Teilbarkeitsregeln

Präampel

Als Kind hatten mich Teilbarkeitsregeln fasziniert. Ausgelöst durch ein Buch "Schlag Nach – Natur", einer populärwissenschaftlichen tabellelarischen Wissenssammlung aus allen Gebieten

Teilbarkeitsregeln durch 2 und 5 sind trivial, durch 3 und 9 schon etwas weniger trivial.

Zur damaligen Zeit, weit vor der Zeit des World Wide Web, durchsuchte ich Bücher nach neuen Regeln. Meist fand man immer wieder die gleichen Regeln und es blieben die alten Lücken bestehen.

Ein großer Jagderfolg war die Teilbarkeitsregel durch 11. Für 7 habe ich in dieser Zeit nie eine Regel gefunden.

Heutzutage ist das wesentlich einfacher, aber häufig bleibt die Frage offen, warum das so ist und wie man darauf kommt.

In diesem kleinen Buch soll es darum gehen:

• Was sind eigentlich Teilbarkeitsregeln?
• Wo kommen sie her?
• Wie kann ich sie selber entwerfen?

Letzteres ist inbesondere interessant, wenn man Zahlen in anderen Darstellungen als der Dezimaldarstellung vorliegen hat.

Es wird hier übrigens nicht auf Quellen (insbesondere nicht in Form von Links) verwiesen, sondern die Regeln mathematisch bewiesen. Quellen können selbst nicht genauer sein als deren Quellen (wenn diese überhaupt angegeben sind), Links können ihren Inhalt zeitlich ändern (z. B. verschwinden) oder der angezeigte Inhalt kann abhängig von Land, Webbrowser und installierten Plugins sein.

Was sind Teilbarkeitsregeln?

Andere Zahlendarstellungen

So gibt es völlig andere Darstellungen von Zahlen: Ursprünglich wurden wahrscheinlich Strichlisten geführt: 2 = ||,  7 = |||||||,  11 = ||||||||||| Fünfergruppierungen und Querstriche verbesserten die Lesbarkeit: 2 = ||,  7 = |||| ||,  11 = |||| |||| |,  19 = |||| |||| |||| |||| Die Römer verfeinerten dies und führten sowohl Kurzsymbole für 5, 10, 50, 100, 500 und 1000 ein und kürzten 4 oder 9 Symbole durch eine Spezialregel. Dies war die Römische Zahlschrift: 2 = II,  7 = VII,  11 = XI,  19 = XIX,  91 = XCI,  2024 = MMXXIV und auch bei Stellenwertsystemen ist die Zahlenbasis 10 nicht selbstverständlich: In den Bantusprachen wurde ursprünglich zur Basis 5 gerechnet. So führte Gottfried Wilhelm Leibniz ein Stellenwertsystemen zur Basis 2 ein. So rechnen Computern in Stellenwertsystemen zur Basis $2^{8},2^{16},2^{32}$ und $2^{64}$. Dezimaldarstellungen werden nur berechnet, wenn sie Zahlen Menschen zu Gesicht bekommen sollen.

Praktische Definition

Teilbarkeitsregeln sind einfache, möglichst im Kopf ausführbare Algorithmen, die bestimmen, ob eine zu testende, natürliche Zahl $Z\in \mathbb {N}$, vorliegend in der Zifferndarstellung $\{z_{k}z_{k\!-\!1}z_{k\!-\!2}\!\ldots z_{2}z_{1}z_{0}\}$ durch eine andere, natürliche Zahl $p\in \mathbb {N^{+}}$ ungleich Null ohne Rest teilbar ist.

Bemerkungen

Im Allgemeinen haben wir es mit Zahlen in normalisierter Dezimaldarstellung, einem Stellenwertsystem zur Basis $\mathbf {B} =\mathbf {10}$ mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 zu tun. Es hat sich schon jemand die Mühe gemacht, den abstrakten Begriff einer Zahl in die Dezimaldarstellung gebracht zu haben.

Es interessiert weder der Quotient ${\tfrac {Z}{p}}$ noch der genaue Rest, es interessiert nur, ob der Rest gleich $0$ oder ungleich $0$ ist. Viele, aber nicht alle Regeln erhalten den Rest.

Die $k\!+\!1$-stellige Zahl $Z$ liegt üblicherweise in Dezimaldarstellung $\{z_{k}z_{k\!-\!1}z_{k\!-\!2}\!\ldots z_{2}z_{1}z_{0}\}$ vor.

${\begin{aligned}Z&=\sum _{i=0}^{k}\mathbf {B} ^{i}\cdot z_{i}\\&=\sum _{i=0}^{k}10^{i}\cdot z_{i}\\[0.5ex]&=10^{k}\!z_{k}+10^{k\!-\!1}\!z_{k\!-\!1}+10^{k\!-\!2}\!z_{k\!-\!2}+\quad \ldots \quad +100z_{2}+10z_{1}+1z_{0}\\[1ex]&=1z_{0}+10z_{1}+100z_{2}+\quad \ldots \quad +10^{k\!-\!2}\!z_{k\!-\!2}+10^{k\!-\!1}\!z_{k\!-\!1}+10^{k}\!z_{k}\end{aligned}}$

