ist die Angabe seines Betrages und der drei Winkel (»Richtungswinkel«) φ₁, φ₂, φ₃, die er mit den Basisvektoren bildet:

${\boldsymbol {V}}=(V,\,\,\varphi _{1},\,\,\varphi _{2},\,\,\varphi _{3}).$

Abb. 4.3

Für die Richtungswinkel gilt die beim Skalarprodukt getroffene Verabredung: Die Winkel sind nicht gerichtet und es gilt

$0\leqslant \varphi _{i}\leqslant \pi ,\quad i=1,2,3.$

Zwischen den skalaren Komponenten und den »Richtungskosinus« besteht – wie man der Abbildung 4.3 entnehmen kann - folgender Zusammenhang:

(4.1)

${\frac {V_{1}}{V}}=\cos \varphi _{1},\quad {\frac {V_{2}}{V}}=\cos \varphi _{2},\quad {\frac {V_{3}}{V}}=\cos \varphi _{3}.$

Wegen

(4.2)

$V_{1}^{2}+V_{2}^{2}+V_{3}^{2}=V^{2}$

ist

(4.3)

$\cos ^{2}\varphi _{1}+\cos ^{2}\varphi _{2}+\cos ^{2}\varphi _{3}=1.$

 

Rechnen mit Vektoren in Komponentendarstellung

Summe und Differenz zweier Vektoren

Es sei

${\boldsymbol {V}}=\left({V_{1},\,\,V_{2},\,\,V_{3}}\right)\quad {\mbox{und}}\quad {\boldsymbol {W}}=\left({W_{1},\,\,W_{2},\,\,W_{3}}\right).$

Dann ist

${\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {V}}\pm {\boldsymbol {W}}=\left({V_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+V_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+V_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\pm \left({W_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+W_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+W_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)$

und wegen der Assoziativ- und Distributivgesetze

(4.4)

${\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {V}}\pm {\boldsymbol {W}}=\left({V_{1}\pm W_{1}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+\left({V_{2}\pm W_{2}}\right){\boldsymbol {e}}_{2}+\left({V_{3}\pm W_{3}}\right){\boldsymbol {e}}_{3}.$

 

Übung 4.1:

Gegeben V = (V₁, V₂, V₃) und W = (W₁, W₂,W₃). Berechnen Sie die skalaren Komponenten des Vektors U = V + W, sowie seinen Größenwert und seine Richtungskosinus cos ψ_i (i = 1, 2, 3).

Skalarprodukt zweier Vektoren

Aus der Definition des Skalarprodukts ergibt sich für die Skalarprodukte von je zwei Basisvektoren

(4.5)

${\boldsymbol {e}}_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}={\boldsymbol {e}}_{2}\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{3}\cdot {\boldsymbol {e}}_{3}=1$

und

(4.6)

${\boldsymbol {e}}_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{2}\cdot {\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{3}\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}=0.$

Unter Verwendung des KRONECKER-Symbols δ_ik, für das gilt

(4.7)

$\delta _{ik}=\left\{{\begin{matrix}\;0\quad {\mbox{wenn}}\quad i\neq k\\\;1\quad \,{\mbox{wenn}}\quad i=k\end{matrix}}\right.,$

kann man dafür einfach schreiben

(4.8)

${\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{k}=\delta _{ik}.$

Für das Skalarprodukt von V und W gilt dann

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=\left({V_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+V_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+V_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\cdot \left({W_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+W_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+W_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)$

und wegen des Distributivgesetzes

${\begin{matrix}{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=V_{1}W_{1}\left({{\boldsymbol {e}}_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}}\right)+V_{1}W_{2}\left({{\boldsymbol {e}}_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}}\right)+V_{1}W_{3}\left({{\boldsymbol {e}}_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{3}}\right)+\cdots \quad {\mbox{oder}}\\\\{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=V_{1}W_{1}\delta _{11}+V_{1}W_{2}\delta _{12}+V_{1}W_{3}\delta _{13}+V_{2}W_{1}\delta _{21}+V_{2}W_{2}\delta _{22}+V_{2}W_{3}\delta _{23}\\+V_{3}W_{1}\delta _{31}+V_{3}W_{2}\delta _{32}+V_{3}W_{3}\delta _{33},\end{matrix}}$

und daher

(4.9)

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=V_{1}W_{1}+V_{2}W_{2}+V_{3}W_{3}.$

Insbesondere ist

(4.10)

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {V}}=V_{1}V_{1}+V_{2}V_{2}+V_{3}V_{3}=V_{1}^{2}+V_{2}^{2}+V_{3}^{2}=V^{2}.$

Übung 4.2:

Berechnen Sie den von V und W (siehe Übung 4.1) eingeschlossenen Winkel.

Vektorprodukt zweier Vektoren

Aus der Definition des Vektorprodukts ergibt sich für die Vektorprodukte von je zwei Basisvektoren:

(4.11)

${\begin{matrix}{\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{3},\quad \,\,\,{\boldsymbol {e}}_{2}\times {\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{1},\quad \,\,\,{\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{1}={\boldsymbol {e}}_{2},\\{\boldsymbol {e}}_{2}\times {\boldsymbol {e}}_{1}=-{\boldsymbol {e}}_{3},\quad {\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{2}=-{\boldsymbol {e}}_{1},\quad {\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{3}=-{\boldsymbol {e}}_{2},\\{\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{1}={\boldsymbol {e}}_{2}\times {\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {0}}.\end{matrix}}$

Für das Vektorprodukt zweier Vektoren gilt wegen der Distributivität

${\begin{matrix}{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}=\left({V_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+V_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+V_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\times \left({W_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+W_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+W_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\\\\=V_{1}W_{1}\left({{\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{1}}\right)+V_{1}W_{2}\left({{\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{2}}\right)+V_{1}W_{3}\left({{\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\\+V_{2}W_{1}\left({{\boldsymbol {e}}_{2}\times {\boldsymbol {e}}_{1}}\right)+V_{2}W_{2}\left({{\boldsymbol {e}}_{2}\times {\boldsymbol {e}}_{2}}\right)+V_{2}W_{3}\left({{\mathbf {e} }_{2}\times {\mathbf {e} }_{3}}\right)\\+V_{3}W_{1}\left({{\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{1}}\right)+V_{3}W_{2}\left({{\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{2}}\right)+V_{3}W_{3}\left({{\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{3}}\right),\end{matrix}}$

woraus sich mit den Gleichungen (4.11) ergibt:

(4.12)

${\begin{matrix}{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}=V_{1}W_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}-V_{1}W_{3}{\boldsymbol {e}}_{2}-V_{2}W_{1}{\boldsymbol {e}}_{3}+V_{2}W_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}+V_{3}W_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}-V_{3}W_{2}{\boldsymbol {e}}_{1}\\\\=\left({V_{2}W_{3}-V_{3}W_{2}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+\left({V_{3}W_{1}-V_{1}W_{3}}\right){\boldsymbol {e}}_{2}+\left({V_{1}W_{2}-V_{2}W_{1}}\right){\boldsymbol {e}}_{3}.\end{matrix}}$

Die rechte Seite dieser Gleichung kann als Determinante geschrieben und in dieser Form leichter gemerkt werden:

(4.13)

${\mathbf {V} }\times {\mathbf {W} }={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}&{{\boldsymbol {e}}_{2}}&{{\boldsymbol {e}}_{3}}\\{V_{1}}&{V_{2}}&{V_{3}}\\{W_{1}}&{W_{2}}&{W_{3}}\end{vmatrix}}.$

Analog ergibt sich das Vektorprodukt

(4.14)

${\boldsymbol {W}}\times {\boldsymbol {V}}=-\left({\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}\right)={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}&{{\boldsymbol {e}}_{2}}&{{\boldsymbol {e}}_{3}}\\{W_{1}}&{W_{2}}&{W_{3}}\\{V_{1}}&{V_{2}}&{V_{3}}\end{vmatrix}}.$

Das Spatprodukt

Für das Spatprodukt lautet die Komponentendarstellung

(4.15)

$\left({\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}&{{\boldsymbol {e}}_{2}}&{{\boldsymbol {e}}_{3}}\\{U_{1}}&{U_{2}}&{U_{3}}\\{V_{1}}&{V_{2}}&{V_{3}}\end{vmatrix}}\cdot \left(W_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+W_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+W_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\right)$

$=\left(U_{2}V_{3}-U_{3}V_{2}\right)W_{1}+\left(U_{3}V_{1}-U_{1}V_{3}\right)W_{2}+\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)W_{3}$

$={\begin{vmatrix}{W_{1}}&{W_{2}}&{W_{3}}\\{U_{1}}&{U_{2}}&{U_{3}}\\{V_{1}}&{V_{2}}&{V_{3}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{U_{1}}&{U_{2}}&{U_{3}}\\{V_{1}}&{V_{2}}&{V_{3}}\\{W_{1}}&{W_{2}}&{W_{3}}\end{vmatrix}}.$

Bei der letzten Umformung wurden die Zeilen der Determinante zyklisch vertauscht, wodurch der Größenwert der Determinante unverändert bleibt.

Vektorprodukt dreier Vektoren (»Entwicklungssatz«)

Für das doppelte Vektorprodukt (U x V) x W kann man schreiben

(4.16)

${\begin{matrix}\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\times {\boldsymbol {W}}={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}&{{\boldsymbol {e}}_{2}}&{{\boldsymbol {e}}_{3}}\\{U_{1}}&{U_{2}}&{U_{3}}\\{V_{1}}&{V_{2}}&{V_{3}}\end{vmatrix}}\times {\mathbf {W} }\\\\=\left[{\left({U_{2}V_{3}-U_{3}V_{2}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+\left({U_{3}V_{1}-U_{1}V_{3}}\right){\boldsymbol {e}}_{2}+\left({U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}}\right){\boldsymbol {e}}_{3}}\right]\times {\boldsymbol {W}}.\end{matrix}}$

Bezeichnet man die Klammernterme der Reihe nach mit K₁, K₂, K₃, so kann man dafür schreiben

$\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\times {\boldsymbol {W}}={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}&{{\boldsymbol {e}}_{2}}&{{\boldsymbol {e}}_{3}}\\{K_{1}}&{K_{2}}&{K_{3}}\\{W_{1}}&{W_{2}}&{W_{3}}\end{vmatrix}}.$

Die Berechnung der Determinante ergibt für den Faktor von e₁:

${\begin{matrix}K_{2}W_{3}-K_{3}W_{2}=\left({U_{3}V_{1}-U_{1}V_{3}}\right)W_{3}-\left({U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}}\right)W_{2}\\=U_{3}V_{1}W_{3}-U_{1}V_{3}W_{3}-U_{1}V_{2}W_{2}+U_{2}V_{1}W_{2}\\=\left({U_{3}W_{3}+U_{2}W_{2}}\right)V_{1}-\left({V_{3}W_{3}+V_{2}W_{2}}\right)U_{1}.\end{matrix}}$

Addiert man beim ersten Term das Produkt U₁V₁W₁ und subtrahiert es beim zweiten Term, so erhält man

${\begin{matrix}\left({U_{1}W_{1}+U_{2}W_{2}+U_{3}W_{3}}\right)V_{1}-\left({V_{1}W_{1}+V_{2}W_{2}+V_{3}W_{3}}\right)U_{1}\\=\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)V_{1}-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)U_{1}.\\\end{matrix}}$

Analog erhält man den Faktor von e₂:

$\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)V_{2}-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)U_{2}$

und für den Faktor von e₃:

$\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)V_{3}-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)U_{3}.$

Also ist

${\begin{matrix}\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\times {\boldsymbol {W}}=\left[{\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)V_{1}-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)U_{1}}\right]{\boldsymbol {e}}_{1}\\+\left[{\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)V_{2}-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)U_{2}}\right]{\boldsymbol {e}}_{2}\\+\left[{\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)V_{3}-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)U_{3}}\right]{\boldsymbol {e}}_{3}\\\\=\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)\left({V_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+V_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+V_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)\left({U_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+U_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+U_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right),\end{matrix}}$

und schließlich

(4.17)

$\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\times {\boldsymbol {W}}=\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right){\boldsymbol {V}}-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right){\boldsymbol {U}}.$

Analog findet man

${\boldsymbol {U}}\times \left({{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right)=\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)\cdot {\boldsymbol {V}}-\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}.$

Dies ist der so genannte Entwicklungssatz. Das doppelte Vektorprodukt ist demnach eine Linearkombination der Vektoren U und V, also ein Vektor, der in der Ebene der Vektoren U und V liegt.

 

Übung 4.3

Gegeben die Vektoren U = (1, 2, 3), V = (1, 3, -2) und W = (-2, -1, 0). Berechnen Sie:

1. U · V,

2. U x V,

3. U · (V x W),

4. U x (V x W),

5. (U x V) x W.

