Statistik: Ungleichung von Bienaymé-Tschebyschew

Mit der Ungleichung von Tschebyschew oder Biennaymé-Tschebyschew kann man Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsvariablen mit unbekannter Verteilung abschätzen. Benötigt werden als Information der Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen, die im Allgemeinen geschätzt werden müssen.

Die Ungleichung lautet folgendermaßen:

$P(|X-EX|\geq \epsilon )\leq {\frac {\operatorname {Var} X}{\epsilon ^{2}}}$ .

Besser kann man sich die Beziehung vorstellen, wenn man die Betragsungleichung ausschreibt :

$P(X\leq EX-\epsilon \lor X\geq EX+\epsilon )\leq {\frac {\operatorname {Var} X}{\epsilon ^{2}}}$

Diese Abschätzung ist naturgemäß sehr grob und kann manchmal nichtssagende Ergebnisse liefern.

Beispiel

Es ist bekannt, dass ein Kaffeeautomat im Durchschnitt 250 ml Kaffee ausschenkt mit einer Varianz von 100 ml². Eine Tasse gilt als korrekt befüllt, wenn ihr Inhalt nicht mehr als 30 ml vom Durchschnitt abweicht. Der Anteil der inkorrekt befüllten Tassen beträgt höchstens

$P(|X-250|\geq 30)\leq {\frac {100}{30^{2}}}={\frac {1}{9}}.$

bzw.

$P(X\leq EX-30\lor X\geq EX+30)\leq {\frac {100}{30^{2}}}={\frac {1}{9}}$ .

Umgekehrt gilt dann auch

$P(EX-\epsilon <X<EX+\epsilon )>1-{\frac {\operatorname {Var} X}{\epsilon ^{2}}}$

bzw.

$P(|X-EX|<\epsilon )>1-{\frac {\operatorname {Var} X}{\epsilon ^{2}}}$ .

Also wäre der Anteil der korrekt befüllten Tassen mindestens 8/9.

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