Übliche Ziffern bzw. Alphabet

Europäisch	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Arabisch/Indisch	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
Persisch/Urdu	٠	١	٢	٣	۴	۵	۶	٧	٨	٩
Devanagari	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
Tamil	௦	௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯

Dabei stellt $z_{i}$ die $i\!\!+\!\!1$. Stelle mit dem Wert $\mathbf {B} ^{k}=\mathbf {10} ^{k}$ dar.
Eine dreistellige Zahl wird als $Z=\{z_{2}z_{1}z_{0}\}$ geschrieben, wobei die Werte der Stellen durch spezielle Zeichen kodiert werden. Man nennt diese Ziffern (oder allgemein Alphabet). Es hat sich in unserem Kulturkreis die Schreibweise die Schreibweise von links/groß-nach-rechts/klein durchgesetzt. Man kennt von jeder Ziffer deren wahre Bedeutung erst, wenn man an das Ende der ganzen Zahl gelangt ist, d. h. die 3 in 3, 38 und 386 stellt unterschiedliche Werte (nämlich 3, 30 und 300) dar.

Idee

Teilbarkeitsregeln durch $p$ konstruiert man durch trickreiche, einfache Operationen, die die Zahl verkleinern, die Teilbarkeit durch $p$ aber nicht verändern.

Beispiel: Division durch 5

Regel

Man nehme die letzte Ziffer der Zahl und untersuche diese, ob sie durch 5 teilbar ist, d. h. 0 oder 5 lautet. Ist dies der Fall, ist die Zahl durch 5 teilbar.

Satz

Das Entfernen aller Ziffern bis auf die Einerstelle verändert nicht die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Die Zahl $Z$ mit den Ziffern $\{z_{k}z_{k\!-\!1}z_{k\!-\!2}\!\ldots z_{2}z_{1}z_{0}\}$ lautet:

$Z=\sum _{i=0}^{k}10^{i}\cdot z_{i}$

Die letzte Ziffer lautet:

$Z'=z_{0}$

Durch Weglassen aller Ziffern bis auf die letzte verändere ich die Zahl um $Z_{\Delta }$:

${\begin{aligned}Z_{\Delta }=Z-Z'&=\sum _{i=0}^{k}10^{i}\cdot z_{i}\ -\ z_{0}\\&=\sum _{i=1}^{k}10^{i}\cdot z_{i}+z_{0}\ -\ z_{0}\\&=\sum _{i=1}^{k}10^{i}\cdot z_{i}\\&=10\cdot \sum _{i=1}^{k}10^{i-1}\cdot z_{i}\\&=10\cdot \sum _{i=0}^{k-1}10^{i}\cdot z_{i+1}\end{aligned}}$

Da $\sum _{i=0}^{k-1}10^{i}\cdot z_{i+1}$ eine ganze Zahl ist, da alle Faktoren, damit die Produkte und damit die ganze Summe ganzzahlig ist, ist $Z_{\Delta }$ ein Vielfaches von 10 und der „Fehler“ durch das Entfernen aller Ziffern bis auf die Einerziffer verändert nicht die Teilbarkeit durch 10. Da 5 ein Teiler von 10, verändert sich nicht die Teilbarkeit durch 5. Gleiches gilt für die Teiler 2 und 10.

Welche Kategorien von Teilbarkeitsregeln gibt es?

An:

Nutzt aus, dass 10ⁿ durch $p$ teilbar ist. Es brauchen nur die letzten n Ziffern der Zahl betrachtet zu werden.

A1 wird für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10 genutzt.

Bn:

Nutzt aus, dass 10ⁿ–1 durch $p$ teilbar ist. Es braucht nur die n-er Quersumme betrachtet zu werden.

B1 wird für die Teilbarkeit durch 3 und 9 genutzt.

Cn:

Nutzt aus, dass 10ⁿ+1 durch $p$ teilbar ist. Es braucht nur die alternierende n-er Quersumme betrachtet zu werden.

C1 wird für die Teilbarkeit durch 11 genutzt.

Dn:

Nutzt aus, dass 10n–1 durch $p$ teilbar ist. Es wird rekursiv n ⋅ d₀ zur der restlichen Zahl d_k...d₁ addiert.

D2 wird für die Teilbarkeit durch 19 genutzt.

En:

Nutzt aus, dass 10n+1 durch $p$ teilbar ist. Es wird rekursiv n ⋅ d₀ von der restlichen Zahl d_k...d₁ subtrahiert.

E2 wird für die Teilbarkeit durch 7 und 21 genutzt.

Fp:

Algemein anwendbar, aber meist aufwendig. Benutzt die Folge 10^j mod p als Wichtungsfaktoren für die einzelnen Ziffern.

F8 wird für die Teilbarkeit durch 8 genutzt.

Kombinationen:

A1 und B1 kann man für die Teilbarkeit durch 6 kombinieren, indem man auf Teilbarkeit durch 2 und durch 3 testet.

A1° und B1 kann man für die Teilbarkeit durch 60 kombinieren, indem man durch 10 teilt(!) und den Quotienten auf Teilbarkeit durch 6 testet. Letzteres geschieht durch Testen auf Teilbarkeit durch 2 und 3.

Begriffe, erklärt in der Wikipedia

• Was sind Primzahlen?
• Was ist eine Primfaktorzerlegung einer Natürlichen Zahl?
• Wann sind zwei Zahlen zueinander teilerfremd oder mehrere Zahlen paarweise teilerfremd?

