Varianten der klassischen Mechanik/ Erweiterung auf Vielteilchensysteme

Bisher haben wir uns bei den Betrachtungen auf eindimensionale Einteilchensysteme beschränkt. Die Einschränkung auf eine Dimension lassen wir auch weiter bestehen, um die auftretenden Gleichungen bzw. Formeln übersichtlich zu halten. In diesem Kapitel werden wir aber statt nur ein Teilchen sogar allgemein N miteinander wechselwirkende Teilchen am Beispiel gekoppelter harmonischer Oszillatoren diskutieren. Dieses System werden wir mittels Newton'scher, Lagrange'scher und Hamilton'scher Mechanik untersuchen. Jenes Beispiel ist geeignet, um zu verdeutlichen, dass sich im Rahmen der Lagrange'schen oder Hamilton'schen Mechanik, in denen ja Energiebetrachtungen (also skalare Größen) im Mittelpunkt stehen, die Bewegungsgleichungen mit weniger Mühe aufstellen lassen als in der Newton'schen Mechanik, in der ja vektorielle Größen wie Kräfte betrachtet werden.

Eindimensionale Vielteilchensysteme

Unter miteinander wechselwirkenden Teilchen verstehen wir solche, die gegenseitig aufeinander Kräfte wirken lassen. Wenn es sich dabei nur um Kräfte handelt, die ein Teilchen i (i=1, ..., N) von den übrigen N-1 erfährt, spricht man von "inneren Kräften" (im Gegensatz zu den "äußeren Kräften" sonst). Eine "Paarkraft" $F_{ij}$ liegt dann vor, wenn die Kraft eines Teilchens j auf ein Teilchen i absepariert werden kann. Wegen des dritten Newton'schen Axioms (actio = reactio) gilt dann:

$F_{ij}=-F_{ji}$,

d.h. die Kraft $F_{ij}$ des j-ten auf das i-te Teilchen ist betragsmäßig gleich jener ($F_{ji}$) des i-ten auf das j-te Teilchen, wirkt aber in die entgegengesetzte Richtung. Bei Paarkräften erkennt man also sehr deutlich, dass die Summe über alle inneren Kräfte verschwinden muss:

${\underset {i,j=1,\,i\neq j}{\sum ^{N}}}F_{ij}={\underset {i,j=1,\,i\neq j}{\sum ^{N}}}{\frac {1}{2}}\left(F_{ij}+F_{ij}\right)={\underset {i,j=1,\,i\neq j}{\sum ^{N}}}{\frac {1}{2}}\left(F_{ij}+F_{ji}\right)={\underset {i,j=1,\,i\neq j}{\sum ^{N}}}{\frac {1}{2}}\left(F_{ij}-F_{ij}\right)=0$.

Hinter dem zweiten Gleichheitszeichen haben wir dabei im zweiten Summanden (unter dem Summenzeichen) die Summationsindizes umbenannt: i in j und umgekehrt. Schließlich haben wir von $F_{ij}=-F_{ji}$ Gebrauch gemacht.

Für eine Kraft $F_{i}$, die ein Teilchen i von den übrigen N-1 Teilchen erfährt, also einer inneren Kraft, würde somit allgemein gelten:

${\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}F_{i}=0$.

Diese Kraft nimmt im Spezialfall der Paarkräfte $F_{ij}$ folgende Form an:

$F_{i}={\underset {j=1,\,j\neq i}{\overset {N}{\sum }}}F_{ij}=0$.

Ein System, in dem die Teilchen nur inneren Kräften unterliegen, führt nach dem zweiten Newton'schen Axiom auf die Bewegungsgleichungen

${\dot {p}}_{i}=F_{i}\,\left(i=1,...,N\right)$.

Hierfür gilt wieder die Erhaltung des Gesamtimpulses:

${\dot {P}}={\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}{\dot {p}}_{i}={\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}F_{i}=0$.

Eine Erhaltung der Gesamtenergie existiert zusätzlich, wenn die Kräfte $F_{i}$ Potentialkräfte sind:

$F_{i}=-{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}V\left(x_{1},...,x_{i},...,x_{N}\right)$.

Multiplikation von ${\dot {p}}_{i}=F_{i}$ mit ${\frac {p_{i}}{m_{i}}}={\dot {x}}_{i}$ (wobei $m_{i}$ die Masse des i-ten Teilchens sei) und Einsetzen der Potentialkraft sowie Summation über alle N Teilchen ergibt:

${\frac {d}{dt}}{\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}{\frac {p_{i}^{2}}{2m_{i}}}={\frac {1}{m_{i}}}{\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}p_{i}\,{\dot {p}}_{i}={\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}{\dot {x}}_{i}\,F_{i}=-{\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}{\dot {x}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}V\left(x_{1},...,x_{i},...,x_{N}\right)=-{\frac {d}{dt}}V\left(x_{1},...,x_{N}\right)$.

