Statistische Mechanik/ Fouriertransformierte

Im Folgenden soll gezeigt werden, dass

$\int {\frac {d^{3}k}{\left(2\pi \right)^{3}}}\exp \left(i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\right){\frac {1}{k^{2}+{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}={\frac {1}{4\pi r}}e^{-{\frac {r}{\xi }}}$

gilt.

Durch Einführen von Kugelkoordinaten und Integration über den Winkel $\phi$ ergibt sich das Integral zu:

$\int {\frac {dkd\theta d\phi }{\left(2\pi \right)^{3}}}\exp \left(i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\right){\frac {k^{2}\sin \theta }{k^{2}+{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}=\int {\frac {dkd\theta }{\left(2\pi \right)^{2}}}\exp \left(i|k||r|\cos \theta \right){\frac {k^{2}\sin \theta }{k^{2}+{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}$

Die Integration über den Winkel $\theta$ lässt sich mit Hilfe der Substitution $t:=\cos \theta$ und $dt=-\sin \theta d\theta$ ausführen:

$\int {\frac {dk}{\left(2\pi \right)^{2}}}\left[\exp \left(ikr\right)-\exp \left(-ikr\right)\right]{\frac {-ik}{k^{2}+{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}$

Die auftretenden Integrale der Form $\int dz\exp \left(\pm iz\right){\frac {z}{z^{2}+{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}$ lassen sich mit Hilfe des Residuensatzes ausführen. Der Integrand hat Polstellen 1. Ordnung bei $z=\pm {\frac {i}{\xi }}$

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