Werkzeugkasten A: Die letzten n Ziffern prüfen
Teilbarkeit durch 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, ...

Primfaktorenzerlegung von $10^{n}$

n	10n	Primfaktoren
1	10	2 · 5
2	100	22 · 52
3	1.000	23 · 53
4	10.000	24 · 54
5	100.000	25 · 55
6	1.000.000	26 · 56
7	10.000.000	27 · 57
8	100.000.000	28 · 58
9	1.000.000.000	29 · 59
10	10.000.000.000	210 · 510
11	100.000.000.000	211 · 511
12	1.000.000.000.000	212 · 512
13	10.000.000.000.000	213 · 513
14	100.000.000.000.000	214 · 514
15	1.000.000.000.000.000	215 · 515
16	10.000.000.000.000.000	216 · 516
17	100.000.000.000.000.000	217 · 517
18	1.000.000.000.000.000.000	218 · 518
19	10.000.000.000.000.000.000	219 · 519
20	100.000.000.000.000.000.000	220 · 520

Die einfachsten und auch für beliebig lange Zahlen einfach zu handhabende Teilbarkeitsregeln gibt es für Teiler $p$, durch die einer der Ausdrücke $10^{n}$ ohne Rest teilen lässt.

Beispiele:

•  2: In Zeile 1 ist 10¹ durch 2 teilbar.
•  5: In Zeile 1 ist 10¹ durch 5 teilbar.
•  8: In Zeile 3 ist 10³ durch 8 teilbar.
• 25: In Zeile 2 ist 10² durch 25 teilbar.

Zum Test der Teilbarkeit brauchen nur die letzten $n$ Stellen durch $p$ geteilt werden. Die anderen Ziffern haben keinen Einfluss.

... Beweis

Gegebenfalls kann es sinnvoll sein, weitere Regel für den Test dieser letzten Ziffern zu verwenden.

A3: Teilbarkeit durch 125

Nutzbar für

1	2		4	5			8		10
					16				20
				25
	32								40
									50
			64
									80
									100

Werkzeugkasten B: Die n-er Quersumme
Teilbarkeit durch 3, 9, 11, 13, 17, 33, 37, 39, 41, 51, 53, 73, 79, 99, ...

Primfaktorenzerlegung von $10^{n}\!-\!1$

n	10n − 1	Primfaktoren
1	9	32
2	99	32 · 11
3	999	33 · 37
4	9999	32 · 11 · 101
5	99999	32 · 41 · 271
6	999999	33 · 7 · 11 · 13 · 37
7	107 − 1	32 · 239 · 4.649
8	108 − 1	32 · 11 · 73 · 101 · 137
9	109 − 1	34 · 37 · 333.667
10	1010 − 1	32 · 11 · 41 · 271 · 9.091
11	1011 − 1	32 · 21649 · 513.239
12	1012 − 1	33 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9.901
13	1013 − 1	32 · 53 · 79 · 265.371.653
14	1014 − 1	32 · 11 · 239 · 4649 · 909.091
15	1015 − 1	33 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2.906.161
16	1016 − 1	32 · 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5.882.353
17	1017 − 1	32 · 2071723 · 5.363.222.357
18	1018 − 1	34 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333.667
19	1019 − 1	32 · 1.111.111.111.111.111.111
20	1020 − 1	32 · 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27.961
21	1021 − 1	33 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10.838.689
22	1022 − 1	32 · 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513.239
23	1023 − 1	32 · 11.111.111.111.111.111.111.111
24	1024 − 1	33 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99.990.001
25	1025 − 1	32 · 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182.521.213.001
26	1026 − 1	32 · 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1.058.313.049
27	1027 − 1	35 · 37 · 757 · 333667 · 440.334.654.777.631
28	1028 − 1	32 · 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121.499.449
29	1029 − 1	32 · 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77.843.839.397
30	1030 − 1	33 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2.906.161
31	1031 − 1	32 · 2791 · 6943319 · 57.336.415.063.790.604.359
32	1032 − 1	32 · 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5.882.353
33	1033 − 1	33 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1.344.628.210.313.298.373
34	1034 − 1	32 · 11 · 103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21.993.833.369
35	1035 − 1	32 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102.598.800.232.111.471
36	1036 − 1	34 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999.999.000.001
37	1037 − 1	32 · 2028119 · 247629013 · 2.212.394.296.770.203.368.013

Es wird die n-er Quersumme bestimmt. Dazu wird die Ziffernfolge von hinten in Gruppen zu n Ziffern geteilt und diese werden addiert. Am bekanntesten ist die „normale“ 1-er Quersumme, in der alle Ziffern einzeln addiert werden.

Dazu werden Operationen durchgeführt, die die Zahl $Z$ verkleinern und dabei die Teilbarkeit durch $p$ nicht beeinflussen. Die bekanntesten dürfte die Division durch 2 und durch 3 sein:

• Bei der Division durch 2 wirft mal alle Dezimalstellen bis auf $z_{0}$ weg, es entsteht die Zahl $Z_{l1}$.