Weitere Produkte mit vektoriellen Faktoren

Mit den bisher abgeleiteten Regeln lassen sich weitere beweisen:

(4.18)

${\begin{matrix}\left({{\boldsymbol {T}}\times {\boldsymbol {U}}}\right)\cdot \left({{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right)={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {T}}\cdot {\boldsymbol {V}}}&{{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {V}}}\\{{\boldsymbol {T}}\cdot {\boldsymbol {W}}}&{{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\end{vmatrix}},\\\\\left({{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right)^{2}={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {V}}}&{{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\\{{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}&{{\boldsymbol {W}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\end{vmatrix}},\\\\\left({{\boldsymbol {T}}\times {\boldsymbol {U}}}\right)\times \left({{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right)={\boldsymbol {V}}\left[{\boldsymbol {TUW}}\right]-{\boldsymbol {W}}\left[{\boldsymbol {TUV}}\right].\end{matrix}}$

Die in eckigen Klammern stehenden Produkte sind Spatprodukte (siehe dort).

Geometrische Anwendungen von Vektoren

Geraden im Raum

Punkt-Richtungs-Gleichung

Durch einen Punkt P₀ des Raumes gehe eine Gerade von gegebener Richtung. Der Punkt P₀ werde durch seinen »Ortsvektor«

${\overrightarrow {OP_{0}}}={\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{0},\,\,y_{0},\,\,z_{0})=x_{0}{\boldsymbol {e}}_{1}+y_{0}{\boldsymbol {e}}_{2}+z_{0}{\boldsymbol {e}}_{3}$

beschrieben, die Richtung der Geraden durch einen Vektor V oder den entsprechenden Einheitsvektor V₀.

Abb. 5.1

Dann kann der Ort eines Punktes P der Geraden gekennzeichnet werden durch seinen Ortsvektor

(5.1)

${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+\lambda \,{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {r}}_{0}+\lambda _{0}{\boldsymbol {V}}_{0}={\boldsymbol {r}}_{0}+{\frac {\lambda _{0}}{V}}{\boldsymbol {V}},$

wobei λ eine reelle Zahl ist, ein »Parameter«. Wenn λ alle Werte von -unendlich bis +unendlich annimmt, durchläuft der Punkt P alle Punkte der Geraden. Der Vektor v = (v_x, v_y, v_z), wird beschrieben durch seine skalaren Komponenten, die hier identisch mit den Richtungskosinus des Einheitsvektors V₀ sind. Die Vektorgleichung (5.1) ist äquivalent mit den drei skalaren Komponentengleichungen

(5.2)

$x=x_{0}+\lambda V_{x},\,\,\,\,y=y_{0}+\lambda V_{y},\,\,\,\,z=z_{0}+\lambda V_{z},$

die auch geschrieben werden können

(5.3)

${\frac {x-x_{0}}{V_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{V_{y}}}={\frac {z-z_{0}}{V_{z}}}.$

Die Geradengleichung kann auch als parameterfreie Vektorgleichung geschrieben werden:

(5.4)

$\left({{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\times {\boldsymbol {V}}=0.$

Begründung: Da der Vektor r – r₀ parallel zu V ist, ist das Vektorprodukt null.

Solche parameterfreien Vektorgleichungen – wie sie uns immer wieder begegnen werden – sind implizit, d. h. nicht nach r aufgelöst (und auch nicht auflösbar). Doch kann daraus die Parameterdarstellung seiner Komponenten gewonnen werden.

Übung 5.1

Gegeben ein Punkt P₀ (-2; 5; 3) und ein Vektor V (6, 4, 2).

1. Gesucht sind die Vektorgleichung der Geraden durch P₀ mit dem Richtungsvektor V sowie die Komponenten des Ortsvektors r(x, y, z) eines Punktes der Geraden.

2. Aus der parameterfreien Vektorgleichung (5.4) sollen die Komponenten des Ortsvektors r in Abhängigkeit von einem Parameter κ bestimmt werden.

Zwei-Punkte-Gleichung

Hier wird die Gerade durch zwei Punkte P₁ und P₂ definiert, durch die sie gehen soll. Die Ortsvektoren der beiden Punkte seien r₁ und r₂. Die beiden Punkte (bzw. ihre Ortsvektoren) definieren einen Richtungsvektor r₂ - r₁, wodurch dieser Fall auf die Punkt-Richtungs-Gleichung zurückgeführt ist.

Abb. 5.2

(5.5)

${\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}=\lambda \left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)$

Die äquivalenten Koordinatengleichungen lauten dann

$x-x_{1}=\lambda \left({x_{2}-x_{1}}\right),\,\,\,\,y-y_{1}=\lambda \left({y_{2}-y_{1}}\right),\,\,\,\,z-z_{1}=\lambda \left({z_{2}-z_{1}}\right)$

oder

(5.6)

${\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}}.$

Die parameterfrei Vektorgleichung ist analog zu Gleichung 5.4

(5.7)

$\left({{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)\times \left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)=0.$

Daraus kann wieder die Parameterdarstellung der Komponenten von r gewonnen werden.

Übung 5.2

Gegeben zwei Punkte P₁(4; 2; 5) und P₂(-3; -1; 6). Bestimmen Sie aus Gleichung (5.7) eine Parameterdarstellung der Geraden P₁P₂.

Übung 5.3

Geben Sie eine in Vektoren ausgedrückte Bedingung dafür an, dass drei Punkte P_i mit i = 1, 2, 3 auf einer Geraden liegen. Was folgt daraus für ihre Koordinaten / für die Komponenten ihrer Ortsvektoren?

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Die Gerade sei durch einen ihrer Punkte und ihren Richtungsvektor bestimmt.