Dies ist tatsächlich der Energieerhaltungssatz:

${\frac {d}{dt}}\left({\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}{\frac {p_{i}^{2}}{2m_{i}}}+V\left(x_{1},...,x_{N}\right)\right)=0$.

Ein Beispiel für ein N-Teilchensystem, in dem auf die Teilchen nur innere Kräfte wirken, die zudem Potentialkräfte sind, ist z.B. das eindimensionale System, in dem jedes Teilchen mit seinem Nachbarn über einer Feder verbunden wird. Der Einfachheit wegen nehmen wir an, dass die Federn alle die gleiche Stärke D besitzen und die Teilchen auch sonst identisch sind, also alle die gleiche Masse m haben. Abgesehen vom ersten und letzten Teilchen wirkt auf ein Teilchen i am Ort $x_{i}$ eine durch jeweils eine Feder der Stärke D vom (i-1)-ten und (i+1)-ten Teilchen am Ort $x_{i-1}$ bzw. $x_{i+1}$ übertragene Kraft:

$F_{i}=-D\left(x_{i}-x_{i-1}\right)+D\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=D\left(x_{i+1}+x_{i-1}-2x_{i}\right),\,\left(i=2,...,N-1\right)$.

Diese Kraft ergibt sich aus dem Kräftegleichgewicht am Teilchen i, das relativ zum Teilchen i-1 um $x_{i}-x_{i-1}$ aus seiner Ruhelage ausgelenkt ist. Daher wirkt eine Rückstellkraft $-D\left(x_{i}-x_{i-1}\right)$ auf das Teilchen i in Richtung des Teilchens i-1. Das Teilchen i+1 ist relativ zum i-ten Teilchen um $x_{i+1}-x_{i}$ aus seiner Ruhelage ausgelenkt, weshalb auf das Erstere eine Kraft $-D\left(x_{i+1}-x_{i}\right)$ in Richtung des i-ten Teilchens wirkt. Wegen des dritten Newton'schen Axioms (actio = reactio) wirkt auf das Teilchen i betragsmäßig genau die gleiche Kraft, jedoch in die entgegengesetzte Richtung, also in Richtung des Teilchens i+1: $+D\left(x_{i+1}-x_{i}\right)$. Diese beiden Kräfte zusammen ergeben somit die gesamte Kraft $F_{i}$, die Teilchen i von seinen Nachbarn i-1 bzw. i+1 erfährt.

Nur auf die Randteilchen i=1 bzw. i=N wirken andere Kräfte:

$F_{1}=-Dx_{1}+D\left(x_{2}-x_{1}\right)$, $F_{N}=-D\left(x_{N}-x_{N-1}\right)$.

Dies könnte aber an $F_{i}$ mit $1<i<N$ angeglichen werden, wenn die "Kette" ringförmig geschlossen, also das erste Teilchen über eine Feder mit dem N-ten Teilchen (statt z.B. mit einer feststehenden Wand) verbunden wird (und dies zudem unter der Annahme, dass das Problem weiterhin eindimensional bleibt, also dass das System nicht selbst eine Ringform annimmt: Nichtsdestotrotz werden wir im Folgenden von einer »ringförmigen Kette« sprechen), so dass sinnvoller Weise $x_{0}=x_{N}$ bzw. $x_{N+1}=x_{1}$ definiert werden: Dies sind die sog. "periodischen Randbedingungen" und ermöglichen es, die Formel für die Kräfte $F_{i}$ mit $1<i<N$ auch auf die Teilchen i=1 und i=N anzuwenden, wovon wir im Folgenden ausgehen werden (und erst jetzt können wir auch bei den Kräften auf das erste Teilchen von "inneren Kräften" sprechen).

Das Aufstellen von Kräftegleichgewichten ist wegen des vektoriellen Charakters einer Kraft eher schwierig. Von der potentiellen Energie auszugehen, ist hingegen wegen ihres skalaren Charakters insbesondere dann einfach, wenn es sich um Paarkräfte handelt, die mit Hilfe eines "Paarpotenzials" dargestellt werden können. Ein solches Potenzial besitzt die Gestalt

$V\left(x_{1},...,x_{N}\right)={\underset {1\leq i<j\leq N}{\sum }}V\left(x_{i},x_{j}\right)$

und setzt sich aus Summen über Zwei-Teilchen-Potenziale $V\left(x_{i},x_{j}\right)$ zusammen. Für eine Kraft $F_{k}$ auf das Teilchen k gilt:

$F_{k}=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}V\left(x_{1},...,x_{k},...,x_{N}\right)=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\underset {j>k}{\sum }}V\left(x_{k},x_{j}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\underset {i<k}{\sum }}V\left(x_{i},x_{k}\right)$.