Dadurch verkleinert man die Zahl um $Z_{\Delta }$, einem Vielfaches von 10, und zwar um

${\begin{aligned}Z_{\Delta }&=Z-Z_{l1}\\[1ex]&=(1\cdot z_{0}+10\cdot z_{1}+100\cdot z_{2}+\ldots )\;-\;z_{0}\\[1ex]&=10\cdot z_{1}+100\cdot z_{2}+\ldots \\[1ex]&=10\cdot (1\cdot z_{1}+10\cdot z_{2}+\ldots )\\[1ex]&=10\sum _{i=1}{\frac {10^{i}}{10}}\cdot z_{i}\\[1ex]\end{aligned}}$

was die Teilbarkeit der Zahl durch 2 aber nicht beeinflusst, da die Zahl $Z_{\Delta }$ durch 10 und damit durch 2 teilbar ist.

• Bei der Division durch 3 bildet man die sogenannte Quersumme. Dadurch verkleinert man die Zahl um ein Vielfaches von 9, und zwar um

${\begin{aligned}Z_{\Delta }&=Z-Z_{q1}\\[1ex]&=(1\cdot z_{0}+10\cdot z_{1}+100\cdot z_{2}+\ldots )\;-\;(z_{0}+z_{1}+z_{2}+\ldots )\\[1ex]&=9\cdot z_{1}+99\cdot z_{2}+\ldots \\[1ex]&=9\cdot (1\cdot d_{1}+11\cdot d_{2}+\ldots )\\[1ex]&=9\sum _{i=1}{\frac {10^{i}\!-\!1}{9}}\cdot z_{i}\\[1ex]\end{aligned}}$

was die Teilbarkeit der Zahl durch 3 aber nicht beeinflusst, da die Zahl $Z_{\Delta }$ durch 9 und damit durch 3 teilbar ist.

Nutzbar ist diese für alle Teiler $p$, die ein Teiler von $10^{n}-1$ sind.

B3: Teilbarkeit durch 37

Nutzbar für

		3				7		9
11		13						19
21		23				27
		33				37		39
41		43
		53				57
		63						69
		73						79
81
								99

Werkzeugkasten C: Die alternierende n-er Quersumme
Teilbarkeit durch 7, 11, 13, 17, 19, 29, 73, 77, 89, ...

Primfaktorenzerlegung von $10^{n}\!+\!1$

n	10n + 1	Primfaktoren
1	11	11
2	101	101
3	1001	7 · 11 · 13
4	10001	73 · 137
5	100001	11 · 9.091
6	1000001	101 · 9.901
7	107 + 1	11 · 909.091
8	108 + 1	17 · 5.882.353
9	109 + 1	7 · 11 · 13 · 19 · 52.579
10	1010 + 1	101 · 3541 · 27.961
11	1011 + 1	112 · 23 · 4093 · 8.779
12	1012 + 1	73 · 137 · 99.990.001
13	1013 + 1	11 · 859 · 1.058.313.049
14	1014 + 1	29 · 101 · 281 · 121.499.449
15	1015 + 1	7 · 11 · 13 · 211 · 241 · 2161 · 9.091
16	1016 + 1	353 · 449 · 641 · 1409 · 69.857
17	1017 + 1	11 · 103 · 4013 · 21.993.833.369
18	1018 + 1	101 · 9901 · 999.999.000.001
19	1019 + 1	11 · 909.090.909.090.909.091
20	1020 + 1	73 · 137 · 1676321 · 5.964.848.081
21	1021 + 1	72 · 11 · 13 · 127 · 2689 · 459691 · 909.091
22	1022 + 1	89 · 101 · 1052788969 · 1.056.689.261
23	1023 + 1	11 · 47 · 139 · 2531 · 549.797.184.491.917
24	1024 + 1	17 · 5882353 · 9.999.999.900.000.001
25	1025 + 1	11 · 251 · 5051 · 9091 · 78.875.943.472.201
26	1026 + 1	101 · 521 · 1.900.381.976.777.332.243.781
27	1027 + 1	7 · 11 · 13 · 19 · 52579 · 70541929 · 14.175.966.169
28	1028 + 1	73 · 137 · 7841 · 127.522.001.020.150.503.761
29	1029 + 1	11 · 59 · 154.083.204.930.662.557.781.201.849
30	1030 + 1	61 · 101 · 3541 · 9901 · 27961 · 4188901 · 39.526.741
31	1031 + 1	11 · 909090909090909090909090909091
32	1032 + 1	19841 · 976193 · 6187457 · 834.427.406.578.561
33	1033 + 1	7 · 112 · 13 · 23 · 4093 · 8779 · 599144041 · 183.411.838.171
34	1034 + 1	101 · 28559389 · 1491383821 · 2.324.557.465.671.829
35	1035 + 1	11 · 9091 · 909091 · 4147571 · 265.212.793.249.617.641
36	1036 + 1	73 · 137 · 3169 · 98641 · 99990001 · 3.199.044.596.370.769
37	1037 + 1	11 · 7253 · 422650073734453 · 296557347313446299

Es wird die alternierende n-er Quersumme bestimmt. Dazu wird die Ziffernfolge von hinten in Gruppen zu n Ziffern geteilt und diese werden alternierend addiert und subtrahiert. Wem das zu unübersichtlich ist, kann die Gruppen zu n Ziffern in zwei alternierende Blöcke einteilen, diese addieren und dann die beiden Blöcke voneinander zu subtrahieren. Am bekanntesten ist die „normale“ alternierende 1-er Quersumme, in der alle Ziffern einzeln abwechselnd addiert und subtrahiert werden werden.

