Statistik: Streuungsparameter eines metrischen Merkmals mit vielen verschiedenen Ausprägungen

Einleitung

Liegen bei einem klassierten Merkmal keine Informationen über die Urliste mehr vor, können wir die Varianz des Merkmals analog zum arithmetischen Mittel mit den Klassenmitten näherungsweise berechnen. Wir erhalten für die Näherung s²'

s^{2}\approx {s^{2}}'={\frac {1}{n-1}}\sum _{j=1}^{m}(x'_{j}-{\bar {x}}')^{2}\cdot n_{j},

deren Exaktheit auch wieder von der Verteilung der einzelnen Werte in den Klassen abhängt. Verwenden wir statt der absoluten Häufigkeiten n_j die relativen p_j, berechnet sich die Varianz als

s^{2}\approx {s^{2}}'={\frac {n}{n-1}}\sum _{j=1}^{m}(x'_{j}-{\bar {x}}')^{2}\cdot p_{j}.

Man kann auch im Fall der näherungsweisen Berechnung den Verschiebungssatz anwenden. Wir wollen ihn hier nur für absolute Häufigkeiten angeben. Für die Quadratsumme der zentrierten Klassenmittel gilt

\sum _{j=1}^{m}(x_{j}'-{\bar {x}}')^{2}\cdot n_{j}=\sum _{j=1}^{m}x_{j}'^{2}\cdot n_{j}-n\cdot {\bar {x}}'^{2},

so dass sich für die angenäherte Varianz ergibt

s^{2}\approx {s^{2}}'={\frac {1}{n-1}}(\sum _{j=1}^{m}x_{j}'^{2}\cdot n_{j}-n\cdot {\bar {x}}'^{2}).

PKW-Beispiel

Wie bei der Ermittlung des arithmetischen Mittels verwenden wir auch hier zweckmäßigerweise eine Tabelle. Es war das angenäherte arithmetische Mittel 367, 1875. Es wird zunächst die Varianz mit Hilfe der zentrierten Werte ermittelt. Ausgehend von der Tabelle

Klasse	Intervall	Absolute Häufigkeit	Klassenmitte
j	über ... bis ...	n_j	x'_j
1	0 - 200	5	100
2	200 - 300	6	250
3	300 - 400	6	350
4	400 - 500	9	450
5	500 - 700	6	600
Σ	--	32	--

können wir berechnen

Klasse
j	$x_{j}'-{\overline {x}}_{j}$	$\left(x_{j}'-{\overline {x}}_{j}\right)^{2}$	$\left(x_{j}'-{\overline {x}}_{j}\right)^{2}n_{j}$
1	-267,19	71390,50	356952,48
2	-117,19	13733,50	82400,98
3	-17,19	295,50	1772,98
4	82,81	6857,50	61717,46
5	232,81	54200,50	325202,98
Σ	--	--	828046,88

und erhalten für die Varianz

s^{2}={\frac {1}{32-1}}\cdot 828046,88=26711,19

und für die Standardabweichung

s={\sqrt {26711,19}}=163,44.

Mit dem Verschiebungssatz dagegen erhalten wir mit

Klasse	Intervall	Absolute Häufigkeit	Klassen- mitte
j	über ... bis ...	n_j	x_j'	x_j'²	x_j'² n_j
1	0 - 200	5	100	10000	50000
2	200 - 300	6	250	62500	375000
3	300 - 400	6	350	122500	735000
4	400 - 500	9	450	202500	1822500
5	500 - 700	6	600	360000	2160000
Σ		32			5142500

die Varianz

s^{2}={\frac {1}{32-1}}(5142500-32\cdot 367,19^{2})=26711,19.

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