Statistik: Konzentration

Die Konzentration befasst sich mit der Intensität, mit der sich ein Objekt auf eine vorgegebene Menge verteilt. Eine typische Aussage der Konzentrationsmessung wäre etwa: 20% der Menschen eines bestimmten Staates besitzen 90% des Vermögens. Demnach teilen sich die anderen 80% die restlichen 10%. Hier kann man von einer starken Konzentration sprechen.

Kino-Beispiel

Im Rahmen einer Controllinganalyse eines Kinos wurden die Besucherzahlen (Merkmal x) für die 5 angebotenen Spielfilme an einem Tag erfasst. Man erhielt die Tabelle

Filmtitel	Zahl der Besucher x
Rotkäppchen	25
Verliebt ins Abendrot	75
Leif Erikson	125
Söhne der Alhambra	250
Galaxy-Fighter	525

Definitionen

Es gibt verschiedene Verfahren zur Konzentrationsmessung. Man kann die Konzentration grafisch darstellen oder Kennwerte berechnen. Die Merkmalsbeträge x müssen aufsteigend geordnet vorliegen, also $x_{[1]}\leq x_{[2]}\leq ...\leq x_{[n]}$.

Für die Konzentrationsmessung werden neben der relativen Summenfunktion S_i* folgende Definitionen benötigt:

• Merkmalssumme $\sum _{i}x_{i}=n\cdot {\overline {x}}$
• Kumulierte Merkmalsbeträge $q_{i}=\sum _{k=1}^{i}x_{[k]}$
• Relative kumulierte Merkmalsbeträge $q_{i}*={\frac {q_{i}}{n{\overline {x}}}}$

Grafik

Die Lorenzkurve ist eine grafische Darstellung der Konzentration:

Die Wertepaare (S_i*;q_i*) werden in einem Diagramm abgetragen. Das erste Wertepaar ist (0;0), das letzte (1;1). Es wird zwischen diesen beiden Wertepaaren die Winkelhalbierende des Koordinatensystems eingetragen. Alle Wertepaare (0;0), (S₁*;q₁*), ... , (1;1) werden geradlinig verbunden.

Tabelle

Die für die Lorenzkurve benötigten Zwischenwerte werde in der folgenden Tabelle aufgeführt. So ergibt sich beispielsweise für die kumulierten Merkmalsbeträge q_i

$q_{1}=25$ , $q_{2}=25+75=100$, $q_{3}=100+125=225$ usw.

Die relativen oder anteiligen Merkmalsbeträge errechnen sich durch Teilen des Gesamtmerkmalbetrags 1000, also

$q_{1}*={\frac {25}{1000}}=0,025$ usw.

Ebenso ermitteln wir die absolute Summenhäufigkeiten als Zahl der Filme, also

$S_{1}=1$ , $S_{2}=1+1=2$, $S_{3}=2+1=3$ ...

und wiederum die relative Summenhäufigkeit mit

$S_{1}^{*}={\frac {1}{5}}=0,2$, $S_{2}^{*}={\frac {2}{5}}=0,4$, ...

Es wurde außerdem noch als Platzhalter die Zeile für i = 0 eingefügt.

i	Filmtitel	xi	qi	qi*	Si	Si*
0		0	0	0	0	0
1	Rotkäppchen	25	25	0,025	1	0,2
2	Verliebt ins Abendrot	75	100	0,100	2	0,4
3	Leif Erikson	125	225	0,225	3	0,6
4	Söhne der Alhambra	250	475	0,475	4	0,8
5	Galaxy-Fighter	525	1000	1,000	5	1
Summe		1000

So wurden beispielsweise 40% (S₂*) der Filme von nur 10% (q₂*) der Besucher angesehen.

Die Lorenzkurve ist eine grafisches Maß für das Ausmaß einer Konzentration. Je weiter die Kurve „durchhängt“, desto größer ist die Konzentration. Unten sind die beiden extremen Situationen dargestellt, die gleichmäßge Aufteilung der Objekte auf die gesamte Menge und die vollständige Konzentration, bei der ein Element alle Objekte auf sich vereint und alle anderen Elemente leer ausgehen.

Lorenzkurve bei gleichmäßiger Aufteilung

Lorenzkurve bei vollständiger Konzentration

Werden mehrere gleichartige Gesamtheiten gegenüberstellt, bieten die verschiedenen Lorenzkurven eine schnelle optische Vergleichsmöglichkeit. Siehe dazu auch das weiter unten folgende Beispiel mit den Agrarflächen in Bayern.