Nutzbar ist diese für alle Teiler $p$, die ein Teiler von $10^{n}+1$ sind.

Werkzeugkasten D: Rekursives Addieren
Teilbarkeit durch 3, 7, 9, 11, 13, 19, 23, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, ...

Primfaktorenzerlegung von $10n\!-\!1$

n	10n−1	Primfaktoren
1	9	32
2	19	19
3	29	29
4	39	3 · 13
5	49	72
6	59	59
7	69	3 · 23
8	79	79
9	89	89
10	99	32 · 11
11	109	109
12	119	7 · 17
13	129	3 · 43
14	139	139
15	149	149
16	159	3 · 53
17	169	132
18	179	179
19	189	33 · 7
20	199	199
21	209	11 · 19

...

Werkzeugkasten E: Rekursives Subtrahieren
Teilbarkeit durch 3, 7, 9, 11, 13, 17, 21, 27, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, ...

Primfaktorenzerlegung von $10n\!+\!1$

n	10n+1	Primfaktoren
1	11	11
2	21	3 · 7
3	31	31
4	41	41
5	51	3 · 17
6	61	61
7	71	71
8	81	34
9	91	7 · 13
10	101	101
11	111	3 · 37
12	121	112
13	131	131
14	141	3 · 47
15	151	151
16	161	7 · 23
17	171	32 · 19
18	181	181
19	191	191
20	201	3 · 67

Sofern die zu untersuchende Teilbarkeit keine Faktoren der Zahlenbasis (bei $\mathbf {B} =10$ wären das die 2 und die 5) enthält, ist folgendes Verfahren anwendbar. Zu testen ist die Teilbarkeit durch einer der in der rechten Tabelle enthaltenen Zahlen $p=10n+1$ (oder von Teilfaktoren von $p$):

• Man subtrahiert $z_{0}\cdot (10n+1)$ von der Zahl und teilt sie anschließend durch 10. D.h. man berechnet ${\frac {Z-z_{0}\cdot (10n+1)}{10}}$.
• Das Subtrahieren von $z_{0}\cdot (10n+1)$ verändert nicht die Teilbarkeit durch $10n+1$. Das Teilen durch 10 verändert nur die Teilbarkeit durch Teiler, die die Faktoren 2 und 5 enthalten.
• Was so kompliziert klingt, ist lässt sich einfach durch folgendes Vorgehen realisieren:
  • Man subtrahiert $z_{0}$. Dadurch wird die letzte Stelle 0.
  • Man entfernt diese 0 und teilt die Zahl dadurch durch 10.
  • Nun subtrahiert man $n\cdot z_{0}$ von der dadurch entstandenen Zahl.
  • Man hat ${\frac {Z-z_{0}}{10}}-n\cdot z_{0}$ berechnet, das ist ${\frac {Z-z_{0}-10n\cdot z_{0}}{10}}={\frac {Z-z_{0}\cdot (10n+1)}{10}}$
• Das Vorgehen wiederholt man, bis die Zahl kurz genug ist, um die Teilbarkeit direkt zu erkennen.

E2: Teilbarkeit durch 7

Für die Teilbarkeit durch $p=7$ kann man dieses Werkzeug mit $n=2$ benutzen. Man modifiziert die Zahl durch Vielfache von 21 (was die Teilbarkeit durch 7 nicht beeinflusst) und teilt sie durch 10 (was sie auch nicht beeinflusst). Der Rest selbst wird durch diese Berechnung selbst beeinflusst, dass Verfahren ist nicht geeignet, den Rest selbst zu bestimmen.

Beispiel:

$1966076\rightarrow 196607-6\cdot 2=196595\rightarrow 19659-5\cdot 2=19649\rightarrow 1964-9\cdot 2=1946\rightarrow 194-6\cdot 2=182\rightarrow 18-2\cdot 2=14$

Die Zahl ist teilbar durch 7 (aber nicht durch 21).

E1: Teilbarkeit durch 11

Hier benutzt man $n=1$, d. h. man subtrahiert jeweils die letzte Ziffer von der restlichen Zahl.

Beispiel:

$3089548\rightarrow 308954-8=308946\rightarrow 30894-6=30888\rightarrow 3088-8=3080\rightarrow 308-0=308\rightarrow 30-8=22\rightarrow 2-2=0$

Die Zahl ist teilbar durch 11.

E5: Teilbarkeit durch 17

Für die Teilbarkeit durch $p=17$ kann man dieses Werkzeug mit $n=5$ benutzen. Man modifiziert die Zahl durch Vielfache von 51 (was die Teilbarkeit durch 17 nicht beeinflusst) und teilt sie durch 10 (was sie auch nicht beeinflusst). Der Rest selbst wird durch diese Berechnung selbst beeinflusst, dass Verfahren ist nicht geeignet, den Rest selbst zu bestimmen.

Beispiel:

$4774756\rightarrow 477475-6\cdot 5=477445\rightarrow 47744-5\cdot 5=47719\rightarrow 4771-9\cdot 5=4726\rightarrow 472-6\cdot 5=442\rightarrow 44-2\cdot 5=34$

Die Zahl ist teilbar durch 17.

