Statistik: Abhängigkeit von Zufallsvariablen

Stochastische Unabhängigkeit

Falls X und Y stochastisch unabhängig sind, ist

$f_{XY}(x_{i};y_{j})=f_{X}(x_{i})\cdot f_{Y}(y_{j})$.

Beispiel:

Z.B. ist P(X = 0 ∧ Y = 0) = 0, aber P(X = 0) · P(Y = 0) = 0,4 · 0,2 ≠ 0.

Also sind X und Y stochastisch abhängig. Es genügt schon, wenn die Unabhängigkeitsvoraussetzung für ein Paar nicht erfüllt ist.

Kovarianz

Man interessiert sich bei gemeinsam verteilten Variablen im allgemeinen auch dafür, inwieweit zwischen diesen Variablen ein Zusammenhang besteht. In unserer Wahrscheinlichkeitstabelle des Beispiels „Qualitätskontrolle“ stehen beispielsweise links unten und rechts oben die größeren Wahrscheinlichkeiten, also scheinen niedrige Ausprägungen von X eher mit hohen Ausprägungen von Y und hohe Ausprägungen von X eher mit niedrigen Ausprägungen von Y einherzugehen.

Wahrscheinlichkeitstabelle des Beispiels von oben Gemeinsame Wahrscheinlichkeit von Qualitätskontrolle X und Reklamationskosten Y
x \ y	0	5	10	15	$f_{X}(x)$
0	0,00	0,00	0,10	0,30	0,4
5	0,00	0,05	0,05	0,10	0,2
10	0,20	0,15	0,05	0,00	0,4
$f_{Y}(y)$	0,2	0,2	0,2	0,4	1,0

Ein Maß für einen linearen Zusammenhang zweier Zufallsvariablen X und Y ist beispielsweise die Kovarianz covXY. Sie ist für diskrete Zufallsvariablen definiert als

$covXY=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}(x_{i}-EX)(y_{j}-EY)f_{X,Y}(x_{i};y_{j})$

bzw. wegen des Verschiebungssatzes

$covXY=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}x_{i}\cdot y_{j}\cdot f_{X,Y}(x_{i};y_{j})-EX\cdot EY$

Es ergibt für unser Beispiel

$EX=0\cdot 0{,}4+5\cdot 0{,}2+10\cdot 0{,}4=5$

und

$EY=0\cdot 0{,}2+5\cdot 0{,}2+10\cdot 0{,}2+15\cdot 0{,}4=9$

und damit die Kovarianz

$covXY=$	$(0-5)(0-9)\cdot 0+(5-5)(0-9)\cdot 0+(10-5)(0-9)\cdot 0{,}2$
	$+(0-5)(5-9)\cdot 0+(5-5)(5-9)\cdot 0{,}05+(10-5)(5-9)\cdot 0{,}15$
	$+(0-5)(10-9)\cdot 0{,}1+(5-5)(10-9)\cdot 0{,}05+(10-5)(10-9)\cdot 0{,}05$
	$+(0-5)(15-9)\cdot 0{,}3+(5-5)(15-9)\cdot 0{,}1+(10-5)(15-9)\cdot 0$
$=$	$0+0+(-5)\cdot 0{,}1+(-30)\cdot 0{,}3+0+0+0+0$
	$+(-45)\cdot 0{,}2+(-20)\cdot 0{,}15+5\cdot 0{,}05+0=-21{,}25$

Eine positive Kovarianz deutet daraufhin, dass eher ein proportionaler Zusammenhang zwischen X und Y besteht, eine negative Kovarianz dagegen, dass eher ein umgekehrt proportionaler Zusammenhang zwischen X und Y besteht.

Korrelationskoeffizient

Ist die Kovarianz null, sind die Zufallsvariablen unkorreliert, sonst korreliert.

Die Kovarianz ist nicht normiert. Ein normiertes Maß für den linearen Zusammenhang stellt der Korrelationkoeffizient nach BRAVAIS-PEARSON ρ_X,Y dar, der definiert ist als

$\rho _{X,Y}={\frac {\mathrm {cov} XY}{{\sqrt {\mathrm {var} X}}{\sqrt {\mathrm {var} Y}}}}$ .

Es gilt für den Korrelationskoeffizienten ρ_XY :

$-1\leq \rho _{XY}\leq 1$ .

Ist ρ_XY 1 oder -1, besteht ein exakter linearer Zusammenhang zwischen X und Y.

Sind X und Y stochastisch unabhängig, ist covXY und damit ρ_XY gleich null. Der Umkehrschluss ist nicht zulässig, da eine nichtlineare Abhängigkeitsstruktur zwischen X und Y bestehen kann, die vom Korrelationskoeffizienten nicht erfasst werden kann.

Beispiel:

Wir berechnen zunächst die Varianz von X als

$\mathrm {var} X=(0-5)^{2}\cdot 0{,}4+(5-5)^{2}\cdot 0{,}2+(10-5)^{2}\cdot 0{,}4=20$

und entsprechend die Varianz von Y als

$\mathrm {var} Y=34\,$.

Damit erhalten wir

$\rho _{XY}={\frac {\mathrm {cov} (XY)}{{\sqrt {\mathrm {var} X}}{\sqrt {\mathrm {var} Y}}}}={\frac {-21{,}25}{{\sqrt {20}}{\sqrt {34}}}}=-0{,}8149$.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten von Zufallsvariablen

Auch für Zufallsvariablen sind bedingte Wahrscheinlichkeiten angebbar, nämlich

die bedingte Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariablen als

$P(X\leq x_{i}|X\leq x_{k})={\frac {P(X\leq x_{i}\wedge X\leq x_{k})}{P(X\leq x_{k})}}$

und die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Zufallsvariablen

$P(X\leq x_{i}|Y\leq y_{j})={\frac {P(X\leq x_{i}\wedge Y\leq y_{j})}{P(Y\leq y_{j})}}$ .

Entsprechendes gilt für ≥ und =.

Ebenso gilt:

Wenn X und Y stochastisch unabhängig sind, ist

$P(X\leq x_{i}\wedge Y\leq y_{j})=P(X\leq x_{i})\cdot P(Y\leq y_{j})$

für alle i,j.

Beispiele:

$P(Y\geq 15|Y\geq 5)={\frac {P(Y\geq 15\wedge Y\geq 5)}{P(Y\geq 5)}}={\frac {P(Y\geq 15)}{P(Y\geq 5)}}={\frac {0{,}4}{0{,}8}}=0{,}5$.

„Die Hälfte aller Unternehmen mit Reklamationskosten hatte mindestens 15% Aufwand.“

$P(Y\geq 5|X=10)={\frac {P(Y\geq 5\wedge X=10)}{P(X=10)}}={\frac {0{,}15+0{,}05+0}{0{,}4}}=0{,}5$.

„Die Hälfte aller Unternehmen mit sehr viel Qualitätskontrolle hatte Reklamationskosten.“

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