Statistische Mechanik/ Fermi-Dirac-Statistik

Wenn eine Vielteilchen-Wellenfunktion bei Permutation von zwei Teilchenpositionen ihr Vorzeichen ändert, so hat man eine Wellenfunktion für Fermionen; also wenn z.B. im Falle von einem Zweiteilchensystem $\psi (x_{1},x_{2})=-\psi (x_{2},x_{1})$ gilt, hat man eine Fermionen-Wellenfunktion. Für diese Fermionen-Wellenfunktion gilt dann speziell $\psi(x,x) = - \psi(x,x)$, woraus $\psi (x,x)=0$ folgt. In anderen Worten: Ein und derselbe Ortszustand darf nicht zweimal oder mehrfach besetzt werden, die Wellenfunktion und damit Wahrscheinlichkeitsdichte wäre in diesem Falle Null. Generell gilt bei Fermionen das Pauli'sche Ausschlussprinzip: Ein bestimmter Quantenzustand darf immer nur von einen einzigen Fermion besetzt werden! Fermionen haben immer halbzahligen Spin. Alle Elementarteilchen, die Materie aufbauen, sind Fermionen. Beispiele für Fermionen sind:

• Elektronen
• Neutrinos
• Quarks (Bestandteile der Protonen und Neutronen)
• Teilchen, die aus einer ungeradzahligen Anzahl von Elementarteilchen aufgebaut sind, dazu gehören auch etwa Neutronen und Protonen, da beide aus 3 Quarks bestehen

Sei das Spektrum von Energieeigenwerten eines Vielfermionensystems durch $E_{0},E_{1},E_{2}\dots$ gegeben, so gilt für den Hamiltonoperator im Falle von nichtwechselwirkenden Fermionen:

${\hat {H}}=\sum _{i=0}^{\infty }E_{i}{\hat {N}}_{i}$.

Die Zustandssumme für ein ideales, nichtwechselwirkendes Fermionensystem lautet (mögliche Fermionenzustände gibt es nur zwei: unbesetzt ($N_{i}=0$) und besetzt ($N_{i}=1$)):

$Z(\beta ,\mu )=Tr(e^{-\beta ({\hat {H}}-\mu \sum _{i=0}^{\infty }{\hat {N}}_{i})})=\prod _{i=1}^{\infty }\sum _{N_{i}=0}^{1}e^{-\beta (E_{i}-\mu )}=\prod _{i=1}^{\infty }(1+e^{-\beta (E_{i}-\mu )})$.

Daraus lässt sich leicht die Anzahl der Teilchen berechnen:

$<{\hat {N}}>={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial lnZ}{\partial \mu }}={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\sum _{i=1}^{\infty }ln(1+e^{-\beta (E_{i}-\mu )})=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {e^{-\beta (E_{i}-\mu )}}{1+e^{-\beta (E_{i}-\mu )}}}=\sum _{i=1}^{\infty }<{\hat {N}}_{i}>$.

Für den Erwartunswert der Besetzungszahl im i-ten Zustand gilt für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik:

$<{\hat {N}}_{i}>={\frac {1}{e^{\beta (E_{i}-\mu )}+1}}$.