Wenn noch zusätzlich die Symmetrie-Eigenschaft

$V\left(x_{k},x_{i}\right)=V\left(x_{i},x_{k}\right)$

gültig sei, dann wird aus $F_{k}$

$F_{k}=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\underset {i=1,\,i\neq k}{\sum ^{N}}}V\left(x_{k},x_{i}\right)={\underset {i=1,\,i\neq k}{\sum ^{N}}}F_{ki}$,

worin wir wieder die Paarkräfte $F_{ki}$ zwischen zwei Teilchen $k\neq i$ eingeführt haben:

$F_{ki}=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}V\left(x_{k},x_{i}\right)$.

Wegen der Symmetrie-Eigenschaft können wir $V\left(x_{1},...,x_{N}\right)$ auch folgendermaßen darstellen:

$V\left(x_{1},...,x_{N}\right)={\frac {1}{2}}{\underset {i,j=1}{\overset {N}{\sum }}}V\left(x_{i},x_{j}\right)$.

Der Faktor 1/2 dient hier genauso wie zuvor die Bedingung i<j dem Zweck, eine Doppelzählung zu vermeiden.

Für die ringförmige Kette, die aus sich abwechselnden Teilchen und Federn besteht, ist $V\left(x_{k},x_{i}\right)$ von der Gestalt

$V\left(x_{k},x_{i}\right)={\frac {1}{2}}D\left(x_{k}-x_{i}\right)^{2}=V\left(x_{i},x_{k}\right)$

Ein Teilchen i ist aber ausschließlich an seine beiden nächsten Nachbarn (also Teilchen i-1 und i+1 und nicht noch zusätzlich mit den restlichen N-3 Teilchen) gekoppelt. Daher vereinfacht sich $V\left(x_{1},...,x_{N}\right)$ zu

$V\left(x_{1},...,x_{N}\right)={\underset {1\leq i\leq N,\,i<j\leq i+1}{\sum }}V\left(x_{i},x_{j}\right)={\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}V\left(x_{i},x_{i+1}\right)={\frac {1}{2}}D{\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}\left(x_{i}-x_{i+1}\right)^{2}$,

wobei wir hier die periodischen Randbedingungen berücksichtigt haben. Hieraus folgt wiederum die bereits zitierte Kraft auf ein Teilchen k:

$F_{k}=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\frac {1}{2}}D\left[\left(x_{k-1}-x_{k}\right)^{2}+\left(x_{k}-x_{k+1}\right)^{2}\right]=D\left(x_{k+1}+x_{k-1}-2x_{k}\right)$.

Bisher sind wir nur von der Newton'schen Mechanik ausgegangen, um Bewegungsgleichungen für ein Viel-Teilchen-System aufzustellen. Das d'Alembert'sche Prinzip der virtuellen Arbeit lässt sich auf ein N-Teilchensystem ausdehnen lässt:

${\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}\left({\dot {p}}_{i}-F_{i}\right)\,\delta x_{i}=0$.

Da Arbeit bzw. Energie eine skalare Größe ist, wird sie wie gewohnt (skalar) addiert: Dies geschieht hier über alle N Teilchen. Die virtuellen Verrückungen $\delta x_{i}\,\left(i=1,...,N\right)$ der individuellen Teilchen sollen dabei als voneinander unabhängig angesehen werden (da sie zu individuell beweglichen Teilchen gehören sollen - also ganz im Gegenteil zu den Teilchen in einem starren Körper), sodass sich aus dem d'Alembert'schen Prinzip die N Bewegungsgleichungen ergeben: Denn in diesem Fall wird jeder einzelne Vorfaktor der $\delta x_{i}$ für sich gleich Null.

Das d'Alembert'sche Prinzip kann wieder als Ausgangspunkt für die Herleitung der Lagrange'schen Mechanik gewählt werden: So wie wir dies ja bereits bei eindimensionalen Einteilchen-Systemen gezeigt haben. An den Einteilchen-Größen ändert sich dabei im Wesentlichen nichts, außer dass sie statt von einer Koordinate q bzw. einer Geschwindigkeit ${\dot {q}}$ von M=N dieser Größen, nämlich für jedes Teilchen eins, also von $q_{i}$ bzw. ${\dot {q}}_{i}$ mit $i=1,...,M$ abhängen. Dies gilt auch für die Koordinatentransformation: $x_{i}=x_{i}\left(q_{1},...,q_{M},t\right)\,\left(i=1,...,N\right)$. Für die virtuellen Verrückungen $\delta x_{i}$ ergibt sich daher $\delta x_{i}\left(q_{1},...,q_{M},t\right)={\underset {j=1}{\overset {M}{\sum }}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}$ mit M=N.

