Statistische Mechanik/ Skalenrelationen

Die kritischen Exponenten der Landau-Theorie sind nicht voneinander unabhängig, was jetzt im Rahmen der Annahmen dieser Theorie gezeigt werden soll. Die Beziehungen untereinander werden gerne als »Skalenrelationen« bezeichnet.

Aus

$\left|t\right|^{\beta }\sim m_{0}{\overset {!}{=}}\chi h\sim \left|t\right|^{-\gamma }h$

folgt $\left|t\right|^{\beta +\gamma }\sim h$. Dies verwenden wir zum einen in $\left|t\right|^{\beta }\sim m_{0}\sim h^{\frac {1}{\delta }}$, woraus $\beta \delta =\beta +\gamma$ resultiert. Zum andern verwenden wir es mit $m_{0}^{2}\approx -{\frac {a}{2b}}t$ und $c_{P}\approx {\frac {a}{2b}}T_{C}{\underset {t\rightarrow 0,\,t>0}{\sim }}t^{-\alpha }$ (mit $T\approx T_{C}$ wegen $t\rightarrow 0$) in

$\left|t\right|^{\beta }h\sim m_{0}hV\approx atm_{0}^{2}\approx -{\frac {a^{2}}{2b}}t^{2}\approx -{\frac {c_{p}}{T_{C}}}t^{2}\sim \left|t\right|^{-\alpha +2}$,

was zu $h\sim \left|t\right|^{2-\alpha -\beta }$ führt, sodass sich $\alpha +2\beta +\gamma =2$ ergibt. Der Zusammenhang zwischen dem mittleren Schwankungsquadrat des Ordnungsparameters und der Korrelationsfunktion führt wegen $r\sim \xi$ (da ${\hat {G}}\left(r\right)\propto {\frac {1}{r}}e^{-{\frac {r}{\xi }}}$) und somit ${\hat {G}}\left(r\right)\sim r^{-d+2-\eta }\sim \xi ^{-d+2-\eta }$ als auch $V\sim r^{d}\sim \xi ^{d}$ , $\chi \sim \left|t\right|^{-\gamma }$ zu:

$\xi ^{-d}\left|t\right|^{-\gamma }\sim {\frac {\chi k_{B}T_{C}}{V}}=\left\langle \left(\Delta m\right)^{2}\right\rangle ={\frac {1}{V}}\int d^{3}x\,{\hat {G}}\left(r\right)\sim \xi ^{-d+2-\eta }$,

woraus wir durch Vergleich mit $\xi {\underset {t\rightarrow 0}{\sim }}\left|t\right|^{-\nu }$ die Gleichung $\nu \left(2-\eta \right)=\gamma$ erschließen können.

Aus dem Ginzburg-Kriterium,

$\xi ^{-d}\left|t\right|^{-\gamma }\sim {\frac {\chi k_{B}T_{C}}{V}}=\left\langle \left(\Delta m\right)^{2}\right\rangle \approx m_{0}^{2}\sim \left|t\right|^{2\beta }$,

erhalten wir zudem die sog. »Hyperskalenrelation«: $\nu d=2\beta +\gamma$ bzw. mittels $\alpha +2\beta +\gamma =2$ auch $\nu d=2-\alpha$.

Die Skalenrelationen beruhen auf der Invarianz der in der Landau-Theorie auftretenden Beziehungen unter sog. »Skalentransformationen«, was im Folgenden gezeigt werden soll. Beispielsweise ist ${\hat {G}}\left(r\right)\sim e^{-{\frac {r}{\xi }}}$ invariant unter den (gleichzeitigen) Transformationen $r\rightarrow {\frac {r}{L}}$ und $\xi \rightarrow {\frac {\xi }{L}}$, was wir umgekehrt auch als $r\sim \xi \sim L$ deuten werden. Setzen wir hierin $L=\left|t\right|^{-{\frac {1}{\Delta _{t}}}}$, dann erhalten wir über $\xi \sim L=\left|t\right|^{-{\frac {1}{\Delta _{t}}}}\sim \left|t\right|^{-\nu }$ den kritischen Exponenten $\nu ={\frac {1}{\Delta _{t}}}$.

Die freie Enthalpie ist eine extensive Größe, d.h. $g\propto V\propto L^{d}$, weshalb wir folgenden Ansatz wagen:

$g\left(t,h\right)={\frac {1}{L^{d}}}g\left(tL^{\Delta _{t}},\,hL^{\Delta _{h}}\right)={\frac {1}{L^{d}}}g\left(x,\,y\right)$,

wobei wir fortan $t={\frac {T-T_{C}}{T_{C}}}$ definieren möchten, sodass ${\underset {T\rightarrow T_{C}}{\lim }}\left|t\right|\ll 1$.

Setzen wir $L=\left|t\right|^{-{\frac {1}{\Delta _{t}}}}$, dann erhalten wir aus unserem Ansatz

$g\left(t,h\right)=\left|t\right|^{\frac {d}{\Delta _{t}}}g\left(\pm 1,\,h\left|t\right|^{-{\frac {\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}}\right)$.

Für die Wärmekapazität resultiert hieraus wegen

$\left|t\right|^{-\alpha }\sim c=T{\frac {\partial S}{\partial T}}=-T{\frac {\partial ^{2}g}{\partial T^{2}}}{\underset {t\rightarrow 0,\,T\approx T_{C}}{\sim }}\left|t\right|^{{\frac {d}{\Delta _{t}}}-2}$

der kritische Exponent $\alpha =2-{\frac {d}{\Delta _{t}}}$.