Abb. 5.3

Für den Abstandsvektor d gilt dann ( siehe Übung 3.4):

(5.8)

${\boldsymbol {d}}=\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)-\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)_{\boldsymbol {V}}=\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)-{\frac {\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\cdot {\boldsymbol {V}}}{V^{2}}}{\boldsymbol {V}}.$

Der Größenwert d von d lässt sich einfacher mit dem Vektorprodukt darstellen, weil nämlich

(5.9)

${\frac {d}{\left|{{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right|}}=\sin \varphi \quad {\text{und}}\quad {\text{sin}}\varphi ={\frac {\left|{\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\times {\boldsymbol {V}}}\right|}{\left|{{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right|V}},$

woraus folgt

(5.10)

$d={\frac {\left|{\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\times {\boldsymbol {V}}}\right|}{V}}.$

Schnittpunkt zweier Geraden

Abb. 5.4

Die beiden Geraden g und h seien durch je einen Punkt und ihren Richtungsvektor gegeben. Dann lauten ihre Gleichungen:

$g:\quad {\boldsymbol {r}}_{g}={\boldsymbol {r}}_{0}^{(g)}+\lambda \,{\boldsymbol {V}},\quad \quad h:\quad {\boldsymbol {r}}_{h}={\boldsymbol {r}}_{0}^{(h)}+\kappa \,{\boldsymbol {W}}.$

Für die Ortsvektoren des Schnittpunkts S gilt dann

(5.11)

${\boldsymbol {r}}_{S}^{(g)}={\boldsymbol {r}}_{S}^{(h)}\quad {\text{oder}}\quad {\boldsymbol {r}}_{0}^{(g)}+\lambda _{S}{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {r}}_{0}^{(h)}+\kappa _{S}{\boldsymbol {W}}\quad \Rightarrow \quad \lambda _{S}{\boldsymbol {V}}-\kappa _{S}{\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {r}}_{0}^{(h)}-{\boldsymbol {r}}_{0}^{(g)}.$

Aus irgend zwei der drei Komponentengleichungen können λ_S und κ_S bestimmt werden. (Zur Berechnung des Schnittpunkts genügt bereits eine der beiden Größen.) Wenn die Geraden einander schneiden, erfüllen λ_S und κ_S auch die dritte Gleichung.

Übung 5.4

Zwei Gerade g und h seien wie oben durch ihre Punkt-Richtungs-Gleichungen gegeben. Geben Sie die Bedingung dafür an, dass g und h einander schneiden. Was folgt daraus für die Komponenten von r₀^(g), r₀^(h), V und W?

Abstand zweier windschiefer Geraden

Windschiefe Geraden sind solche, die einander nicht schneiden und nicht parallel sind. Unter dem Abstand zweier windschiefer Geraden versteht man die kürzeste Entfernung zwischen einem Punkt der einen und einem Punkt der anderen Geraden.

Abb. 5.5

Wir denken uns eine auf der Geraden g senkrechte Ebene E und verbinden den Schnittpunkt G der Geraden g mit E mit dem Schnittpunkt H der Geraden h mit E. Der Winkel zwischen GH und h sei φ. Wenn die Ebene E sich sehr weit nach oben bewegt, geht φ stetig gegen null, wenn sich E sehr weit nach unten bewegt, geht φ stetig gegen π/2. Folglich muss es dazwischen eine Position der Ebene E geben, in der φ ein rechter Winkel ist. Die Entfernung d der beiden Geraden an dieser Stelle ist »der Abstand der beiden Geraden«.

Übung 5.5 Vervollständigen Sie den Beweis, dass die Strecke d der kürzeste Abstand zwischen irgend zwei Punkten der beiden Geraden ist.

Abb. 5.6

Der Vektor d bildet mit V und W in der Reihenfolge V, W, d ein Rechtssystem. Der dazu gehörige Einheitsvektor ist daher

(5.12)

${\boldsymbol {d}}_{0}={\frac {{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}{\left|{{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right|}}.$

Der Vektor d ist die (rechtwinklige) Projektion des Vektors r₀^(h) - r₀^(h) auf d₀, also ist

(5.13)

$d=\left|{{\boldsymbol {d}}_{0}\cdot \left({{\boldsymbol {r}}_{0}^{(h)}-{\boldsymbol {r}}_{0}^{(g)}}\right)}\right|={\frac {\left|{\left({{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right)\cdot \left({{\boldsymbol {r}}_{0}^{(h)}-{\boldsymbol {r}}_{0}^{(g)}}\right)}\right|}{\left|{{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right|}}.$

Die Betragszeichen im Zähler sind notwendig, weil das Skalarprodukt negativ sein kann.

Ebenen im Raum

Eine Ebene im Raum kann bestimmt werden

• durch einen Punkt und zwei nicht parallele Vektoren
• durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen,
• durch einen Punkt und den Normalenvektor der Ebene (Punkt-Richtungs-Gleichung)

Ebene durch einen Punkt mit zwei Richtungsvektoren

Abb. 5.7

Der Ortsvektor r eines jeden Punktes P der Ebene lässt sich beschreiben durch

(5.14)

${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+\kappa \,{\boldsymbol {V}}+\lambda \,{\boldsymbol {W}},$

κ, λ reelle Zahlen, V und W nicht parallel.

Ebene durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen

Dieser Fall kann auf den vorgehenden zurückgeführt werden, indem man statt der Vektoren U und V die Vektoren r₁ - r₀ bzw. r₂ - r₀ benutzt.

Abb. 5.8

Die Ebenengleichung lautet dann

(5.15)

${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+\kappa \left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)+\lambda \left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right).$

Zu einer parameterfreien Darstellung der Ebenengleichung gelangt man, wenn man die Tatsache nutzt, dass das von den drei in der Ebene liegenden Vektoren

${\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0},\,\,\,{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,\,{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{0}$

aufgespannte Parallelepiped (Spat) das Volumen null hat, also das Spatprodukt der drei Vektoren null sein muss:

(5.16)

$\left({{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\cdot \left[{\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\times \left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)}\right]=\left[{\left({{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)}\right]=0.$

Diese Gleichung kann mit einer Determinante wie folgt geschrieben werden:

(5.17)

${\begin{vmatrix}{x-x_{0}}&{y-y_{0}}&{z-z_{0}}\\{x_{1}-x_{0}}&{y_{1}-y_{0}}&{z_{1}-z_{0}}\\{x_{2}-x_{0}}&{y_{2}-y_{0}}&{z_{2}-z_{0}}\end{vmatrix}}=0.$

Daraus kann die Gleichung der Ebene in der Standardform

$\,ax+by+cz+d=0$

gewonnen werden.

Übung 5.6

Leiten Sie aus Gleichung (5.16) die Gleichung (5.17) her.

Punkt-Richtungsgleichung der Ebene

Hier ist ein Punkt P₀ der Ebene gegeben und ein auf der Ebene senkrecht stehender Vektor (Normalenvektor) n.

Abb. 5.9

Da r – r₀ und n aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt null:

(5.18)

${\boldsymbol {n}}\cdot \left({{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)=0\quad {\mbox{oder}}\quad {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}.$

Übung 5.7

Leiten Sie aus Gleichung (5.18) die Ebenengleichung in der Standardform her.