Dies führt z.B. dazu, dass wir Summen über die Einteilchen-Größe der kinetischen Energien $T\left(q_{i},{\dot {q}}_{i},t\right)$ (für $i=1,...,M$) erhalten, die wir aber zu einer N-Teilchen-Größe zusammenfassen können:

$T\left(q_{1},...,q_{M},{\dot {q}}_{1},...,{\dot {q}}_{M},t\right)=T\left(\left\{q_{i}\right\},\left\{{\dot {q}}_{i}\right\},t\right)={\underset {j=1}{\overset {N}{\sum }}}{\frac {1}{2}}m_{j}{\dot {x}}_{j}^{2}\left(\left\{q_{i}\right\}\right)$,

wobei wir mit $\left\{q_{i}\right\}=\left\{q_{1},...,q_{N}\right\}$ (und analog hierzu $\left\{{\dot {q}}_{i}\right\}$) meinen sowie dem einzelnen Teilchen i eine individuelle Masse $m_{i}$ zugeordnet haben. Für Kräfte, die sich als eine Summe aus Potenzial- und Nicht-Potenzialkräften $f_{i}$ darstellen lassen,

$F_{i}=f_{i}-{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}V\left(\left\{x_{j}\right\},t\right)$

mit $V\left(x_{1},...,x_{N},t\right)=V\left(\left\{x_{j}\right\},t\right)$, entsteht die Gleichung

$0={\underset {i=1}{\overset {M}{\sum }}}\left[{\underset {j=1}{\overset {N}{\sum }}}f_{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q_{i}}}-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\right)\right]\delta q_{i}$.

Hierin ist die Anzahl M der neuen Koordinaten $q_{i}$ (wie bereits gesagt) gleich der Anzahl der alten Koordinaten $x_{i}$, nämlich gleich der Teilchenzahl N: M=N (d.h. für jedes Teilchen jeweils eine alte bzw. neue Koordinate). Da die virtuellen Verrückungen $\delta q_{i}$ wieder unabhängig voneinander sind, folgen aus der zuletzt genannten Gleichung N Euler-Lagrange-Gleichungen:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\underset {j=1}{\overset {N}{\sum }}}f_{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q_{i}}},\,\left(i=1,...,N\right)$.

Für reine Potenzialkräfte ist die reche Seite dieser Gleichung gleich Null. Die (natürliche) Lagrangefunktion ist eine N-Teilchengröße geworden:

$L\left(\left\{q_{i}\right\},\left\{{\dot {q}}_{i}\right\},t\right)=T\left(\left\{q_{i}\right\},\left\{{\dot {q}}_{i}\right\},t\right)-U\left(\left\{q_{i}\right\},t\right)$

mit $U\left(\left\{q_{i}\right\},t\right)=V\left(\left\{x_{i}\left(\left\{q_{j}\right\}\right)\right\},t\right)$.

Sinngemäß lassen sich so auch die übrigen Ergebnisse der vorangegangenen Kapitel auf N-Teilchen-Systeme übertragen. Dies gilt auch für die Hamilton'sche Mechanik, die dann auf einer N-Teilchen-Hamiltonfunktion basiert:

$H\left(\left\{q_{i}\right\},\left\{\pi _{i}\right\},t\right)={\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}\pi _{i}v_{i}\left(\left\{q_{j}\right\},\left\{\pi _{j}\right\},t\right)-L\left(\left\{q_{j}\right\},\left\{v_{j}\left(\left\{q_{k}\right\},\left\{\pi _{k}\right\},t\right)\right\},t\right)$,

die auf diese Weise aus der N-Teilchen-Lagrangefunktion gebildet werden kann. Die Geschwindigkeiten haben wir dabei mit ${\dot {q}}_{i}=v_{i}\left(\left\{q_{j}\right\},\left\{\pi _{j}\right\},t\right)$ und die kanonischen Impulse

mit $\pi _{i}$ bezeichnet. Letzterer folgt gleichermaßen aus der N-Teilchen-Lagrangefunktion:

$\pi _{i}\left(\left\{q_{j}\right\},\left\{{\dot {q}}_{j}\right\},t\right)={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\left(\left\{q_{j}\right\},\left\{{\dot {q}}_{j}\right\},t\right)$.

Mit der Hamiltonfunktion ergeben sich dann die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen des N-Teilchensystems:

${\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$, ${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial \pi _{i}}}$

für $i=1,...,N$.

In unserem Beispiel einer linearen Kette aus N über (identische) Federn miteinander verbundenen Massen (gleicher Größe) folgt die kinetische N-Teilchen-Energie zu

$T={\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {x}}_{i}^{2}$.

