Statistik: Ungleichung von Bienaymé-Tschebyschew

Mit der Ungleichung von Tschebyschew oder Biennaymé-Tschebyschew kann man Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsvariablen mit unbekannter Verteilung abschätzen. Benötigt werden als Information der Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen, die im Allgemeinen geschätzt werden müssen.

Die Ungleichung lautet folgendermaßen:

.

Besser kann man sich die Beziehung vorstellen, wenn man die Betragsungleichung ausschreibt :

Diese Abschätzung ist naturgemäß sehr grob und kann manchmal nichtssagende Ergebnisse liefern.

Beispiel

Es ist bekannt, dass ein Kaffeeautomat im Durchschnitt 250 ml Kaffee ausschenkt mit einer Varianz von 100 ml2. Eine Tasse gilt als korrekt befüllt, wenn ihr Inhalt nicht mehr als 30 ml vom Durchschnitt abweicht. Der Anteil der inkorrekt befüllten Tassen beträgt höchstens

 

bzw.

  .

Umgekehrt gilt dann auch

 

bzw.

  .

Also wäre der Anteil der korrekt befüllten Tassen mindestens 8/9.