Außerdem berechnen wir z.B. wie bei der Magnetisierung eines Ferrormagneten m wie folgt aus der freien Enthalpie:

$m=-{\frac {\partial g}{\partial h}}=L^{\Delta _{h}-d}\left(\partial _{y}g\right)\left(tL^{\Delta _{t}},\,hL^{\Delta _{h}}\right)$.

Hierin setzen wir zunächst $L=\left|h\right|^{-{\frac {1}{\Delta _{h}}}}$, woraus

$m=\left|h\right|^{\frac {d-\Delta _{h}}{\Delta _{h}}}\left(\partial _{y}g\right)\left(t\left|h\right|^{-{\frac {\Delta _{t}}{\Delta _{h}}}},\,\pm 1\right)\sim \left|h\right|^{\frac {1}{\delta }}$

mit $\delta ={\frac {\Delta _{h}}{d-\Delta _{h}}}$ resultiert. Dann setzen wir in die Gleichung für m $L=\left|t\right|^{-{\frac {1}{\Delta _{t}}}}$, sodass sich

$m=\left|t\right|^{\frac {d-\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}\left(\partial _{y}g\right)\left(\pm 1,\,h\left|t\right|^{-{\frac {\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}}\right)\sim \left|h\right|^{\beta }$

mit $\beta ={\frac {d-\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}$ ergibt. Aus den Gleichungen für $\beta$ und $\delta$ lässt sich das Verhältnis ${\frac {\Delta _{t}}{\Delta _{h}}}={\frac {1}{\beta \delta }}$ berechnen, das sich z.B. in die erstere der beiden Gleichungen für m einsetzen lässt:

$m=\left|h\right|^{\frac {1}{\delta }}\left(\partial _{y}g\right)\left(t\left|h\right|^{-{\frac {1}{\beta \delta }}},\,\pm 1\right)$.

Die Suszeptibilität

$\chi =\left({\frac {\partial m}{\partial h}}\right)=-{\frac {\partial ^{2}g}{\partial h^{2}}}=-L^{2\Delta _{h}-d}\left(\partial _{y}^{2}g\right)\left(tL^{\Delta _{t}},\,hL^{\Delta _{h}}\right)$

liefert mit $L=\left|t\right|^{-{\frac {1}{\Delta _{t}}}}$ über

$\chi =-\left|t\right|^{\frac {d-2\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}\left(\partial _{y}^{2}g\right)\left(\pm 1,\,\left|t\right|^{-{\frac {\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}}\right)\sim \left|t\right|^{-\gamma }$

den kritischen Exponenten $\gamma =2{\frac {\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}-{\frac {d}{\Delta _{t}}}$. Aus $\nu ={\frac {1}{\Delta _{t}}}$ erhalten wir zum einen eine neue Gleichung für Alpha, $\alpha =2-{\frac {d}{\Delta _{t}}}=\alpha =2-\nu d$, was bereits die Hyperskalenrelation ist, und zum andern mittels ${\frac {\Delta _{t}}{\Delta _{h}}}={\frac {1}{\beta \delta }}$ eine neue Gleichung für Gamma: $\gamma =2{\frac {\Delta _{h}}{\Delta _{t}}}-{\frac {d}{\Delta _{t}}}=2\beta \delta -\nu d$. Die Gleichung $\delta ={\frac {\Delta _{h}}{d-\Delta _{h}}}$ lässt sich sehr einfach nach $\Delta _{h}$ auflösen, was $\Delta _{h}={\frac {\delta d}{1+\delta }}$ ergibt. Dieses Resultat kann wiederum in die Gleichung für Beta eingesetzt und nach $\Delta _{t}$ aufgelöst werden: $\Delta _{t}={\frac {d-\Delta _{h}}{\beta }}={\frac {d}{\beta \left(1+\delta \right)}}$. Setzen wir wiederum diese Gleichung für $\Delta _{t}$ in die ursprüngliche für Alpha ein, dann ergibt sich $\alpha =2-{\frac {d}{\Delta _{t}}}=\alpha =2-\beta -\beta \delta$. Letztere Gleichung können wir aber verwenden, um in der neuen Gleichung für Gamma den Term mit $\beta \delta$ zu ersetzen, woraus schließlich die Skalenrelation $\alpha +2\beta +\gamma =2$ resultiert.

Mit Hilfe von $\chi \sim \left|t\right|^{-\gamma }$ , $V\sim \xi ^{d}$, $\xi \sim \left|t\right|^{-\nu }$, $m\sim \left|t\right|^{\beta }$ und des Ginzburg-Kriteriums,

$\left|t\right|^{-\gamma +\nu d}\sim \xi ^{-d}\left|t\right|^{-\gamma }\sim {\frac {\chi k_{B}T_{C}}{V}}=\left\langle \left(\Delta m\right)^{2}\right\rangle \ll m_{0}^{2}\sim \left|t\right|^{2\beta }$,

bzw.

$R\left|t\right|^{-\gamma +\nu d-2\beta }\ll 1$,

worin R eine systemabhängige Reichweite der Wechselwirkung sei, lässt sich eine sog. »obere kritische Dimension« einführen, ab der die Landau-Theorie richtig wird. Denn mit den Werten dieser Theorie für die kritischen Exponenten $\gamma =1$ und $\nu =\beta ={\frac {1}{2}}$ ergibt sich für $\left|t\right|\ll 1$, dass dann ${\frac {d}{2}}-2>0$ d.h. $d=4$ gelten muss. Umgekehrt kann es auch eine sog. »untere kritische Dimension« geben, bei der der Phasenübergang durch Fluktuationen unterdrückt wird.