Die Hessesche Normalform der Ebenengleichung

In der Hesseschen Normalform wird die Ebene beschrieben durch den Normalenvektor und ihren Abstand p vom Ursprung.

Abb. 5.10

Die Projektion des Ortsvektors r von P auf den Einheitsvektor n₀ hat den Größenwert p, also ist

(5.19)

${\mathbf {r} }\cdot {\mathbf {n} }_{0}=p.$

Setzt man in den Komponentengleichungen jeweils z = 0, so kommt man leicht zur Hesseschen Normalform einer Geraden in der XY-Ebene.

Übung 5.8

Geben Sie die Hessesche Normalform der Gleichung einer Ebene durch drei Punkte an, deren Ortsvektoren r_i sind (i = 1, 2, 3).

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Abb. 5.11

Wie Abbildung 5.11 zeigt, ist

(5.20)

$d={\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}-p\quad {\text{bzw}}{\text{.}}\quad d={\boldsymbol {n}}_{0}\left({{\boldsymbol {r}}_{0}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right),$

wobei r₁ der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene ist.

Wenn P₀ und O auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen, ist d > 0, anderenfalls ist d < 0.

Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene

Der Schnittpunkt ist am einfachsten zu finden, wenn man von der Punkt-Richtungs-Gleichung der Geraden g und der Hesseschen Normalform der Ebene E ausgeht:

$g:\,\,\,\,{\boldsymbol {r}}_{}={\boldsymbol {r}}_{0}+\lambda {\boldsymbol {V}},\quad \quad E:\,\,\,\,{\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {r}}_{}=p.$

Dann gilt für den Ortsvektor des Schnittpunkts S:

${\boldsymbol {r}}_{S}={\boldsymbol {r}}_{0}+\lambda _{S}{\boldsymbol {V}}\quad {\mbox{und}}\quad {\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {r}}_{S}=p.$

Daraus folgt

${\boldsymbol {n}}_{0}\cdot \left({{\boldsymbol {r}}_{0}+\lambda _{S}{\boldsymbol {V}}}\right)=p\quad \Rightarrow \quad {\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}+\lambda _{S}{\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {V}}=p$

und schließlich

(5.21)

$\lambda _{S}={\frac {p-{\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}}{{\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {V}}}}\quad {\mbox{und}}\quad {\boldsymbol {r}}_{S}={\boldsymbol {r}}_{0}+{\frac {p-{\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}}{{\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {V}}}}{\boldsymbol {V}}.$

Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Der Winkel φ zwischen einer Geraden und einer Ebene ist definiert als der Winkel zwischen der Geraden und ihrer Projektion auf die Ebene. Daraus folgt, dass stets

$0\leqslant \varphi \leqslant {\frac {\pi }{2}}.$

Berechnet wird φ am einfachsten über den Winkel ψ zwischen der Geraden (Richtungsvektor V) und dem Normalenvektor n der Ebene, für die gilt: ψ = π/2 - φ. Wegen

(5.22)

$\cos \psi ={\frac {{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {V}}}{nV}}=\sin \varphi \quad \Rightarrow \quad \varphi =\arcsin {\frac {\left|{{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {V}}}\right|}{nV}}.$

Schnittgerade zweier Ebenen

Aus den Ebenengleichungen in der Hesseschen Normalform:

$E_{1}:\,\,\,\,\,{\boldsymbol {n}}_{0}^{(1)}{\boldsymbol {r}}=p_{1},\quad \quad E_{2}:\,\,\,\,\,{\boldsymbol {n}}_{0}^{(2)}{\boldsymbol {r}}=p_{2}$

folgt für den Ortsvektor r der Punkte der Schnittgeraden:

(5.23)

${\boldsymbol {r}}\cdot \left({{\boldsymbol {n}}_{0}^{(2)}-{\boldsymbol {n}}_{0}^{(1)}}\right)=p_{2}-p_{1}\,.$

//Die Gleichung stellt allerdings wieder eine Ebene dar die die Gerade enthält und nicht die Gerade selbst.

Winkel zwischen zwei Ebenen

Der Winkel φ zwischen zwei Ebenen ist definiert als der kleinere der beiden Winkel, den ihre (ungerichteten) Flächennormalen bilden, wenn sie zum Schnitt gebracht werden. Demgemäß ist stets

$\varphi \leqslant {\frac {\pi }{2}}.$

Wenn die Ebenen wieder wie oben definiert sind, ist

(5.24)

$\varphi =\arccos \left|{{\boldsymbol {n}}_{0}^{(1)}\cdot {\boldsymbol {n}}_{0}^{(2)}}\right|=\arccos {\frac {{\boldsymbol {n}}^{(1)}\cdot {\boldsymbol {n}}^{(2)}}{n^{(1)}n^{(2)}}}.$

Wiederholungsaufgaben

A Beweisen Sie grafisch: Jeder Vektor v kann in eine Komponente parallel zu einem beliebigen Vektor u und in eine dazu senkrechte Komponente zerlegt werden:

${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {u}}^{\bot }$

B Berechnen Sie mit Hilfe des Skalarprodukts den Vektor vu und dann die dazu senkrechte Vektorkomponente.

C Beweisen Sie den so genannten Entwicklungssatz für Vektorprodukte

$\left({{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}\right)\times {\boldsymbol {w}}=\left({{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {w}}}\right){\boldsymbol {v}}-\left({{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}}\right){\boldsymbol {u}}.$

D Zeigen Sie, dass (u x v) x w ein Vektor ist, der in der Ebene von u und v liegt.

E Drei Vektoren u, v, w heißen linear abhängig, wenn

${\boldsymbol {w}}=a{\boldsymbol {u}}+b{\boldsymbol {v}},$

wobei a und b reelle Zahlen sind. Dann ist selbstverständlich auch

${\boldsymbol {u}}=c{\boldsymbol {v}}+d{\boldsymbol {w}}\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$

E 1 Zeigen Sie: Die drei Vektoren liegen in einer Ebene,

E 2 Zeigen Sie: Wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind, dann ist

$\left({{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}\right)\cdot {\boldsymbol {w}}\neq 0.$

E 3 Beweisen Sie: Wenn u, v und w linear unabhängig sind, dann sind auch die Vektoren

${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}},\quad {\boldsymbol {s}}={\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {w}},\quad {\boldsymbol {t}}={\boldsymbol {w}}\times {\boldsymbol {u}}$

linear unabhängig.

