Statistische Mechanik/ Kritische Exponenten

In der Nähe einer kritischen Temperatur $T_{C}$, bei der ein Phasenübergang stattfindet, nehmen thermodynamische Größen wie die spezifische Wärmekapazität $C_{V/P}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V/P}{\underset {t\rightarrow 0,\,t>0}{\sim }}t^{-\alpha }$, die Magnetisierung $m{\underset {t\rightarrow 0,\,t<0}{\sim }}\left(-t\right)^{\beta }\sim h^{\frac {1}{\delta }}$, magnetische Suszeptibilität $\chi {\underset {t\rightarrow 0}{\sim }}\left|t\right|^{-\gamma }$, die Korrelationsradius $\xi {\underset {t\rightarrow 0}{\sim }}\left|t\right|^{-\nu }$ und die Korrelationsfunktion ${\hat {G}}\left(r\right){\underset {t\rightarrow 0}{\sim }}r^{-d+2-\eta }$ charakteristische Exponentialgesetze als Funktionen der Temperaturdifferenz $t=T-T_{C}\rightarrow 0$, eines magnetischen Feldes h oder eines Abstandes r an. Die darin vorkommenden Exponenten heißen kritische Exponenten. Später zeigen wir noch, dass die kritischen Exponenten voneinander folgendermaßen abhängen:

$2\beta +\gamma =2-\alpha =d\cdot \nu$, $\left(2-\eta \right)\nu =\gamma =\beta \left(\delta -1\right)$,

worin die Gleichung $2-\alpha =d\cdot \nu$ Hyperskalenrelation genannt wird und d die Dimension des Systems ist, während die ersten beiden Gleichungen als Folge einer Skalenrelation angesehen werden.