Wenn wir periodische Randbedingungen fordern (und eine identische Transformation $x_{i}=q_{i}$ betrachten), dann erhalten wir wieder die potentielle Energie

$V\left(\left\{x_{j}\right\}\right)={\frac {1}{2}}D{\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}\left(x_{i}-x_{i+1}\right)^{2}$.

Die (natürliche) N-Teilchen-Lagrangefunktion lautet dann

$L\left(\left\{x_{i}\right\},\left\{{\dot {x}}_{i}\right\},t\right)=T-V={\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-{\frac {1}{2}}D{\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}\left(x_{i}-x_{i+1}\right)^{2}$.

Mittels der Euler-Lagrange-Gleichungen ergeben sich hieraus erneut die N Bewegungsgleichungen

$m{\ddot {x}}_{i}=D\left(x_{i+1}+x_{i-1}-2x_{i}\right)$.

Die N kanonischen Impulse lauten

$\pi _{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}$.

Die Hamiltonfunktion ergibt sich dann zu

$H\left(\left\{q_{j}\right\},\left\{\pi _{j}\right\},t\right)={\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}{\frac {\pi _{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}D{\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}\left(x_{i}-x_{i+1}\right)^{2}$.

Hiermit lassen sich die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen aufstellen:

${\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}=D\left(x_{i+1}+x_{i-1}-2x_{i}\right)$, ${\dot {x}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial \pi _{i}}}={\frac {\pi _{i}}{m}}$.

Bei der Lagrangefunktion erkennen wir übrigens, dass diese invariant unter einer für alle Teilchenkoordinaten gleiche Translation $x_{i}\left(t,s\right)=x_{i}+s\,\Delta x$ ist, wobei $\Delta x$ eine Konstante ist und s einen zeitunabhängigen Parameter darstellt. Nach dem Satz von Emmy Noether muss dann die Größe ${\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\frac {\partial {\dot {x}}_{i}}{\partial s}}={\underset {i=1}{\overset {N}{\sum }}}m{\dot {x}}_{i}\,\Delta x$ eine Konstante der Bewegung sein. Abgesehen vom konstanten Faktor $\Delta x$ ist dies offensichtlich der Gesamtimpuls.

Jetzt haben wir zwar die Bewegungsgleichungen des N-Teilchenproblems auf vier unterschiedliche Weisen gewinnen können, aber diese leider immer noch nicht gelöst. Dies scheint auch gar nicht so einfach zu sein, da die N Gleichungen ja offensichtlich miteinander gekoppelt sind: Die Bewegungsgleichung für das Teilchen i ist auch abhängig von den Auslenkungen $x_{i+1}$, $x_{i-1}$ seiner beiden nächsten Nachbarteilchen i+1 und i-1. Es ist aber dennoch eines der Beispiele von Bewegungsgleichungen eines N-Teilchensystems, die durch eine geschickte Wahl der Koordinaten entkoppelt werden können. Aus ihnen werden dann N voneinander unabhängige harmonische Oszillatoren, was im Folgenden gezeigt werden soll.

Eine Koordinate $x_{n}$ setzten wir folgendermaßen an:

$x_{n}\left(t\right)={\underset {l}{\sum }}q_{l}\left(t\right){\frac {1}{\sqrt {N}}}\exp \left(ink_{l}\xi \right)={\underset {l}{\sum }}q_{l}\left(t\right)w\left(n,l\right)$,

wobei $\xi$ der Abstand zwischen zwei benachbarten Teilchen in ihren Ruhelagen ist. Aus der periodischen Randbedingung $x_{1}=x_{N+1}$ folgt:

$x_{N+1}\left(t\right)={\underset {l}{\sum }}q_{l}\left(t\right){\frac {1}{\sqrt {N}}}\exp \left(iNk_{l}\xi \right)\exp \left(ik_{l}\xi \right)=x_{1}={\underset {l}{\sum }}q_{l}\left(t\right){\frac {1}{\sqrt {N}}}\exp \left(ik_{l}\xi \right)$,

was zur Forderung

$1=\exp \left(iNk_{l}\xi \right)=\cos \left(Nk_{l}\xi \right)+i\sin \left(Nk_{l}\xi \right)$

führt. Da der Kosinus bei ganzzahligen Vielfachen von $2\pi$ gleich Eins wird und der Sinus verschwindet, gilt für die sog. "Wellenzahl" $k_{l}$:

$k_{l}={\frac {2\pi }{N\xi }}l$,

wobei l für eine ganze Zahl steht. Die Funktion $w\left(n,l\right)={\frac {1}{\sqrt {N}}}\exp \left(ink_{l}\xi \right)={\frac {1}{\sqrt {N}}}\exp \left(in{\frac {2\pi }{N}}l\right)$ besitzt noch folgende weitere Eigenschaften:

$w^{*}\left(n,l\right)=w\left(n,-l\right)$, $w\left(n+r,l\right)=\exp \left(i{\frac {2\pi r}{N}}l\right)w\left(n,l\right)$.