F Zeigen Sie, dass

${\boldsymbol {v}}=\left({{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}}\right){\boldsymbol {e}}-\left({{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {e}}}\right)\times {\boldsymbol {e}},$

wobei e ein beliebiger Einheitsvektor ist.

G Eine Aufgabe für zuverlässige und ausdauernde Rechner:

Jede Vektorgleichung ist äquivalent mit drei skalaren Gleichungen. Schreiben Sie die drei skalaren Gleichungen an, die der Vektorgleichung

$k{\mathbf {v} }+{\mathbf {v} }\times {\mathbf {a} }={\mathbf {b} },$

entsprechen, wobei k ein Skalar ist und a und b konstante Vektoren sind.

Lösen Sie diese drei Gleichungen nach v₁, v₂, und v₃ auf.

Zeigen Sie dann, dass die Lösung durch folgende Vektorgleichung beschrieben werden kann:

${\boldsymbol {v}}={\frac {k^{2}{\boldsymbol {b}}+\left({{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {a}}}\right){\boldsymbol {a}}-k\left({{\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {a}}}\right)}{k\left({k^{2}+\left|{\boldsymbol {a}}\right|^{2}}\right)}}.$

Lösungen

Übung 2.1

Die drei Vektoren spannen ein Parallelepiped (Spat) auf, dessen blaue Raumdiagonale die Summe der drei Vektoren ist. Die Summe zweier Vektoren ist eine der drei Flächendiagonalen. Die Abbildung zeigt, dass es beliebig ist, welche beiden Vektoren zuerst addiert werden.

$\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)+{\boldsymbol {W}}=\left({{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}}\right)+{\boldsymbol {U}}=\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {W}}}\right)+{\boldsymbol {V}}.$

In dieser Abbildung werden die Vektoren durch Aneinanderheften addiert. Es gibt sechs verschiedene Möglichkeiten, vom Fußpunkt des Summenvektors zu seiner Spitze zu gelangen.

${\begin{matrix}\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)+{\boldsymbol {W}}=\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {W}}}\right)+{\boldsymbol {V}}=\left({{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {U}}}\right)+{\boldsymbol {W}}\\=\left({{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}}\right)+{\boldsymbol {U}}=\left({{\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {U}}}\right)+{\boldsymbol {V}}=\left({{\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {V}}}\right)+{\boldsymbol {U}}.\end{matrix}}$

Übung 2.2

Bei der Summe von 4 Vektoren werden zunächst die ersten drei zu einem zusammengefasst.

${\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}=\left({{\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)+{\boldsymbol {W}}.$

Die Reihenfolge der Additionen in der Klammer ist nach Gleichung 2.2 beliebig. Dann werden die letzten drei Vektoren zusammengefasst:

${\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {T}}+\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}}\right).$

Wieder ist die Reihenfolge der Additionen in dieser Klammer beliebig. Insgesamt ergeben sich dadurch 24 verschiedene Möglichkeiten, die alle gleichwertig sind.

Übung 3.1

(U·V)W ist ein zu W paralleler Vektor T mit dem Größenwert

$T=UV\cos \left({\boldsymbol {U,V}}\right)W=UVW\cos \left({\boldsymbol {U,V}}\right).$

Das Produkt U(V·W) dagegen ist ein zu U paralleler Vektor. Es ist also

${\boldsymbol {U}}\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)\neq \left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {V}}}\right){\boldsymbol {W}}.$

Übung 3.2

Die Projektion des Vektors T = U + V auf den Vektor W ist gleich der Summe der Projektionen von U und V auf W.

Übung 3.3

Setzt man U + V = S, so wird

${\begin{matrix}\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}}\right)\cdot {\boldsymbol {T}}=\left({{\boldsymbol {S}}+{\boldsymbol {W}}}\right)\cdot {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {W}}\cdot {\boldsymbol {T}}=\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {W}}\cdot {\boldsymbol {T}}\\={\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {W}}\cdot {\boldsymbol {T}}.\end{matrix}}$

Ferner wird

${\begin{matrix}\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)\cdot \left({{\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {T}}}\right)={\boldsymbol {S}}\cdot \left({{\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {T}}}\right)={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {T}}\\=\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}+\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {T}}\quad {\text{usw}}{\text{.}}\\\end{matrix}}$

Übung 3.4

Die zu W parallele Komponente von V ist die Projektion V_W von V auf W.

${\boldsymbol {V}}_{\parallel }={\boldsymbol {V}}_{\boldsymbol {W}}={\frac {V\cos \left({\boldsymbol {V,W}}\right)}{W}}{\boldsymbol {W}}={\frac {{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}{W^{2}}}{\boldsymbol {W}}.$

Die auf W senkrechte Komponente ist

${\boldsymbol {V}}_{\bot }={\boldsymbol {V}}-{\boldsymbol {V}}_{\parallel }={\boldsymbol {V}}-{\frac {{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}{W^{2}}}{\boldsymbol {W}}.$

Übung 4.1

${\begin{matrix}U_{i}=V_{i}+W_{i},\quad i=1,\,\,2,\,\,3\\U={\sqrt {\left({V_{1}+W_{1}}\right)^{2}+\left({V_{2}+W_{2}}\right)^{2}+\left({V_{3}+W_{3}}\right)^{2}}},\\\cos \varphi _{i}={\frac {V_{i}+W_{i}}{\sqrt {\left({V_{1}+W_{1}}\right)^{2}+\left({V_{2}+W_{2}}\right)^{2}+\left({V_{3}+W_{3}}\right)^{2}}}}.\end{matrix}}$

Übung 4.2

$\cos \alpha ={\frac {{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}{V\,W}}={\frac {V_{1}W_{1}+V_{2}W_{2}+V_{3}W_{3}}{\sqrt {\sum \limits _{1}^{3}{V_{i}^{2}\cdot \sum \limits _{1}^{3}{W_{i}^{2}}}}}}.$

Übung 4.3

1. U·V = 1,

2. U x V = (-13, 5, 1),

3. U·(V x W) = 21,

4. U x (V x W) = (-2, -11, 8),

5. (U x V) x W = (1, -2, 23).

