Mathematische Ergänzungen: Hyperbelfunktionen
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Es werden oft unterschiedliche Grenzfälle betrachtet, bei denen Hyperbelfunktionen
genähert werden müssen. Daher wiederholen wir hier kurz deren Grenzwertverhalten
und verwenden dabei insbesondere e ± x ∼ x ≪ 1 1 ± x + 1 2 x 2 ± 1 3 ! x 3 {\displaystyle e^{\pm x}{\underset {x\ll 1}{\sim }}1\pm x+{\frac {1}{2}}x^{2}\pm {\frac {1}{3!}}x^{3}} .
sinh x = 1 2 ( e x − e − x ) ∼ x ≪ 1 x − 1 3 ! x 3 {\displaystyle \sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right){\underset {x\ll 1}{\sim }}x-{\frac {1}{3!}}x^{3}}
sinh x = 1 2 ( e x − e − x ) ∼ x ≫ 1 1 2 e x {\displaystyle \sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right){\underset {x\gg 1}{\sim }}{\frac {1}{2}}e^{x}}
cosh x = 1 2 ( e x + e − x ) ∼ x ≪ 1 1 + 1 2 x 2 {\displaystyle \cosh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right){\underset {x\ll 1}{\sim }}1+{\frac {1}{2}}x^{2}}
cosh x = 1 2 ( e x + e − x ) ∼ x ≫ 1 1 2 e x {\displaystyle \cosh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right){\underset {x\gg 1}{\sim }}{\frac {1}{2}}e^{x}}
Hieraus folgt für den Tangenshyperbolicus:
tanh x = sinh x cosh x ∼ x ≪ 1 x − 1 3 ! x 3 1 + 1 2 x 2 ≈ ( x − 1 3 ! x 3 ) ( 1 − 1 2 x 2 ) ≈ x − 1 3 x 3 {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}{\underset {x\ll 1}{\sim }}{\frac {x-{\frac {1}{3!}}x^{3}}{1+{\frac {1}{2}}x^{2}}}\approx \left(x-{\frac {1}{3!}}x^{3}\right)\left(1-{\frac {1}{2}}x^{2}\right)\approx x-{\frac {1}{3}}x^{3}}
tanh x = sinh x cosh x ∼ x ≫ 1 1 {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}{\underset {x\gg 1}{\sim }}1}
und somit für den Kotangenshyperbolicus:
coth x = cosh x sinh x ∼ x ≪ 1 1 x ( 1 − 1 3 x 2 ) ≈ 1 x ( 1 + 1 3 x 2 ) = 1 x + x 3 {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}{\underset {x\ll 1}{\sim }}{\frac {1}{x\left(1-{\frac {1}{3}}x^{2}\right)}}\approx {\frac {1}{x}}\left(1+{\frac {1}{3}}x^{2}\right)={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}}
Wegen der Definition der Hyperbelfunktionen gilt außerdem noch
cosh 2 x − sinh 2 x = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1} ,
d d x tanh x = 1 cosh 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}} .