Die Koordinate $x_{n}$ muss eine reelle Größe sein:

$x_{n}^{*}\left(t\right)={\underset {l}{\sum }}q_{l}^{*}\left(t\right)w^{*}\left(n,l\right)={\underset {l}{\sum }}q_{l}^{*}\left(t\right)w\left(n,-l\right)=x_{n}\left(t\right)={\underset {l}{\sum }}q_{l}\left(t\right)w\left(n,l\right)$,

sodass

$q_{l}\left(t\right)=q_{-l}^{*}\left(t\right)$

erfüllt sein muss. Setzen wir nun den Ausdruck für unsere transformierten Koordinaten $x_{n}\left(t\right)$ in die Bewegungsgleichungen ein, so erhalten wir:

$m{\underset {l}{\sum }}{\ddot {q}}_{l}\left(t\right)w\left(n,l\right)=D{\underset {l}{\sum }}q_{l}\left(t\right)\left[w\left(n+1,l\right)+w\left(n-1,l\right)-2w\left(n,l\right)\right]=$ $D{\underset {l}{\sum }}q_{l}\left(t\right)\left[\exp \left(i{\frac {2\pi l}{N}}\right)+\exp \left(-i{\frac {2\pi l}{N}}\right)-2\right]w\left(n,l\right)$.

Hieraus schließen wir auf die Bewegungsgleichungen in den neuen Koordinaten $q_{l}\left(t\right)$:

${\ddot {q}}_{l}\left(t\right)+\omega ^{2}\left(k_{l}\right)q_{l}\left(t\right)=0$

mit der Frequenz

$\omega ^{2}\left(k_{l}\right)=2{\frac {D}{m}}\left[1-{\frac {1}{2}}\left(\exp \left(ik_{l}\xi \right)+\exp \left(-ik_{l}\xi \right)\right)\right]=2{\frac {D}{m}}\left(1-\cos \left(k_{l}\xi \right)\right)$,

die eine sog. "Dispersionsrelation" darstellt, also eine Beziehung zwischen einer Frequenz (nämlich jener der N harmonischen Oszillatoren) und einer Wellenzahl $k_{l}$ ist. Wir haben durch die Koordinatentransformation somit tatsächlich Bewegungsgleichungen für N ungekoppelte harmonische Oszillatoren erhalten, deren Lösungen uns ja bereits bekannt sind. Das hier betrachtete Beispiel dient in der Festkörperphysik als einfachste (da eindimensionale) Veranschaulichung von Gitterschwingungen: Die Teilchen stellen dort Gitteratome dar, die in einer ersten Näherung gegenseitig nur auf ihre nächsten Nachbarn Kräfte wirken lassen, deren Stärke proportional zur Auslenkung der Gitteratome aus ihrer Ruhelage anwächst. Mit Hilfe der periodischen Randbedingungen erreicht man ein quasi "unendlich" großes/ langes Atomgitter, in dem somit "Randeffekte" keine Rolle spielen dürften.

Der Liouville'sche Satz

In der Literatur wird im Zusammenhang mit den kanonischen Transformationen oft der Satz von Liouville zitiert. Dieser besagt im Wesentlichen, dass sich das sog. "Phasenraumvolumen" im Laufe der Zeit nicht verändert. Ein Punkt im sog. "Phasenraum" zu einer Zeit t wird für ein eindimensionales System, auf das wir uns hier wieder der Einfachheit wegen beschränken werden, durch ein Koordinatenpaar $\left(q,\pi _{q}\right)$ charakterisiert. Zu einem etwas späteren Zeitpunkt $t+dt$, nämlich nach einer infinitesimal kleinen zeitlichen Änderung dt, befinde sich das System im Phasenraumpunkt $\left(Q,\Pi _{Q}\right)$. Die neuen Koordinaten $\left(Q,\Pi _{Q}\right)$ gehen also aus den alten $\left(q,\pi _{q}\right)$ durch eine infinitesimale Verschiebung mit der Zeit hervor:

$Q=q+{\dot {q}}\,dt$, $\Pi _{Q}=\pi _{q}+{\dot {\pi }}_{q}\,dt$.