Werkzeugkasten F: Wichtungsfaktoren-Folge F_n
Teilbarkeit durch jede natürliche Zahl p

Module für $p=2\ldots 36$ und für $d^{i}$, vorzeichenbehaftet

Teiler $p$	Multiplikator für die Ziffer bei Teiler
	d0	d1	d2	d3	d4	d5	d6	d7	d8	d9	d10	d11	d12	d13	d14	d15	d16	d17	d18	d19	d20	d21	d22	d23	d24	d25	d26	d27	d28
2	1
3	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
4	1	2
5	1
6	1	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2	-2
7	1	3	2	-1	-3	-2	1	3	2	-1	-3	-2	1	3	2	-1	-3	-2	1	3	2	-1	-3	-2	1	3	2	-1	-3
8	1	2	4
9	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
10	1
11	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1
12	1	-2	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
13	1	-3	-4	-1	3	4	1	-3	-4	-1	3	4	1	-3	-4	-1	3	4	1	-3	-4	-1	3	4	1	-3	-4	-1	3
14	1	-4	2	6	4	-2	-6	-4	2	6	4	-2	-6	-4	2	6	4	-2	-6	-4	2	6	4	-2	-6	-4	2	6	4
15	1	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5
16	1	-6	4	8
17	1	-7	-2	-3	4	6	-8	5	-1	7	2	3	-4	-6	8	-5	1	-7	-2	-3	4	6	-8	5	-1	7	2	3	-4
18	1	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8
19	1	-9	5	-7	6	3	-8	-4	-2	-1	9	-5	7	-6	-3	8	4	2	1	-9	5	-7	6	3	-8	-4	-2	-1	9
20	1	10
21	1	10	-5	-8	4	-2	1	10	-5	-8	4	-2	1	10	-5	-8	4	-2	1	10	-5	-8	4	-2	1	10	-5	-8	4
22	1	10	-10	10	-10	10	-10	10	-10	10	-10	10	-10	10	-10	10	-10	10	-10	10	-10	10	-10	10	-10	10	-10	10	-10
23	1	10	8	11	-5	-4	6	-9	2	-3	-7	-1	-10	-8	-11	5	4	-6	9	-2	3	7	1	10	8	11	-5	-4	6
24	1	10	4	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8
25	1	10
26	1	10	-4	12	-10	4	-12	10	-4	12	-10	4	-12	10	-4	12	-10	4	-12	10	-4	12	-10	4	-12	10	-4	12	-10
27	1	10	-8	1	10	-8	1	10	-8	1	10	-8	1	10	-8	1	10	-8	1	10	-8	1	10	-8	1	10	-8	1	10
28	1	10	-12	-8	4	12	8	-4	-12	-8	4	12	8	-4	-12	-8	4	12	8	-4	-12	-8	4	12	8	-4	-12	-8	4
29	1	10	13	14	-5	8	-7	-12	-4	-11	6	2	-9	-3	-1	-10	-13	-14	5	-8	7	12	4	11	-6	-2	9	3	1
30	1	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10
31	1	10	7	8	-13	-6	2	-11	14	-15	5	-12	4	9	-3	1	10	7	8	-13	-6	2	-11	14	-15	5	-12	4	9
32	1	10	4	8	16
33	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1
34	1	10	-2	14	4	6	-8	-12	16	-10	2	-14	-4	-6	8	12	-16	10	-2	14	4	6	-8	-12	16	-10	2	-14	-4
35	1	10	-5	-15	-10	5	15	10	-5	-15	-10	5	15	10	-5	-15	-10	5	15	10	-5	-15	-10	5	15	10	-5	-15	-10
36	1	10	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8	-8

Das Verfahren ermöglich Teilbarkeitsregeln durch jede Zahl, führt aber häufig auch zu den aufwendigsten Teilbarkeitsregeln.
Die Zifferndarstellung $\{z_{k}z_{k\!-\!1}\ldots z_{1}z_{0}\}$ der Zahl wird dazu Ziffer für Ziffer mit einem Folge von Wichtungsfaktoren multipliziert und dann die Summe daraus berechnet berechnet.
Für eine Wichtungsfaktoren-Folge $({\overline {1}})=1,1,1,\ldots$ entspricht dies der 1er-Quersumme, für $({\overline {+1,-1}})=+1,-1,+1,-1,\ldots$ entspricht dies der alternierenden 1er-Quersumme. Dort muss dann nicht multipliziert werden. Diese Wichtungsfaktoren-Folgen brechen entweder ab oder enden in einer Periode mit maximal der Länge $p-1$.

$p=\ \ 3$:  $(1,1,1,1,\ldots )$

$p=16$:  $(1,10,4,8)$

$p=24$:  $(1,10,4,16,16,16,\ldots )$

Bei längeren Zahlen kann es sinnvoll sein, zuerst die Ziffer-Positionen mit gleichem Wichtungsfaktor zu sammeln, diese einmal mit dem Wichtungsfaktor zu multiplizieren und das zu addieren.