Ginikoeffizient

Als Ginikoeffizient G wird bezeichnet der Anteil der Fläche, die durch die Winkelhalbierende und die Lorenzkurve gebildet wird, an der Gesamtfläche unter der Winkelhalbierenden. Wenn vollkommene Konzentration besteht, ist die Fläche über der Lorenzkurve deckungsgleich mit dem Dreieck unter der Winkelhalbierenden. G ist dann 1. Bei fehlender Konzentration ist dann G=0.

Ermittlung des Ginikoeffizienten

Verbindet man die Punkte auf der Lorenzkurve mit den entsprechenden Punkten auf der Winkelhalbierenden, wird klar, dass wir es mit n vielen Trapezen zu tun haben, deren Flächen wir einzeln bestimmen und dann aufsummieren. Die Fläche eines Trapezes, wie in der Grafik angegeben, ermittelt man als

$F\,=\,{\frac {1}{2}}\cdot (a+c)\cdot h$ .

Wir wollen die Fläche F3 des Trapezes zwischen den Abszissenwerten (x-Achse) 0,4 und 0,6 ermitteln. Man sieht, dass das Trapez im Vergleich zur obigen Grafik gekippt vorliegt. Die Höhe h ist also die Differenz

$S*_{3}-S*_{2}=0,6-0,4=0,2$.

Wir fassen a als linke Senkrechte von F3 als a auf: Dann ist

$a=0,4-0,1=0,3$.

Entsprechend beträgt die rechte Seite c

$c=0,6-0,225=0,375$

und wir erhalten als Fläche

$F_{2}=(0,3+0,375)\cdot 0,5\cdot 0,2=0,0675$.

Allgemein: Die obige Fläche ergibt sich dann als

$\sum _{i=1}^{n}(S*_{i}-S*_{i-1})\cdot {\frac {1}{2}}((S*_{i}-q*_{i})+(S*_{i-1}-q*_{i-1}))$

Ginikoeffizient: Ermittlung einer Trapezfläche für i=3

Es folgt beispielhaft die Berechnung des Gini in der Tabelle. Mit Tabellenkalkulation kann der Ginikoeffizient leicht ermittelt werden. Wir erhalten schließlich für den Ginikoeffizienten

$G={\frac {0,235}{0,5}}=0,47$

i	q*i	S*i	h*i =Si-S*i-1	ai =S*i-q*i	ci =S*i-1-q*i-1	0,5 · (ai+ci)	0,5 · (ai+ci) · hi
--	0	0	-	-	-	-	-
1	0,025	0,2	0,2	0,175	0	0,0875	0,0175
2	0,1	0,4	0,2	0,3	0,175	0,2375	0,0475
3	0,225	0,6	0,2	0,375	0,3	0,3375	0,0675
4	0,475	0,8	0,2	0,325	0,375	0,35	0,07
5	1	1	0,2	0	0,325	0,1625	0,0325
Summe							0,235

Ginikoeffizient

Metrisches Merkmal mit wenig möglichen Ausprägungen

Beispiel

Das interessierende Merkmal ist die Zahl der Autos in einem Haushalt. Es wurden 50 Haushalte befragt.

Lorenzkurve für die Verteilung der PKWs auf Haushalte

j	xj	nj	Sj	Sj*	xjnj	qj	qj*
1	0	10	10	0,2	0	0	0,00
2	1	20	30	0,6	20	20	0,27
3	2	10	40	0,8	20	40	0,53
4	3	5	45	0,9	15	55	0,73
5	4	5	50	1	20	75	1
Summe		50			75

Lorenzkurve und der Ginikoeffizient berechnen sich im Prinzip wie oben, statt i wird hier der Index j verwendet. Der Merkmalsbetrag x_i wird durch x_j*n_j ersetzt.

Klassiertes Merkmal

Hier wird die Klassenmitte x'_j als Ersatz für den Merkmalswert x_j verwendet.

Beispiel

Landwirtschaftliche Nutzfläche	Zahl der Betriebe (1000)
von ... bis ... unter	1980	2003
2 - 10	112	43
10 - 20	78	34
20 - 30	34	18
30 oder mehr	20	36

Lorenzkurve der Nutzfläche eines bayerischen Landwirtschaftsbetriebes im Jahr 1980

Lorenzkurve der Nutzfläche eines bayerischen Landwirtschaftsbetriebes im Jahr 2003

Klasse j von ... bis unter ...	Klassen- mitte xj	nj	xj*nj	Sj	Sj*	qj	qj*
2 - 10	6	112	672	112	0,4590	672	0,1683
10 - 20	15	78	1170	190	0,7787	1842	0,4614
20 - 30	25	34	850	224	0,9180	2692	0,6743
30 - 100	65	20	1300	244	1,0000	3992	1,0000
Summe		244	3992

Wir erhalten als Ginikoeffizient für das Jahr 1980 den Wert 0,43 und für das Jahr 2003 den Wert 0,46.

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