Übung 5.1

1. Aus

${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+\lambda {\boldsymbol {V}}$

folgt

${\boldsymbol {r}}=\left({-2,\,\,\,5,\,\,\,3}\right)+\lambda \left({6,\,\,\,4,\,\,\,2}\right).$

Die Komponenten von r sind:

$x=-2+6\lambda ,\,\,\,\,\,y=5+4\lambda ,\,\,\,\,\,z=3+2\lambda .$

2. Aus

$\left({{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\times {\boldsymbol {V}}=0$

folgt

$\left({{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)=\kappa {\boldsymbol {V}}$

und für die Komponenten

$x-x_{0}=\kappa V_{x},\quad y-y_{0}=\kappa V_{y},\quad z-z_{0}=\kappa V_{z},$

also

$x+2=6\kappa ,\quad y-5=4\kappa ,\quad z-3=2\kappa .$

Übung 5.2

Aus

$\left({{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)\times \left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)=0\quad \Rightarrow \quad \left({{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)=\kappa \left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)$

und daraus für die Komponenten

$x-x_{1}=\kappa \left({x_{2}-x_{1}}\right)\quad {\text{usw}}{\text{.}}$

und schließlich

$x=4-7\kappa ,\quad y=2-3\kappa ,\quad z=5+\kappa .$

Übung 5.3

Die Bedingung lautet

$\left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)\times \left({{\boldsymbol {r}}_{3}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)=0\quad \Rightarrow \quad \left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)=\kappa \left({{\boldsymbol {r}}_{3}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right).$

Für die Komponenten ergibt sich daraus die Bedingung

${\frac {x_{2}-x_{1}}{x_{3}-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{y_{3}-y_{1}}}={\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}}.$

Übung 5.4

Wenn die beiden Geraden einander schneiden sollen, muss es genau ein Wertepaar (λ, κ) geben, sodass

$\lambda {\boldsymbol {V}}-\kappa {\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {r}}_{0}^{(h)}-{\boldsymbol {r}}_{0}^{(g)}\equiv {\boldsymbol {U}}$

ist, wobei U nur eine Abkürzung für die davor stehende Differenz ist. Bezeichnen wir die Komponenten der drei Vektoren V, W und U (zur Abwechslung) mit V_i, W_i und U_i (i = 1, 2, 3), so muss sein

$\,\lambda V_{i}-\kappa W_{i}=U_{i}.$

Daraus ergeben sich drei Bestimmungsgleichungen für κ und λ. Das Gleichungssystem ist also »überbestimmt«. Es hat nur dann Bestand (d. h. die zwei Geraden schneiden einander nur dann), wenn die aus zwei der drei Gleichungen ermittelten Werte für κ und λ auch der dritten Gleichung genügen. Wenn man die Berechnung durchführt, zeigt sich, dass die Geraden nur dann einander schneiden, wenn

${\begin{vmatrix}{U_{1}}&{U_{2}}&{U_{3}}\\{V_{1}}&{V_{2}}&{V_{3}}\\{W_{1}}&{W_{2}}&{W_{3}}\end{vmatrix}}=0$

ist.

Übung 5.5

1. Betrachten wir einen beliebigen Punkt H auf der Geraden h (siehe Abb. 5.5). Von allen Punkten der Geraden g liegt derjenige Punkt G dem Punkt H am nächsten, für den GH senkrecht zu g ist. (Jeder andere Punkt P bildet mit G und H ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse PH größer als GH ist.)

2. Vertauschen wir jetzt die Rollen der Geraden, indem wir Ebenen einführen, die auf h senkrecht stehen. Dann finden wir analog, dass von allen Punkten H auf der Geraden h derjenige Punkt G auf g der Geraden h am nächsten liegt, für den GH senkrecht auf h steht.

3. Daraus folgt: Der kürzeste Strecke zwischen einem Punkt der Geraden g und einem Punkt der Geraden h muss sowohl auf g als auch auf h senkrecht stehen.

Übung 5.6

Die Komponentendarstellung des ersten Faktor ist:

${\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}=\left({x-x_{0}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+\left({y-y_{0}}\right){\boldsymbol {e}}_{2}+\left({z-z_{0}}\right){\boldsymbol {e}}_{3},$

Den zweiten Faktor schreiben wir als Determinante:

$\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\times \left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}&{{\boldsymbol {e}}_{2}}&{{\boldsymbol {e}}_{3}}\\{x_{1}-x_{0}}&{y_{1}-y_{0}}&{z_{1}-z_{0}}\\{x_{2}-x_{0}}&{y_{2}-y_{0}}&{z_{2}-z_{0}}\end{vmatrix}}.$

Bei Bildung des Skalaprodukts werden die gleichnamigen Komponenten multipliziert und die Produkte addiert. Der erste Summand ist

$\left({x-x_{0}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}\cdot \left({y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}=\left({x-x_{0}}\right)\left({y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}}\right).$

Die anderen beiden Summanden ergeben sich analog. Die Summe kann dann durch die Determinante in Gleichung 5.17 beschrieben werden.

Übung 5.7

Bezeichnen wir die skalaren Komponenten des Vektors n mit n₁, n₂, n₃, so folgt aus

${\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}$

$\,n_{1}x+n_{2}y+n_{3}z=n_{1}x_{0}+n_{2}y_{0}+n_{3}z_{0}$

oder

$n_{1}x+n_{2}y+n_{3}z-\left({n_{1}x_{0}+n_{2}y_{0}+n_{3}z_{0}}\right)=0.$

Übung 5.8

Es ist

${\boldsymbol {n}}_{0}={\frac {\left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)\times \left({{\boldsymbol {r}}_{3}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)}{\left|{\left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)\times \left({{\boldsymbol {r}}_{3}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)}\right|}}\quad {\mbox{und}}\quad {\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {r}}_{1}=p.$

Also lautet die Hessesche Normalform der Ebene:

${\boldsymbol {r}}\cdot {\frac {\left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)\times \left({{\boldsymbol {r}}_{3}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)}{\left|{\left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)\times \left({{\boldsymbol {r}}_{3}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)}\right|}}={\boldsymbol {r}}_{1}\cdot {\frac {\left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)\times \left({{\boldsymbol {r}}_{3}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)}{\left|{\left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)\times \left({{\boldsymbol {r}}_{3}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)}\right|}}.$

Wiederholungsaufgaben

B

Es ist

${\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}=\left|{\boldsymbol {u}}\right|\cdot \left|{\boldsymbol {v}}\right|\cdot \cos \varphi =\left|{\boldsymbol {u}}\right|\left|{{\boldsymbol {v}}_{u}}\right|\,\,\,\to \,\,\,\left|{{\boldsymbol {v}}_{u}}\right|={\frac {{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}}{\left|{\boldsymbol {u}}\right|}}.$