Bestimmung der Wichtungsfaktoren-Folge

Module für $p=2\ldots 36$ und für $d^{i}$, vorzeichenlos

Teiler $p$	Multiplikator für die Ziffer bei Teiler
	d0	d1	d2	d3	d4	d5	d6	d7	d8	d9	d10	d11	d12	d13	d14	d15	d16	d17	d18	d19	d20	d21	d22	d23	d24	d25	d26	d27	d28
2	1
3	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
4	1	2
5	1
6	1	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
7	1	3	2	6	4	5	1	3	2	6	4	5	1	3	2	6	4	5	1	3	2	6	4	5	1	3	2	6	4
8	1	2	4
9	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
10	1
11	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1
12	1	10	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
13	1	10	9	12	3	4	1	10	9	12	3	4	1	10	9	12	3	4	1	10	9	12	3	4	1	10	9	12	3
14	1	10	2	6	4	12	8	10	2	6	4	12	8	10	2	6	4	12	8	10	2	6	4	12	8	10	2	6	4
15	1	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10
16	1	10	4	8
17	1	10	15	14	4	6	9	5	16	7	2	3	13	11	8	12	1	10	15	14	4	6	9	5	16	7	2	3	13
18	1	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10
19	1	10	5	12	6	3	11	15	17	18	9	14	7	13	16	8	4	2	1	10	5	12	6	3	11	15	17	18	9
20	1	10
21	1	10	16	13	4	19	1	10	16	13	4	19	1	10	16	13	4	19	1	10	16	13	4	19	1	10	16	13	4
22	1	10	12	10	12	10	12	10	12	10	12	10	12	10	12	10	12	10	12	10	12	10	12	10	12	10	12	10	12
23	1	10	8	11	18	19	6	14	2	20	16	22	13	15	12	5	4	17	9	21	3	7	1	10	8	11	18	19	6
24	1	10	4	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16
25	1	10
26	1	10	22	12	16	4	14	10	22	12	16	4	14	10	22	12	16	4	14	10	22	12	16	4	14	10	22	12	16
27	1	10	19	1	10	19	1	10	19	1	10	19	1	10	19	1	10	19	1	10	19	1	10	19	1	10	19	1	10
28	1	10	16	20	4	12	8	24	16	20	4	12	8	24	16	20	4	12	8	24	16	20	4	12	8	24	16	20	4
29	1	10	13	14	24	8	22	17	25	18	6	2	20	26	28	19	16	15	5	21	7	12	4	11	23	27	9	3	1
30	1	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10
31	1	10	7	8	18	25	2	20	14	16	5	19	4	9	28	1	10	7	8	18	25	2	20	14	16	5	19	4	9
32	1	10	4	8	16
33	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1	10	1
34	1	10	32	14	4	6	26	22	16	24	2	20	30	28	8	12	18	10	32	14	4	6	26	22	16	24	2	20	30
35	1	10	30	20	25	5	15	10	30	20	25	5	15	10	30	20	25	5	15	10	30	20	25	5	15	10	30	20	25
36	1	10	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28

Man berechnet die Folge:

$10^{0}\equiv r_{0}\mod p$

$10^{1}\equiv r_{1}\mod p$

$10^{2}\equiv r_{2}\mod p$

$10^{3}\equiv r_{3}\mod p$

$10^{4}\equiv r_{4}\mod p$

$\cdots$

Dies ergibt entweder eine abbrechende Folge, wie z.B. für die Zahl 8:

$10^{0}\equiv 1\mod 8$

$10^{1}\equiv 2\mod 8$

$10^{2}\equiv 4\mod 8$

$10^{3}\equiv 0\mod 8$,  Abbruch

d. h. die Folge $(1,2,4)$

oder eine unendliche, periodische Folge, wie z.B. für die Zahl 7

$10^{0}\equiv 1\mod 7$

$10^{1}\equiv 3\mod 7$

$10^{2}\equiv 2\mod 7$

$10^{3}\equiv 6\mod 7$

$10^{4}\equiv 4\mod 7$

$10^{5}\equiv 5\mod 7$

$10^{6}\equiv 1\mod 7$,  Wiederholung

d. h. die Folge $({\overline {1,3,2,6,4,5}})$

Teilbarkeit durch 4

Für die Teilbarkeit durch 4 braucht nur $2z_{1}+z_{0}$ berechnet zu werden. Der Fehler beträgt

${\begin{aligned}Z_{\Delta }&=Z-Z'\\[0.5ex]&=(10z_{1}+z_{0})-(2z_{1}+z_{0})\\[0.5ex]&=8d_{1}\end{aligned}}$

was durch 4 teilbar ist und damit die Teilbarkeit nicht ändert.

Beispiel:

$92\rightarrow 2\cdot 9+2=20\rightarrow 2\cdot 2+0=4$

Da 4 durch 4 teilbar ist, ist auch 92 durch 4 teilbar.

Teilbarkeit durch 8

Für die Teilbarkeit durch 8 braucht nur $4z_{2}+2z_{1}+z_{0}$ berechnet zu werden. Der Fehler beträgt

${\begin{aligned}Z_{\Delta }&=Z-Z'\\[0.5ex]&=(100z_{2}+10z_{1}+z_{0})-(4z_{2}+2z_{1}+z_{0})\\[0.5ex]&=96z_{2}+8z_{1}\end{aligned}}$

was durch 8 teilbar ist und damit die Teilbarkeit nicht ändert.

