Statistische Mechanik/ Skalenrelationen

Die kritischen Exponenten der Landau-Theorie sind nicht voneinander unabhängig, was jetzt im Rahmen der Annahmen dieser Theorie gezeigt werden soll. Die Beziehungen untereinander werden gerne als »Skalenrelationen« bezeichnet.

Aus



folgt . Dies verwenden wir zum einen in , woraus resultiert. Zum andern verwenden wir es mit und (mit wegen ) in


,


was zu führt, sodass sich ergibt. Der Zusammenhang zwischen dem mittleren Schwankungsquadrat des Ordnungsparameters und der Korrelationsfunktion führt wegen (da ) und somit als auch , zu:


,


woraus wir durch Vergleich mit die Gleichung erschließen können.


Aus dem Ginzburg-Kriterium,


,


erhalten wir zudem die sog. »Hyperskalenrelation«: bzw. mittels auch .


Die Skalenrelationen beruhen auf der Invarianz der in der Landau-Theorie auftretenden Beziehungen unter sog. »Skalentransformationen«, was im Folgenden gezeigt werden soll. Beispielsweise ist invariant unter den (gleichzeitigen) Transformationen und , was wir umgekehrt auch als deuten werden. Setzen wir hierin , dann erhalten wir über den kritischen Exponenten .


Die freie Enthalpie ist eine extensive Größe, d.h. , weshalb wir folgenden Ansatz wagen:


,


wobei wir fortan definieren möchten, sodass .

Setzen wir , dann erhalten wir aus unserem Ansatz


.


Für die Wärmekapazität resultiert hieraus wegen



der kritische Exponent .


Außerdem berechnen wir z.B. wie bei der Magnetisierung eines Ferrormagneten m wie folgt aus der freien Enthalpie:


.


Hierin setzen wir zunächst , woraus



mit resultiert. Dann setzen wir in die Gleichung für m , sodass sich



mit ergibt. Aus den Gleichungen für und lässt sich das Verhältnis berechnen, das sich z.B. in die erstere der beiden Gleichungen für m einsetzen lässt:


.


Die Suszeptibilität



liefert mit über



den kritischen Exponenten . Aus erhalten wir zum einen eine neue Gleichung für Alpha, , was bereits die Hyperskalenrelation ist, und zum andern mittels eine neue Gleichung für Gamma: . Die Gleichung lässt sich sehr einfach nach auflösen, was ergibt. Dieses Resultat kann wiederum in die Gleichung für Beta eingesetzt und nach aufgelöst werden: . Setzen wir wiederum diese Gleichung für in die ursprüngliche für Alpha ein, dann ergibt sich . Letztere Gleichung können wir aber verwenden, um in der neuen Gleichung für Gamma den Term mit zu ersetzen, woraus schließlich die Skalenrelation resultiert.


Mit Hilfe von , , , und des Ginzburg-Kriteriums,


,


bzw.


,


worin R eine systemabhängige Reichweite der Wechselwirkung sei, lässt sich eine sog. »obere kritische Dimension« einführen, ab der die Landau-Theorie richtig wird. Denn mit den Werten dieser Theorie für die kritischen Exponenten und ergibt sich für , dass dann d.h. gelten muss. Umgekehrt kann es auch eine sog. »untere kritische Dimension« geben, bei der der Phasenübergang durch Fluktuationen unterdrückt wird.