Ferner ist

${\boldsymbol {v}}_{u}=\left|{{\boldsymbol {v}}_{u}}\right|{\frac {\boldsymbol {u}}{\left|u\right|}}\,\,\,{\mbox{und daher}}\,\,\,{\boldsymbol {v}}_{u}={\frac {{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}}{\left|{\boldsymbol {u}}\right|^{2}}}{\boldsymbol {u}}.$

Daraus ergibt sich

${\boldsymbol {v}}_{u}^{\bot }={\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {v}}_{u}={\boldsymbol {v}}-{\frac {{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}}{\left|{\boldsymbol {u}}\right|^{2}}}{\boldsymbol {u}}.$

C

Setzt man u x v = r, dann sind die Komponenten von r:

$r_{1}=u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},\quad r_{2}=u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},\quad r_{3}=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}.$

Die Komponenten von s= r x w = (u x v) x w sind dann

$s_{1}=r_{2}w_{3}-r_{3}w_{2},\quad s_{2}=r_{3}w_{1}-r_{1}w_{3},\quad s_{3}=r_{1}w_{2}-r_{2}w_{1}.$

Daraus ergibt sich

${\begin{matrix}s_{1}=\left({u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}}\right)w_{3}-\left({u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}\right)w_{2}\\=\left({u_{3}w_{3}+u_{2}w_{2}}\right)v_{1}-\left({v_{3}w_{3}+v_{2}w_{2}}\right)u_{1}\\=\left({u_{3}w_{3}+u_{2}w_{2}+u_{1}w_{1}}\right)v_{1}-\left({v_{3}w_{3}+v_{2}w_{2}+v_{1}w_{1}}\right)u_{1}\\=\left({{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {w}}}\right)v_{1}-\left({{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}}\right)u_{1}.\end{matrix}}$

Analog findet man

${\begin{matrix}s_{2}=\left({{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {w}}}\right)v_{2}-\left({{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}}\right)u_{2},\\s_{3}=\left({{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {w}}}\right)v_{3}-\left({{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}}\right)u_{3}.\end{matrix}}$

Folglich ist

${\begin{matrix}{\boldsymbol {s}}=s_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+s_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+s_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\\=\left({{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {w}}}\right)\left({v_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+v_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+v_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)-\left({{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}}\right)\left({u_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+u_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\\=\left({{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {w}}}\right){\boldsymbol {v}}-\left({{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}}\right){\boldsymbol {u}}.\end{matrix}}$

D

Nach dem Entwicklungssatz (siehe Übung B) ist

$\left({{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}\right)\times {\boldsymbol {w}}=a{\boldsymbol {u}}+b{\boldsymbol {v}}\quad \quad a,b\,\,{\mbox{reelle Zahlen}}$

a u + b v ist ein Vektor, der in der Ebene von u und v liegt.

E 2 Der Vektor u x v steht auf der Ebene von u und v senkrecht. Wenn w nicht in dieser Ebene liegt, ist das Skalarprodukt (u x v)·w ungleich null.

Andere Lösung: Der Zahlenwert des Produkts (u x v)·w (des so genanntes Spatprodukts) ist gleich dem Zahlenwert des Volumens des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds (Parallelflachs). Wenn die drei Vektoren nicht in einer Ebene liegen, ist dessen Volumen nicht gleich null.

E 3 Die Vektorpaare u und v, v und w, w und u spannen je eine Ebene auf. Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, sind diese drei Ebenen verschieden. Die Vektoren r, s und t sind die Flächennormalen dieser Ebenen. Wenn die Ebenen verschieden sind, liegen ihre Flächennormalen noicht in einer Ebene, sie sind also linear unabhängig.

F

Nach dem Entwicklungssatz ist

$\left({{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {e}}}\right)\times {\boldsymbol {e}}=\left({{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}}\right){\boldsymbol {e}}-\left({{\boldsymbol {e}}\cdot {\boldsymbol {e}}}\right){\boldsymbol {v}}=\left({{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}}\right){\boldsymbol {e}}-{\boldsymbol {v}},$

und daher

$\left({{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}}\right){\boldsymbol {e}}-\left({{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {e}}}\right)\times {\boldsymbol {e}}=\left({{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}}\right){\boldsymbol {e}}-\left({{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}}\right){\boldsymbol {e}}+{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}.$

G

Die drei äquivalenten skalaren Gleichungen lauten:

${\begin{matrix}kv_{1}+v_{2}a_{3}-v_{3}a_{2}=b_{1},\\kv_{2}+v_{3}a_{1}-v_{1}a_{3}=b_{2},\\kv_{3}+v_{1}a_{2}-v_{2}a_{1}=b_{3}.\end{matrix}}$

Daraus ergibt sich:

$v_{1}={\frac {\left({a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}\right)\left({k^{2}+a_{1}^{2}}\right)+\left({a_{1}b_{3}-kb_{2}}\right)\left({a_{1}a_{3}+ka_{2}}\right)}{\left({ka_{1}-a_{2}a_{3}}\right)\left({k^{2}+a_{1}^{2}}\right)+\left({ka_{3}+a_{1}a_{2}}\right)\left({a_{1}a_{3}+ka_{2}}\right)}}$

und nach einigen Umformungen

$v_{1}={\frac {a_{1}\left({k^{2}b_{1}+\left({{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}}\right)-k\left({{\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {a}}}\right)_{1}}\right)}{a_{1}k\left({k^{2}+\left|{\boldsymbol {a}}\right|^{2}}\right)}}={\frac {k^{2}b_{1}+\left({{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}}\right)-k\left({{\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {a}}}\right)_{1}}{k\left({k^{2}+\left|{\boldsymbol {a}}\right|^{2}}\right)}}$

wobei (b x a)₁ die erste Komponente des Vektorprodukts ist.

Durch einen einfachen Analogieschluss findet man

${\begin{matrix}\,v_{2}={\frac {k^{2}b_{2}+\left({{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}}\right)-k\left({{\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {a}}}\right)_{2}}{k\left({k^{2}+\left|{\boldsymbol {a}}\right|^{2}}\right)}},\\\\\,v_{3}={\frac {k^{2}b_{3}+\left({{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}}\right)-k\left({{\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {a}}}\right)_{3}}{k\left({k^{2}+\left|{\boldsymbol {a}}\right|^{2}}\right)}}.\end{matrix}}$

Diese drei skalaren Gleichungen lassen sich zu einer Vektorgleichung zusammenfassen, die gleich der gegebenen ist.