Beispiel:

$912\rightarrow 4\cdot 9+2\cdot 1+2=40\rightarrow 4\cdot 0+2\cdot 4+4=8$

Da 8 durch 8 teilbar ist, ist auch 912 durch 8 teilbar.

Kombinationsregeln

Kombinationsregel ohne Division

Ein Zahl $Z$ ist durch $p=p_{1}p_{2}$ teilbar, wenn

• $Z$ durch $p_{1}$ teilbar ist,
• $Z$ durch $p_{2}$ teilbar ist und
• $p_{1}$ und $p_{2}$ teilerfremd sind.

Ein Zahl $Z$ ist $p=\prod _{i}p_{i}^{a_{i}}$ teilbar, wenn

Kombinationsregel mit Division

Ein Zahl $Z$ ist durch $p=p_{1}p_{2}$ teilbar, wenn

• ${\tfrac {Z}{p_{1}}}$ durch $p_{2}$ teilbar ist.

Diese Regel ist insbesondere für $p_{1}=10^{n}$ interessant. Es braucht auf keine Teilerfremdheit geachtet werden.

Vereinfachungsregel

Nutze die einfachste Regel (für dich)

Zum einen sollte man sich die einfachste Regel konstruieren, so ist die Teilbarkeit durch 11 sowohl mit der alternierenden 1er-Quersumme wie mit der alternierenden 3er-, 5er-, 7er-, ... Quersumme möglich wie auch mit der 2er-, 4er-, 6er-, ... Quersumme. Die Berechnung der 1er-Quersumme ist natürlich die einfachste, auch der finale Test ist am einfachsten.

Rechne immer Modulo

Alle Berechnungen brauchen nur modulo p berechnet zu werden. Das betrifft sowohl die Summanden wie das Ergebnis.

Teilbarkeit durch 3

Beim Test auf Teilbarkeit durch 3 braucht man nicht die exakte Quersumme zu berechnen. Es reicht aus, jede Ziffer Modulo 3 zu addieren.

Ziffer	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Summand	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0

Statt bei Bestimmung der Quersumme von 97689 braucht man nicht $9+7+6+8+9=39$ zu rechnen, sondern es reicht aus, $0+1+0+2+0=3$ zu berechnen. Auch beim Überschreiten der Summe von 9 kann man statt mit der Zahl mit deren Quersumme weiterarbeiten. Man kann auch mit der folgenden Tabelle arbeiten:

Ziffer	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Summand	0	+1	–1	0	+1	–1	0	+1	–1	0

Für das obere Beispiel wäre das $0+1+0-1+0=0$.

Für lange Zahlen geht es noch einfacher: Nehmen wir die Zahl 3141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.
Da in der oberen Tabelle mit +1 und –1 nur wenige (hier zwei) Werte auftauchen, ist es ausreichend, eine Strichliste zu führen:

Anzahl der Ziffern 1, 4, 7: |||| |||| |||| ||

Anzahl der Ziffern 2, 5, 8: |||| |||| |||| ||

Die Differenz deren Anzahl ist 0, die Zahl ist durch 3 teilbar. Ausführlicher gesagt, müssen wir $(+1\cdot 17)+(-1\cdot 17)=+17-17=0$ berechnen.

Beliebige Basen

Beispiel: Basis 6

Die Basis 6 hat die Primfaktoren 2 und 3.

Werkzeugkasten A

Mit der letzten Stelle kann man die Teilbarkeit durch 2, 3 und 6 testen (da 6¹ = 6 durch diese Zahlen teilbar ist).

Mit der letzten beiden Stellen kann man zusätzlich die Teilbarkeit durch 4, 9, 12, 18 und 36 testen (da 6² = 36 durch diese Zahlen teilbar ist und nicht schon durch A1 abgedeckt ist).

Mit der letzten drei Stellen kann man zusätzlich die Teilbarkeit durch 8, 24, 27, 54, 72, 108 und 216 testen (da 6³ = 36 durch diese Zahlen teilbar ist und nicht schon durch A1 und A2 abgedeckt ist).

Werkzeugkasten B

Mit der 1er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 5 testen.

Mit der 2er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 5, 7 und 35 testen.

Mit der 3er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 5, 43 und 215 testen.

Mit der 4er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 5, 7, 35, 37, 185, 259 und 1295 testen.

Werkzeugkasten C

Mit der alternierenden 1er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 7 testen.

Mit der alternierenden 2er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 37 testen.

Mit der alternierenden 3er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 7, 31 und 217 testen.

Mit der alternierenden 4er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 1297 testen.

Werkzeugkasten D

Mit n = 1 kann man die Teilbarkeit durch 7 testen.

Mit n = 2 kann man die Teilbarkeit durch 13 testen.

Mit n = 3 kann man die Teilbarkeit durch 19 testen.

Mit n = 4 kann man die Teilbarkeit durch 5 und 25 testen.

Werkzeugkasten E

Mit n = 1 kann man die Teilbarkeit durch 5 testen.

Mit n = 2 kann man die Teilbarkeit durch 11 testen.

Mit n = 3 kann man die Teilbarkeit durch 17 testen.

Mit n = 4 kann man die Teilbarkeit durch 23 testen.

Werkzeugkasten F