Statistik: Streuungsparameter eines Merkmals mit wenig verschiedenen Ausprägungen

Hier wollen wir die Berechnung der Varianz eines häufbaren metrischen Merkmals ansehen. Unsere Überlegungen laufen analog zum arithmetischen Mittel. Wir betrachten das

Beispiel mit den verkauften Weinflaschen

Aus der Urliste mit 25 Beobachtungen:

4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 10 10 10 10 10  

berechnen wir die Stichprobenvarianz aus

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}.$

In dieser Formel ist x_i die i. Beobachtung aus der Urliste.

Analog zum arithmetischen Mittel eines Merkmals mit wenig Ausprägungen werden wir aber nicht die obige Formel für die Varianz verwenden, sondern die Vorteile der Häufigkeitstabelle nützen. Wir können nämlich die Stichprobenvarianz berechnen als

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{j=1}^{m}(x_{j}-{\overline {x}})^{2}\cdot n_{j},$

wobei die x_j jetzt die verschiedenen Ausprägungen des Merkmals darstellen.

j	Preis für eine Weinflasche xj	absolute Häufigkeit nj	xj nj	$(x_{j}-{\overline {x}})^{2}$	$(x_{j}-{\overline {x}})^{2}n_{j}$
1	4	5	20	5,5696	27,8480
2	5	8	40	1,8496	14,7968
3	7	7	49	0,4096	2,8672
4	10	5	50	13,2496	66,2480
Σ		25	159		111,7600

Zunächst benötigen wir den Mittelwert ${\overline {x}}$. Er berechnet sich wie in Lageparameter als

${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{m}x_{j}n_{j}={\frac {159}{25}}=6,36.$

Wir erhalten nun

$s^{2}={\frac {1}{24}}\cdot 111,7600\approx 4,66.$

Der Computer kann das leicht ermitteln. Möchten wir jedoch die Varianz händisch ausrechnen, finden wir den „krummen“ Mittelwert als störend. Wir können natürlich auch hier den Verschiebungssatz anwenden. Es gilt nämlich für die benötigte Quadratsumme:

$Q=\sum _{j=1}^{n}(x_{j}-{\bar {x}})^{2}\cdot n_{j}=(\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{2}\cdot n_{j})-n\cdot {\bar {x}}^{2}.$

Wir berechnen sukzessive in unserer Häufigkeitstabelle die x_j² und x_j² n_j und erhalten zunächst für Q

$Q=1123-25\cdot 6,36^{2}=111,76$

und für die Varianz

$s^{2}={\frac {111,76}{25-1}}=4,66.$

j	Preis für eine Weinflasche xj	absolute Häufigkeit nj	xj nj	xj2	xj2nj
1	4	5	20	16	80
2	5	8	40	25	200
3	7	7	49	49	343
4	10	5	50	100	500
Σ		25	159		1123

↓  Metrisches Merkmal mit vielen Ausprägungen

↑  Lageparameter bei wenig verschiedenen Ausprägungen

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