Dieses infinitesimale Fortschreiten mit der Zeit kann auch als kanonische Transformation aufgefasst werden, da die Poissonklammer $\left\{Q,\Pi _{Q}\right\}\left(q,\pi _{q}\right)$ bis einschließlich der Ordnung dt gleich Eins ist:

$\left\{Q,\Pi _{Q}\right\}\left(q,\pi _{q}\right)=1+O\left(\left(dt\right)^{2}\right)$,

weil

• ${\frac {\partial Q}{\partial q}}=1+{\frac {\partial {\dot {q}}}{\partial q}}dt=1+{\frac {\partial ^{2}H}{\partial q\partial \pi _{q}}}dt$,

• ${\frac {\partial Q}{\partial \pi _{q}}}={\frac {\partial {\dot {q}}}{\partial \pi _{q}}}dt={\frac {\partial ^{2}H}{\partial \pi _{q}^{2}}}dt$,

• ${\frac {\partial \Pi _{Q}}{\partial q}}={\frac {\partial {\dot {\pi }}_{q}}{\partial q}}dt=-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial q^{2}}}dt$,

• ${\frac {\partial \Pi _{Q}}{\partial \pi _{q}}}=1+{\frac {\partial {\dot {\pi }}_{q}}{\partial \pi _{q}}}dt=1-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial \pi _{q}\partial q}}dt$

in die Poissonklammer $\left\{Q,\Pi _{Q}\right\}\left(q,\pi _{q}\right)$ eingesetzt, einen Koeffizienten $\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q\partial \pi _{q}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial \pi _{q}\partial q}}\right)=0$ von dt erzeugen.

Das sog. (infinitesimale) "Phasenraumvolumen" bleibt bei dieser infinitesimalen Zeitverschiebung unverändert:

$dQ\,d\Pi _{Q}=\left|{\frac {\partial \left(Q,\Pi _{Q}\right)}{\partial \left(q,\pi _{q}\right)}}\right|dq\,d\pi _{q}=dq\,d\pi _{q}+O\left(\left(dt\right)^{2}\right)$,

weil hier für die Jacobi-Determinante (oder Funktionaldeterminante) ${\frac {\partial \left(Q,\Pi _{Q}\right)}{\partial \left(q,\pi _{q}\right)}}=\left\{Q,\Pi _{Q}\right\}\left(q,\pi _{q}\right)$ gilt.

Der Satz von Liouville besitzt insbesondere in der statistischen Mechanik große Bedeutung, wo mit sog. "Wahrscheinlichkeitsdichten" $\varrho \left(q,\pi _{q},t\right)$ gearbeitet wird, die etwas darüber aussagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit in einem Vielteilchensystem zu einer bestimmten Zeit t ein Teilchen im Phasenraumpunkt $\left(q,\pi _{q}\right)$ vorzufinden ist. Die Wahrscheinlichkeit, ein solches System zur Zeit t in einem beliebigen Phasenraumpunkt vorzufinden, muss Eins sein, was sich folgendermaßen formulieren lässt:

$1=\int dq\,d\pi _{q}\,\varrho \left(q,\pi _{q},t\right)$,

d.h. es wird über die Wahrscheinlichkeiten aller Phasenraumpunkte summiert. Diese Normierungsbedingung für die Wahrscheinlichkeitsdichte muss für alle Zeiten gelten, was infinitesimal bedeutet, dass folgende Eigenschaft der Wahrscheinlichkeitsdichte erfüllt sein muss:

$\varrho \left(q,\pi _{q},t\right)dq\,d\pi _{q}=\varrho \left(Q,\Pi _{Q},t+dt\right)dQ\,d\Pi _{Q}$,

was wegen $dQ\,d\Pi _{Q}=dq\,d\pi _{q}$ auf

$\varrho \left(q+{\dot {q}}dt,\pi _{q}+{\dot {\pi }}_{q}dt,t+dt\right)=\varrho \left(Q,\Pi _{Q},t+dt\right)=\varrho \left(q,\pi _{q},t\right)$

führt. Entwickeln wir jetzt $\varrho$ um dt, dann erhalten wir hieraus (bis einschließlich der Ordnung $dt$):

$\varrho \left(q,\pi _{q},t\right)=\varrho \left(q+{\dot {q}}dt,\pi _{q}+{\dot {\pi }}_{q}dt,t+dt\right)\approx \varrho \left(q,\pi _{q},t\right)+\left({\frac {\partial \varrho }{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial \varrho }{\partial \pi _{q}}}{\dot {\pi }}_{q}+{\frac {\partial \varrho }{\partial t}}\right)dt$,

woraus wiederum

$0={\frac {\partial \varrho }{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial \varrho }{\partial \pi _{q}}}{\dot {\pi }}_{q}+{\frac {\partial \varrho }{\partial t}}={\frac {d}{dt}}\varrho \left(q,\pi _{q},t\right)$

folgt. Hieraus ergibt sich eine sog. "Kontinuitätsgleichung" , die sog. "Liouville'sche Gleichung", was sich durch Umstellen und mit Hilfe der Hamilton'schen Gleichungen ${\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial \pi _{q}}}$, ${\dot {\pi }}_{q}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}$ zeigen lässt:

$-{\frac {\partial \varrho }{\partial t}}={\frac {\partial \varrho }{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial \varrho }{\partial \pi _{q}}}{\dot {\pi }}_{q}={\frac {\partial }{\partial q}}\left(\varrho {\dot {q}}\right)+{\frac {\partial }{\partial \pi _{q}}}\left(\varrho {\dot {\pi }}_{q}\right)-\varrho \left({\frac {\partial {\dot {q}}}{\partial q}}+{\frac {\partial {\dot {\pi }}_{q}}{\partial \pi _{q}}}\right)={\frac {\partial }{\partial q}}\left(\varrho {\dot {q}}\right)+{\frac {\partial }{\partial \pi _{q}}}\left(\varrho {\dot {\pi }}_{q}\right)$,

weil

${\frac {\partial {\dot {q}}}{\partial q}}+{\frac {\partial {\dot {\pi }}_{q}}{\partial \pi _{q}}}={\frac {\partial ^{2}H}{\partial q\partial \pi _{q}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial \pi _{q}\partial q}}=0$.

Wegen der Hamilton'schen Gleichungen kann die Liouville'sche Gleichung aber auch mittels Poissonklammer ausgedrückt werden:

$-{\frac {\partial \varrho }{\partial t}}={\frac {\partial \varrho }{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial \varrho }{\partial \pi _{q}}}{\dot {\pi }}_{q}={\frac {\partial \varrho }{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial \pi _{q}}}-{\frac {\partial \varrho }{\partial \pi _{q}}}{\frac {\partial H}{\partial q}}=\left\{\varrho ,H\right\}\left(q,\pi _{q}\right)$.

Die Kontinuitätsgleichung lässt sich mit Hilfe des Phasenraumvektors ${\overrightarrow {x}}=\left({\begin{array}{c}q\\\pi _{q}\end{array}}\right)$ und der Phasenraumgeschwindigkeit ${\dot {\overrightarrow {x}}}=\left({\begin{array}{c}{\dot {q}}\\{\dot {\pi }}_{q}\end{array}}\right)$ sowie mittels Nabla-Operator ${\overrightarrow {\nabla }}=\left({\begin{array}{cc}{\frac {\partial }{\partial q}},&{\frac {\partial }{\partial \pi _{q}}}\end{array}}\right)$ sehr einfach darstellen

${\frac {\partial \varrho }{\partial t}}=-{\overrightarrow {\nabla }}\cdot \left(\varrho {\dot {\overrightarrow {x}}}\right)$.

Wird über das gesamte Phasenraumvolumen V integriert, resultiert aus der Kontinuitätsgleichung mit Hilfe des Gauß'schen Satzes

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\,d^{2}x\,\varrho =-\int _{V}\,d^{2}x\,{\overrightarrow {\nabla }}\cdot \left(\varrho {\dot {\overrightarrow {x}}}\right)=-\int _{A=\partial V}\,d{\overrightarrow {a}}\cdot \left(\varrho {\dot {\overrightarrow {x}}}\right)=0$,

wobei im letzten Schritt angenommen wurde, dass der Integrand auf dem Rand $A=\partial V$ des Phasenraumvolumens V verschwindet. Die Wahrscheinlichkeit $\int _{V}\,d^{2}x\,\varrho$, das System in einem beliebigen Phasenraumpunkt vorzufinden, hängt also nicht explizit von der Zeit ab, sondern ist zeitlich konstant. Da diese Konstante zum Zeitpunkt t nach Voraussetzung Eins war, ist sie es auch für alle Zeiten.

Im sog. "thermodynamischen Gleichgewicht" soll die Wahrscheinlichkeitsdichte $\varrho$ nicht mehr explizit von der Zeit abhängen:

$0={\frac {\partial }{\partial t}}\varrho \left(q,\pi _{q}\right)$.

Dies ist nach der Liouville'schen Gleichung unter der (hinreichenden aber nicht unbedingt notwendigen) Bedingung $\varrho \left(q,\pi _{q}\right)={\tilde {\varrho }}\left(H\left(q,\pi _{q}\right)\right)$ erfüllt, was sich mit Hilfe der Hamilton'schen Gleichungen und der Kettenregel zeigen lässt:

$-{\frac {\partial \varrho }{\partial t}}={\frac {\partial \varrho }{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial \pi _{q}}}-{\frac {\partial \varrho }{\partial \pi _{q}}}{\frac {\partial H}{\partial q}}={\frac {\partial {\tilde {\varrho }}}{\partial H}}\left({\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial \pi _{q}}}-{\frac {\partial H}{\partial \pi _{q}}}{\frac {\partial H}{\partial q}}\right)=0$.

Dies ist ein möglicher Ausgangspunkt für die statistische Mechanik, in deren Rahmen u.a. Beispiele für jene Wahrscheinlichkeitsdichten präsentiert werden.