Statistische Mechanik/ f-dimensionales Kugelvolumen

Ein f-dimensionales Volumen erhält man aus folgendem Integral, in dem verallgemeinerte Kugelkoordinaten eingeführt wurden:

$V_{f}\left(R\right)=\int d^{f}x=C_{f}\,R^{f}\;\Rightarrow \;d^{f}x=dV_{f}\left(R\right)=f\,C_{f}\,R^{f-1}\,dR$.

Der Faktor $C_{f}$ eines solchen Volumens kann mit Hilfe eines Tricks bestimmt werden:

${\underset {\mathbb {R} ^{3}}{\int }}d^{f}x\,\exp \left(-\underbrace {{\overset {f}{\underset {i=1}{\sum }}}x_{i}^{2}} _{=R^{2}}\right)={\overset {f}{\underset {i=1}{\Pi }}}\underbrace {{\overset {\infty }{\underset {-\infty }{\int }}}dx_{i}\,e^{-x_{i}^{2}}} _{=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}=\pi ^{\frac {f}{2}}$,

wenn auf der linken Seite der oben gewonnene Ausdruck für $d^{f}x$ eingesetzt wird:

$\pi ^{\frac {f}{2}}=fC_{f}{\overset {\infty }{\underset {0}{\int }}}dR\,R^{f-1}e^{-R^{2}}=C_{f}{\frac {f}{2}}{\overset {\infty }{\underset {0}{\int }}}d\xi \,\xi ^{-{\frac {1}{2}}}\,\xi ^{\frac {f-1}{2}}e^{-\xi }$, $=C_{f}{\frac {f}{2}}\Gamma \left({\frac {f}{2}}\right)=C_{f}\Gamma \left({\frac {f}{2}}+1\right)$,

worin wir die Substitution $\xi =R^{2}\,\Rightarrow \,dR={\frac {1}{2}}\xi ^{-{\frac {1}{2}}}d\xi$ und die Definition und Eigenschaften der Gammafunktion verwendet haben.

Das f-dimensionale Volumen nimmt daher folgende Gestalt an:

$V_{f}\left(R\right)=\int d^{f}x=C_{f}\,R^{f}={\frac {\pi ^{\frac {f}{2}}}{\Gamma \left({\frac {f}{2}}+1\right)}}\,R^{f}$.